Université “François Rabelais” de Tours L2 Sciences de la Matière 2016–2017

Université “François Rabelais” de Tours
L2 Sciences de la Matière 2016–2017
Modélisation, Simulations, Outils Informatiques
TD0 : Accélération de particules, cyclotron
Un cyclotron est un accélérateur de particules composé de deux demi-disques soumis à un champ
magnétique constant (ce qui permet de courber la trajectoire de la particule accelérée), séparés
par un petit gap, dans lequel on impose un champ électrique variable (qui permet d’accélérer
la particule). Ce dernier est variable car selon le sens de passage de la particule, celle-ci doit
toujours être accelérée par le champ (voir fig. 1).
E
B
B
E
Figure 1 – modèle simplifié de cyclotron
Un modèle simplifié d’un tel appareil est décrit par le dispositif suivant. On considère un point
matériel, portant une charge électrique q et une masse m, dans un champ magnétique uniforme,
B = B0 ez et un champ électrique, dépendant du temps, E(t) = E0 ex cos ⌦t. Dans le cas du
cyclotron, la grandeur ⌦ permet de faire coincider l’oscillation du champ électrique avec le
mouvement de la particule, afin que cette dernière se retrouve tout le temps accelérée dans le
bon sens lorsqu’elle passe entre les deux demi-disques.
Les équations du mouvement du point matériel, dans l’approximation non–relativiste, sont
données par les expressions suivantes
dp
dv
=m
= qv ^ B + qE(t)
dt
dt
dr
=v
dt
1
(1)
On pose comme conditions initiales r(0) = (0, 0, 0) et v(0) = (v0 , 0, 0). On cherche à afficher
trajectoire et énergie cinétique du point matériel comme fonctions du temps.
1. Montrer que [qB0 /m] = [T ] 1 , [E0 /B0 ] = [L][T ] 1 et en déduire la quantité qui peut
servir comme unité de longueur.
2. En posant ! ⌘ qB0 /m et v ⌘ uE0 /B0 , introduire ⌧ ⌘ !t et déduire que les équations
du mouvement peuvent s’écrire sous la forme
du
= u ^ ez + b(⌧ )ex
d⌧
(2)
où b(⌧ ) = cos[(⌦/!)⌧ ].
3. Ecrire cette équation sous forme matricielle et montrer que l’équation pour la composante
uz (⌧ ) se découple et est une constante du mouvement, uz (⌧ ) = uz (0) et que les équations
du mouvement pour les autres composantes deviennent
✓
◆ ✓
◆✓
◆ ✓
◆
d
ux
0 1
ux
b(⌧ )
=
+
(3)
uy
1 0
uy
0
d⌧
4. On cherche à résoudre cette équation, que l’on peut écrire comme
d
u? = i y u? + b(⌧ )
d⌧
où l’on a introduit la matrice de Pauli
✓
◆
0
i
y =
i 0
qui satisfait la relation
2
y
(4)
(5)
= I2⇥2 , où I2⇥2 est la matrice identité et
✓
◆
b(⌧ )
b(⌧ ) =
0
(6)
On peut exprimer la solution générale de l’équation (4) comme
u? (⌧ ) ⌘ ei
y⌧
qui implique que w? (⌧ ) satisfait l’équation
d
w? (⌧ ) = e
d⌧
i
y⌧
0
b(⌧ ) = (I2⇥2 cos ⌧
✓
◆
⌦
B cos ⌧ cos ! ⌧
d
✓ ◆
,
w? (⌧ ) = B
@
⌦
d⌧
sin ⌧ cos
⌧
!
i
1
C
C
A
y
(7)
w? (⌧ )
sin ⌧ ) b(⌧ ) =
✓
cos ⌧
sin ⌧
sin ⌧
cos ⌧
◆
0
✓
⌦
@ cos ! ⌧
0
◆ 1
(8)
Résoudre cette équation et, en imposant les conditions initiales, trouver u? (⌧ ) ainsi que
la trajectoire, r(⌧ ).
2
A
5. Ecrire un programme en C, qui prend comme entrées la vitesse initiale et le nombre
d’iterations et affiche la trajectoire. On travaille sous l’hypothèse que uz (0) = 0.
Pour estimer la vitesse initiale, on se sert de la thermodynamique :
⌧
1
kB T =
m||v||2
(9)
2
On travaille avec des protons, dont l’énergie de repos est E = mc2 ⇡ 1 GeV et l’on
prend T = 300K ainsi que kB ⇡ 1, 38 ⇥ 10 23 m 2 kg s 2 K 1 . Sous ces conditions, après
combien de tours atteindra-t-on une énergie cinétique de 1 MeV ? Et combien de temps
sera nécessaire ?
6. Comparer le mouvement décrit par ces équations avec le mouvement lorsque le champ
électrique agit par à-coups, seulement lorsque la particule traverse l’axe Oy.
3