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Chapitre VI
Polynômes
Sommaire
K
A L’ensemble [X] des polynômes à coefficients dans
A.1 Définitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . .
A.2 Opérations algébriques sur les polynômes . . .
A.3 Polynômes dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Factorisation dans [X] . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C
K
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2
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5
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9
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2
Chapitre VI - Polynômes
Dans tout ce chapitre,
K désigne R ou C.
A - L’ensemble
K[X] des polynômes à coefficients dans K
A.1 - Définitions et vocabulaire
Définition 1
K
On appelle polynôme à coefficients dans toute fonction P :
éléments a 0 , a 1 , . . . , a n de vérifiant pour tout z ∈ :
K
K
K → K telle qu’il existe n ∈ N et n + 1
P(z) = a 0 + a 1 z + · · · + a n z n i .e. P(z) =
n
X
ak z k .
k=0
On dit que a 0 , a 1 , . . . , a n sont les coefficients de P.
Dans la pratique, on écrit :
P = a0 + a1 X + a2 X2 + · · · + an Xn =
n
X
ak Xk
k=0
où X est une lettre muette appelée l’indéterminée.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans
Remarques
1 Ï L’incusion
R C
C R
K et d’indéterminée X se note K[X].
⊂ permet de dire qu’un polynôme à coefficients dans
coefficients dans i.e. [X] ⊂ [X].
C
R est a fortiori un polynôme à
2 Ï On appelle monôme un polynôme n’ayant qu’un coefficient non nul i.e. de la forme a p X p avec a p 6= 0.
3 Ï On appelle polynôme nul le polynôme dont tous les coefficients sont nuls (on le note 0).
4 Ï Si un polynôme P n’est pas nul, alors son degré est l’indice du dernier coefficient non nul ; on le note
deg(P) ou deg P.
Un polynôme de degré n ∈
N est donc de la forme P = a0 + a1X + a2X2 + · · · + an Xn avec an 6= 0.
Ce coefficient a n est appelé coefficient dominant de P ; lorsque a n = 1, on dit que alors P est unitaire.
5 Ï On convient que le polynôme nul est de degré −∞.
6 Ï Un polynôme constant est un polynôme soit nul, soit de degré nul.
7 Ï L’écriture P =
n
P
k=0
a k X k ne signifie pas que P est de degré n mais seulement que deg P É n.
8 Ï L’ensemble des polynômes à coefficients dans
2016-2017
K, d’indéterminée X et de degré au plus n se note Kn [X].
Sébastien PELLERIN
A - L’ensemble
K[X] des polynômes à coefficients dans K
3
Proposition 2 (principe d’identification)
Soit I un intervalle de
R (non vide et non réduit à un point).
1. Soit a 0 , . . . , a n des nombres réels tels que :
∀x ∈ I, a 0 + a 1 x + · · · + a n x n = 0.
Alors tous les coefficients sont nuls i.e. a i = 0 pour tout i ∈ ‚0, nƒ.
2. Soit a 0 , . . . , a n et b 0 , . . . , b k des nombres réels avec a n 6= 0 et b k 6= 0 tels que
∀x ∈ I, a 0 + a 1 x + · · · + a n x n = b 0 + b 1 x + · · · + b k x k
alors n = k et a i = b i pour tout i ∈ ‚0, nƒ.
Démonstration
1. On raisonne par récurrence sur n.
Initialisation. Pour n = 0, si on a pour tout x ∈ I, a 0 = 0 c’est que la fonction constante a 0 est nulle.
Hérédité. Soit n Ê 0 pour lequel la propriété est vraie et montrons qu’elle est vraie au rang n + 1 ; on considère
n + 2 coefficients a 0 , . . . , a n+1 tels que :
∀x ∈ I, a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n + a n+1 x n+1 = 0
En particulier cela est vrai pour x = 0 ce qui donne a 0 = 0 donc :
∀x ∈ I, a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n x n + a n+1 x n+1 = 0.
En dérivant on obtient alors :
∀x ∈ I, a 1 + 2a 2 x + · · · + na n x n−1 + (n + 1)a n+1 x n = 0.
En appliquant l’hypothèse de récurrence avec les coefficients a 1 , 2a 2 , . . . , (n + 1)a n+1 on obtient :
a 1 = 2a 2 = · · · = na n = (n + 1)a n+1 = 0 i .e. a 1 = a 2 = · · · = a n = a n+1 = 0.
On a donc bien montré que les coefficients a i sont tous nuls ce qui termine la démonstration.
2. Supposons que a 0 + a 1 x + · · · + a n x n = b 0 + b 1 x + · · · + b k x k pour tout x ∈
∀x ∈
R, avec par exemple n Ê k, alors :
R, (a0 − b0 ) + (a1 − b1 )x + · · · + (ak − bk )x k + |ak+1 x k+1 +{z· · · + an x n} = 0
n’apparaissent que si n > k
Si n > k alors d’après 1. les coefficients (a 0 − b 0 ), (a 1 − b 1 ), . . . , (a k − b k ), a k+1 , . . . , a n sont tous nuls ce qui est
absurde puisque a n 6= 0 donc n = k et, pour tout x ∈ , on a :
R
(a 0 − b 0 ) + (a 1 − b 1 )x + · · · + (a n − b n )x n = 0
En utilisant 1. on en déduit que a i = b i pour tout i ∈ ‚0, nƒ.
Remarques
1 Ï Le théorème précédent assure de l’unicité de l’écriture d’un polynôme sous la forme a 0 + a 1 X +· · ·+ a n X n
avec a n 6= 0 ; on admet que c’est également vrai dans le cas d’un polynôme à coefficients dans
K = C.
2 Ï On en déduit également qu’une fonction polynomiale ne peut pas être de degré n et de degré k avec
n 6= k. On peut donc parler du degré d’un fonction polynomiale.
3 Ï On peut reformuler ce résultat de la façon suivante : une combinaison linéaire de monômes de degrés
distincts ne peut être nulle que si tous les coefficients sont nuls.
Sébastien PELLERIN
2016-2017
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Chapitre VI - Polynômes
Exercice C-96
Soit P ∈
C[X] tel que P(x) ∈ R pour tout x ∈ R.
Montrer que les coefficients de P sont réels.
A.2 - Opérations algébriques sur les polynômes
Soit P et Q deux polynômes à coefficients dans
K, alors P + Q est un polynôme à coefficients dans K et on a :
¡
¢
deg(P + Q) É max deg P, deg Q .
C’est évident lorsque P ou Q est nul (il y a même égalité).
Sinon, on note p = deg P et q = deg Q, il est clair que les coefficients de P + Q sont nuls à partir du rang
max(p, q) (et peut-être avant !). On en déduit que le degré de P + Q (i.e. l’indice du dernier coefficient non
nul de P + Q) est inférieur ou égal à max(p, q).
Remarques
1 Ï En réalité on a deg(P +Q) = max(deg P, deg Q) sauf si P et Q ont même degré et des coefficients dominants
opposés (par exemple 1 − X et 1 + X).
2 Ï Ce résultat reste vrai même avec un polynôme nul en utilisant la convention deg 0 = −∞.
On considère deux polynômes P =
p
P
k=0
a k X k de degré p et Q =
q
P
k=0
b k X k de degré q.
Alors le produit, noté PQ, des polynômes P et Q est le polynôme :
PQ =
p+q
n
X³X
´
a k b n−k X n ,
n=0 k=0
avec la convention a k = 0 pour k > p et b k = 0 pour k > q.
Le degré de PQ est p + q et son coefficient dominant est a p b q .
Remarques
1 Ï Soit P et Q deux polynômes à coefficients dans
K alors :
PQ = 0 ⇐⇒ P = 0 ou Q = 0
En effet, le sens ⇐= est clair. Pour le sens =⇒, on raisonne par contraposée : si P et Q sont non nuls de
degrés respectifs p et q, alors PQ est de degré p + q donc n’est pas nul.
2 Ï La multiplication des polynômes possède les propriétés suivantes :
i. elle est associative i.e. pour tous polynômes P, Q et R, on a (PQ)R = P(QR) ;
ii. elle possède comme élément neutre le polynôme 1 i.e. pour tout polynôme P, on a P.1 = 1.P = 1 ;
iii. elle est distributive (à droite et à gauche) par rapport à l’addition i.e. pour tous polynômes P, Q et R,
on a P(Q + R) = PQ + PR et (P + Q)R = PR + QR ;
iv. elle est commutative i.e. pour tous polynômes P et Q, on a PQ = QP.
3 Ï Soit P, Q et R trois polynômes à coefficients dans
K
avec PR = QR, alors P = Q (i.e. on peut « simplifier »
par R).
En effet, si PR = QR alors (P − Q)R = 0 avec R 6= 0. On en déduit que P − Q = 0 i.e. P = Q.
2016-2017
Sébastien PELLERIN
A - L’ensemble
K[X] des polynômes à coefficients dans K
5
K
Soit (P, Q) ∈ [X]2 , on note P = a 0 + a 1 X +· · ·+ a p X p , alors le polynôme composé de P et Q, noté P ◦Q ou P(Q),
est défini par :
déf
P ◦ Q = a0 + a1 Q + · · · + a p Qp
On dit aussi que P ◦ Q s’obtient en substituant Q à X dans P.
Exemples
1 Ï Si P = 1 − 2X + 3X 2 et Q = 1 + X alors :
2 Ï Pour tout P ∈
K[X] on a P ◦ X = P(X) = P.
Remarque
On a deg(P ◦ Q) = deg(P). deg(Q).
A.3 - Polynômes dérivés
Définition 3
Si P = a 0 +a 1 X +...+a n X n ∈
K[X] est de degré n Ê 1, alors on appelle polynôme dérivé de P le polynôme :
P 0 = a 1 + 2a 2 X + 3a 3 X 2 + ... + na n X n−1 .
Autrement dit, si P =
n
P
k=0
a k X k , alors on a P 0 =
n
P
k=1
ka k X k−1 .
Par convention, la dérivée d’un polynôme constant (nul ou non) est le polynôme nul.
Remarques
1 Ï Les règles de calculs restent les mêmes que pour les fonctions réelles de la variable réelle. En particulier
pour tout (P, Q) ∈
K[X]2 on a (P + Q)0 = P0 + Q0 et (PQ)0 = P0Q + PQ0.
2 Ï Si deg(P) = n Ê 1 alors deg(P 0 ) = n − 1.
Exercice C-97
On définit les dérivées successives d’un polynôme P par :
¡
¢0
P (0) = P , P (1) = P 0 et pour tout n Ê 2, P (n) = P (n−1) .
On note P 00 au lieu de P (2) et P 000 au lieu de P (3) .
1. Soit P un polynôme de degré n et de coefficient dominant α, déterminer P (n) .
2. Considérons deux entiers k et n avec k < n.
Que peut-on dire de P (n) si P est un polynôme de degré k ?
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Chapitre VI - Polynômes
B - Divisibilité
Soit A et B dans
K[X].
On dit que A divise B (ou que A est un diviseur de B ou que B est un multiple de A), et on note A | B, lorsqu’il
existe Q ∈ [X] tel que B = QA.
K
Exemples
1 Ï On a X − 2 | X 2 − 4 car X 2 − 4 = (X − 2)(X + 2).
2 Ï On a X − 1 | X n − 1 car X n − 1 = (X − 1)
n−1
P
Xk .
k=0
Exercice C-98
Soit A, B, C et D des polynômes et n un entier naturel non nul. Montrer les propriétés suivantes :
1. si A divise B et B 6= 0 alors deg A É deg B ;
2. A | A ;
¡
¢
3. A | B et B | C =⇒ A | C ;
4. A | B =⇒ A | BC ;
5. A | B et A | C =⇒ A | B + C ;
6. A | B et C | D =⇒ AC | BD ;
N∗, A | B =⇒ An | Bn ;
⇐⇒ ∃λ ∈ K∗ / B = λA.
7. ∀n ∈
(
A|B
8.
B|A
Théorème et définition 4 (division euclidienne)
Soit (A, B) ∈
K[X]2 avec B 6= 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) ∈ K[X]2 tel que :
(
A = BQ + R
deg R < deg B
.
On dit que Q et R sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B.
Démonstration
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B - Divisibilité
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Chapitre VI - Polynômes
Exemples
1 Ï Divisons X 3 + 2X 2 + X + 2 par X 2 + X + 1.
2 Ï Divisons X 4 + 3X 3 + X 2 + 2X + 4 par X 3 + 1.
Remarque
Avec les mêmes notations, B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
En effet, si B divise A alors il existe un polynôme Q tel que A = BQ. L’unicité de la division euclidienne
prouve alors que Q et 0 sont respectivement le quotient et le reste de la division de A par B. La réciproque est
évidente.
Exercice C-99
Effectuer les divisions euclidiennes de :
1. 3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1 par X 3 + X + 2
5. X 4 − 3X 3 + X 2 − 2X + 2 par X 3 + X + 1
2. X 3 + X + 2 par 3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1
6. X 5 + X 4 + 2X 2 − 1 par X 3 + X + 1
3. 4X 7 + 9X 5 + 3X 4 + 2X + 1 par X 3
7. X 5 − X 3 + X 2 par X 3
4. X 3 + iX 2 + X par X − i + 1
8. X 4 + 2X 3 − 2X 2 − 2X + 1 par X 2 − 1
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C - Racines d’un polynôme
C - Racines d’un polynôme
C.1 - Généralités
Définition 5
On dit que a ∈
K est une racine de P ∈ K[X] lorsque P(a) = 0.
Exemples
1 Ï Le nombre 1 est racine du polynôme X 2 + X − 2.
2 Ï Plus généralement on sait calculer les racines d’un polynôme de degré 2 (à coefficients réels) à l’aide de
son discriminant.
3 Ï Cette notion dépend de
4 Ï Tous les éléments de
K ; par exemple X2 + 1 n’a pas de racines dans R mais en admet deux dans C.
K sont racines du polynôme nul.
5 Ï Un polynôme constant non nul n’a aucune racine.
Exercice C-100
Soit P ∈
R[X]. Montrer que z ∈ C est une racine de P si et seulement z est également une racine de P.
Proposition 6
Soit P ∈
K[X] et a ∈ K, alors :
a racine de P ⇐⇒ ∃Q ∈
K[X] / P = (X − a)Q.
Autrement dit, a est racine de P lorsque P est factorisable par X − a.
Démonstration
Remarques
1 Ï Si a 1 , a 2 , ..., a k sont k racines distinctes du polynôme P, alors P est factorisable par :
(X − a 1 )(X − a 2 ) · · · (X − a k ) =
k
Y
(X − a i )
i =1
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10
Chapitre VI - Polynômes
2 Ï Si P est de degré n alors P possède au plus n racines distinctes.
3 Ï On en déduit qu’un polynôme de degré au plus n possédant n + 1 racines distinctes est nécessairement
nul.
Il s’ensuit que pour montrer que deux polynômes P et Q sont égaux il suffit donc de montrer que P − Q a
« suffisamment » de racines (par exemple une infinité).
4 Ï Si P est de degré n et possède exactement n racines distinctes a 1 , ..., a n alors P se factorise sous la forme
(en notant λ le coefficient dominant de P) :
P = λ(X − a 1 )(X − a 2 )...(X − a n ) = λ
n
Y
(X − a i ).
i =1
Exemples
1 Ï Factorisons P = X 4 − 1 :
2 Ï Factorisons P = 1 + X + X 2 :
2016-2017
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11
C - Racines d’un polynôme
3 Ï Soit n ∈
N∗, factorisons P = Xn − 1 :
C.2 - Racines multiples
Définition 7
K
K
N
Soit P ∈ [X], a ∈ et k ∈ ∗ . On dit que a est une racine d’ordre k de P lorsque P est factorisable par
(X − a)k mais pas par (X − a)k+1 .
On dit que k est l’ordre de multiplicité de la racine a.
Remarques
1 Ï On dit qu’une racine d’ordre 1 est une racine simple, qu’une racine d’ordre 2 est une racine double et
plus généralement qu’une racine d’ordre k Ê 2 est une racine multiple.
2 Ï Par convention une « racine d’ordre 0 » de P est un élément de
K qui n’est pas racine de P.
Proposition 8
Soit P ∈
K[X], a ∈ K et k ∈ N∗, alors :
a est une racine d’ordre k de P ⇐⇒ ∃Q ∈
K[X] / P = (X − a)k Q et Q(a) 6= 0.
Compte-tenu de la convention précédente, ce résultat est encore vrai pour k = 0.
Démonstration
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12
Chapitre VI - Polynômes
Exemples
1 Ï −1 est racine double de X 2 + 2X + 1 puisque : X 2 + 2X + 1 = (X + 1)2 .
2 Ï Le polynôme X 4 − 1 = (X − 1)(X − i)(X + 1)(X + i) n’a aucune racine multiple.
Remarques
1 Ï On obtient aisément par récurrence que si a 1 , . . . , a p sont p racines distinctes de P d’ordre respectif
k 1 , k 2 , . . . , k p alors P est divisible par :
(X − a 1 )k1 (X − a 2 )k2 · · · (X − a p )k p =
p
Y
(X − a i )ki ,
i =1
et k 1 + k 2 + · · · + k p É deg P.
2 Ï Lorsque l’on dénombre les racines d’un polynôme, on dit souvent que l’on compte chaque racine avec
son ordre de multiplicité ce qui signifie qu’une racine d’ordre k compte en fait pour k racines. Par exemple
le polynôme P = (X − 1)2 (X − 3)(X + 2) de l’exemple précédent possède :
— 3 racines distinctes : 1, 3 et −2 ;
— 4 racines comptées avec leur ordre de multiplicité : 1, 1, 3 et −2.
3 Ï Compte tenu de cette convention, le résultat précédent dit en fait qu’un polynôme de degré n possède
au plus n racines comptées avec leur ordre de multiplicité.
4 Ï Il s’ensuit que pour montrer qu’un polynôme de degré inférieur ou égal à n est nul, il suffit de montrer
qu’il admet au moins n + 1 racines comptées avec leur ordre de multiplicité.
On en déduit finalement :
Proposition 9
Si a 1 , . . . , a p sont p racines distinctes de P d’ordre respectif k 1 , . . . , k p avec k 1 + k 2 + · · · + k p = deg P alors
(en notant λ est le coefficient dominant de P) :
P = λ(X − a 1 )k1 (X − a 2 )k2 · · · (X − a p )k p = λ
p
Y
(X − a i )ki .
i =1
On termine cette partie par un résultat sur les racines de P 0 .
Proposition 10
Si a est une racine d’ordre k Ê 1 de P alors a est racine d’ordre k − 1 de P 0 .
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13
C - Racines d’un polynôme
Démonstration
Remarques
1 Ï Une racine multiple (d’ordre k Ê 2) de P est donc racine d’ordre au moins 1 de P 0 : c’est donc une racine
de P 0 .
2 Ï En revanche une racine simple (i.e. d’ordre 1) de P est une racine d’ordre 0 de P 0 : ce n’est pas une racine
de P 0 .
3 Ï Les racines de P 0 ne sont pas nécessairement des racines de P.
Exercice C-101
Montrer que Pn = 1 + X +
X2
Xn
+···+
n’a que des racines simples dans
2!
n!
C.3 - Factorisation dans
C.
C[X]
On admet le théorème fondamental suivant :
Théorème 11 (d’Alembert-Gauss)
Tout polynôme non constant de
C[X] possède au moins une racine.
C
Autrement dit toute équation polynomiale possède au moins une solution dans . Rappelons que ce fut
l’une des motivations de l’introduction des nombres complexes : créer des solutions à des équations qui n’en
avaient pas.
Ce théorème est aussi appelé théorème fondamental de l’algèbre. En réalité si le résultat est fondamental
en algèbre, les différentes démonstrations font toutes appel à un minimum d’analyse. La première preuve
– incomplète – est donnée par D’Alembert (1717-1783) en 1746. La première démonstration correcte est
publiée en 1799 par Gauss (1777-1855)) ; il publie deux autres démonstrations de ce résultat en 1816 et en
1850.
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14
Chapitre VI - Polynômes
Corollaire 12
Tout polynôme non nul de
C[X] se factorise sous la forme :
P=λ
p
Y
(X − a i )ki
i =1
où λ est le coefficient dominant de P, a 1 , ..., a p sont les racines distinctes de P et k 1 , ..., k p leur ordre
respectif.
Démonstration
Remarques
1 Ï Tout polynôme à coefficients complexes est donc un produit de polynômes de degré 1 (on dit qu’un tel
polynôme est scindé).
2 Ï Autrement dit tout polynôme de
plicité.
C[X] admet exactement n racines, comptées avec leur ordre de multi-
On en déduit que tout polynôme à coefficients réels se factorise comme un produit de polynômes de degré 1
et de trinômes du second degré sans racine réelle. Plus précisément, si P ∈ [X] alors on peut écrire :
R
P=λ
p
Y
i =1
(X − a i )ki
q
Y
(X 2 + b j X + c j )l j
j =1
où :
• λ est le coefficient dominant de P ;
• a 1 , ..., a p les racines réelles distinctes de P d’ordre respectif k 1 , ..., k p ;
•
p
P
i =1
ki + 2
q
P
j =1
l j = deg P ;
• pour tout j ∈ ‚1, qƒ le trinôme X 2 + b j X + c j n’a pas de racines réelles i.e. b 2j − 4c j < 0.
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C - Racines d’un polynôme
Exercice C-102
Factoriser dans
C[X] puis dans R[X] les polynômes suivants :
P1 = X 5 − 1 , P2 = X 6 − 1 , P3 = X 8 + 1 et P4 = X 4 + X 2 + 1.
On termine par une remarque sur les relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme.
C
Soit P ∈ [X] que l’on P = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + · · · + a n X n avec a n 6= 0, P admet n racines dans
α1 , . . . , αn .
C que l’on note
Il existe des relations entre les αi et les a i qui ne sont pas explicitement au programme, cependant il convient
de retenir au moins deux d’entre elles (et de retenir que l’on peut lier les coefficients et les racines) :
α1 + α2 + · · · + αn = −
a0
a n−1
et α1 α2 · · · αn = (−1)n
.
an
an
Exemples
1 Ï Soit P = aX 2 + bX + c avec a 6= 0.
Les deux racines α1 et α2 vérifient :
2 Ï Soit P = 3 + 5X + 2X 2 + 3X 3 , on note α1 , α2 et α3 ses racines dans
C alors :
Exercices
Exercice C-103
Soit P ∈
K[X] un polynôme de degré n Ê 1.
Déterminer le degré et le coefficient dominant
du polynôme ∆ = P(X + 1) − P(X).
Exercice C-105
Trouver tous les polynômes P ∈
R[X] tels que :
X(X − 1)P 0 + P 2 − (2X + 1)P + 2X = 0.
Indication : commencer par déterminer le degré
d’un polynôme solution de cette équation.
Exercice C-104
Soit n ∈
nôme :
N , calculer les coefficients du poly∗
Pn = (1 + X + X 2 + · · · + X n )2 .
Sébastien PELLERIN
Exercice C-106
Soit P = X 4 − 5X 3 + 9X 2 − 15X + 18.
Déterminer les racines complexes de P sachant
que le produit de deux d’entre elles vaut 6.
2016-2017
16
Chapitre VI - Polynômes
Exercice C-107
Exercice C-108
Pour tout entier n Ê 1 et considère le polynôme
Pn ∈ [X] donné par :
C
Pn =
´
1³
(X + i)2n+1 − (X − i)2n+1 .
2i
1. Déterminer les racines de Pn (dans
C).
On vérifiera que les solution obtenues sont
toutes réelles et s’expriment simplement à
l’aide d’une fonction trigonométrique.
2. Montrer que Pn est un polynôme à coefficients réels, de degré 2n et de coefficient dominant égal à 2n + 1.
3. Trouver un polynôme Qn ∈
R[X] tel que :
Pn = Qn (X 2 ).
Quel est le coefficient du terme de degré n − 1
de Qn ?
1. À l’aide de la formule de De Moivre, montrer
qu’il existe un polynôme à coefficients réels
Tn tel que :
∀x ∈
R, Tn ¡ cos(x)¢ = cos(nx).
2. Montrer l’unicité du polynôme Tn .
3. À l’aide de formules de trigonométrie, déterminer une relation de récurrence donnant
Tn+2 en fonction de Tn+1 et Tn .
4. En utilisant la formule de récurrence trouvée
à la question précédente, calculer Tn pour
n ∈ ‚0, 5ƒ.
5. Déterminer le degré et le coefficient dominant de Tn .
6. Que valent Tn (−1), Tn (0) et Tn (1) ?
7. Déterminer les racines de Tn .
Quelles sont les racines de Qn ?
4. Calculer :
Exercice C-109
tn =
n
X
k=1
et :
sn =
tan2
n
X
2
k=1 sin
1
¡ kπ ¢
2n+1
1
¡ kπ ¢ .
2n+1
5. En déduire la limite quand n tend vers +∞
de :
n 1
X
.
2
k=1 k
On considère la matrice réelle :


5
6
6
6
−3 −4 −3 −3


A=
.
−3 −3 −4 −3
3
3
3
2
1. Calculer A2 puis trouver des réels α et β tels
que A2 + αA + β I4 = 04 .
2. En déduire que A est inversible et déterminer
A−1 .
N
3. Soit n ∈ ∗ , déterminer le reste de la division
euclidienne de X n par X 2 + αX + β.
4. En déduire la matrice A2017 en fonction des
matrices A et I4 .
2016-2017
Sébastien PELLERIN