Mécanique Classique II P. Amiot et L. Marleau

Mécanique
Classique II
P. Amiot et L. Marleau
x1
2
x
3
x
ψ
θ
.
ϕ
X
Y
Z
ψ
ϕ
θ
.
.

Mécanique
Classique II
P. Amiot et L. Marleau
Département de physique FUniversité Laval FQuébec FCanada

Cet ouvrage a été rédigé avec Scientific WorkPlace
et composer avec L
A
TEX2ε.
Copyright °1997. Tous droits réservés.
L. Marleau, P.Amiot
Département de physique
Université Laval
Québec,Canada.

Table des matières
Avant-Propos ix
1 RAPPEL 1
1.1 Trajectoire et cinématique d’une particule ponctuelle 1
1.2 Plusieurs particules ponctuelles 3
1.3
É
léments de dynamique 4
1.4 Travail et
É
ner
g
ie 7
1.5 Systèmes à Nparticules et forces extérieures 8
1.6 De
g
rés de liberté 10
2 FORMALISME DE LAGRANGE 15
2.1 Résultats d’expérience et principe de base 15
2.2 Variation fonctionnelle et application du principe 18
2.3 La fonction L(qi,˙qi,t)20
Forces conservatrices 21
Forces non conservatrices 23
2.4 Coordonnées curvili
g
nes 23
2.5 Les contraintes 28
Méthode des multiplicateurs de Lagrange 30
2.6 Invariance de jau
g
e31
2.7 Quelques caractéristiques, propriétés, limites... 34
3 APPLICATIONS ET PROPRI
É
T
É
S37
3.1 Cas simples en mécanique 37
Particule dans un champ gravitationnel 37
Particule suspendue à un ressort 38
Particule suspendue au haut d’une tige rigide 39
Pendule plan suspendu par un ressort de masse nulle 42
3.2 Exemples non mécaniques 44

vi Table des matières
Principe de Fermat 44
3.3 Problème à deux corps 45
3.4 Le potentiel central 47
3.5 Constantes du mouvement 51
4 LE FORMALISME CANONIQUE 57
4.1 La transformation de Le
g
endre 57
4.2 Le Hamiltonien 58
4.3 Quelques exemples 60
Particule soumise à une force en une dimension 60
Particule soumise à une force en trois dimensions 60
Particule dans un champ central 61
4.4 Les crochets de Poisson 64
4.5 Les moments
g
énéralisés 67
4.6 Les transformations canoniques (T.C.) 67
Quelques exemples 72
4.7 Une transformation canonique très spéciale: La méthode de
Hamilton-Jacobi 76
L’ o b je c t if 7 6
La méthode 76
4.8 T(qi,p
i)en coordonnées
g
énéralisées 80
4.9 La fonction S(ou comment refermer la boucle) 82
5TH
É
ORIE DES PERTURBATIONS 85
5.1 Buts de la méthode 85
5.2 L’idée de base: la variation des constantes 85
5.3 Les approximations 86
Méthode par série 87
Méthode itérative 87
Méthodedelamoyenne 88
5.4 Exemple 88
5.5 Méthode canonique de perturbations 90
5.6 Autre exemple 91
Développement en série 92
Solution itérative. 93
Méthodedelamoyenne 94