Mathématiques Terminale ES - Page personnelle de Pascal Chauvin

Mathématiques
Pascal CHAUVIN
Tle ES
23 mai 2017
cbed
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Publication sous licence Creative Commons cbed Pascal CHAUVIN – 23 mai 2017

Table des matières
1 Suites 5
1.1 Suites géométriques .................................... 5
1.1.1 Somme de termes d’une suite géométrique ................... 5
1.1.2 Variations ..................................... 6
1.1.3 Limite d’une suite géométrique ......................... 6
1.2 Suites arithmético-géométriques ............................. 6
1.3 Exercices .......................................... 7
2 Continuité 9
2.1 Fonction continue sur un intervalle ........................... 9
2.1.1 Fonction dérivable en un point ......................... 9
2.2 Fonctions continues .................................... 10
2.2.1 Théorème des valeurs intermédiaires ...................... 10
2.2.2 Signe de la dérivée : variations et extrema ................... 11
2.3 Rappels : formulaires de dérivation ........................... 11
2.4 Convexité ......................................... 12
2.4.1 Fonction convexe ................................. 12
2.4.2 Fonction « dérivée seconde » .......................... 13
2.4.3 Point d’inexion ................................. 13
3 Probabilités conditionnelles 15
3.1 Rappels ........................................... 15
3.2 Probabilités conditionnelles ................................ 15
3.2.1 Probabilité conditionnelle et arbre pondéré .................. 16
3.3 Probabilités totales .................................... 17
4 Fonctions exponentielles 19
4.1 Les fonctions exponentielles ............................... 19
4.2 La fonction exponentielle ................................. 21
4.3 Autres propriétés de la fonction exponentielle ..................... 22
4.3.1 Fonction exponentielle et opérations ...................... 22
4.3.2 Fonctions du type eu............................... 22
4.3.3 Équations et inéquations ............................. 22
5 Intégration 23
5.1 Primitives d’une fonction ................................. 23
5.2 Intégrale d’une fonction .................................. 24
5.3 Intégrale et aire ...................................... 25
5.3.1 Comparaison ................................... 26
5.3.2 Fonction dénie par une intégrale ........................ 26
5.3.3 Valeur moyenne ................................. 26
3

Table des matières 4
6 Fonction « logarithme népérien » 27
6.1 Logarithme népérien ................................... 27
6.1.1 Dénition ..................................... 27
6.1.2 Propriétés ..................................... 27
6.2 Étude de la fonction logarithme ............................. 28
6.2.1 Fonction dérivée de ln .............................. 28
6.2.2 Variations ..................................... 29
6.2.3 Convexité ..................................... 29
6.2.4 Primitives de la fonction inverse ........................ 29
7 Lois de probabilité 31
7.1 Lois de probabilité à densité ............................... 31
7.2 Loi uniforme sur un intervalle [a;b].......................... 32
7.3 Loi normale centrée réduite ............................... 33
7.4 Lois normales N(µ;σ2)................................. 34
8 Fluctuation et estimation 35
8.1 Échantillonnage ...................................... 36
8.1.1 Intervalle de uctuation asymptotique ..................... 36
8.1.2 Application à la prise de décision ........................ 36
8.2 Estimation ......................................... 37
Publication sous licence Creative Commons cbed Pascal CHAUVIN – 23 mai 2017

1 Suites
1.1 Suites géométriques
Définition 1 – suite géométrique
ket qsont deux nombres réels.
La suite (un)n∈Ndénie par :
(u0=k
∀n∈N, un+1 =q×un
est appelée suite géométrique de premier terme ket de raison q.
+ La dénition permet de calculer n’importe quel terme de la suite à l’aide du terme précédent,
par exemple le calcul de u2017 à partir de la valeur de u2016 :
u2017 =q×u2016
Exemple Calculer u1,u2,u3et u5pour la suite géométrique de premier terme 150 et raison 3.
Propriété 1
Pour toute suite géométrique (un)n∈Nde raison q,ona:
∀n∈N, un=u0×qn
+ Cette propriété permet de calculer n’importe quel terme de u , quel que soit son rang n (c.-à-d.
sans connaître le terme précédent).
Exemple 1 Calculer u30 pour la suite géométrique de premier terme −1,6et de raison 3.
Exemple 2  Calculer le huitième terme de la suite géométrique de premier terme 3 et de raison
1
4
.
+Pour une suite géométrique dont le premier terme a pour rang 1,ona:
∀n∈N∗, un=u1×qn−1
1.1.1 Somme de termes d’une suite géométrique
Propriété 2
Pour n’importe quel entier naturel net n’importe quel réel q, avec q6= 1 :
1 + q+q2+q3+... +qn=1−qn+1
1−q.
+ Cette formule donne la somme des n+ 1 premiers termes de la suite géométrique de premier
terme 1et de raison q(lorsque q6= 1).
Exemple  Calculer u0+u1+u2+··· +u20 pour la suite géométrique u de premier terme 2,1
et de raison 0,3.
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