A- L’ensemble [X] des polynômes à coefficients dans 3
Proposition 2 (principe d’identification)
Soit I un intervalle de (non vide et non réduit à un point).
1. Soit a0,...,andes nombres réels tels que :
∀x∈I, a0+a1x+ · ·· + anxn=0.
Alors tous les coefficients sont nuls i.e. ai=0 pour tout i∈ 0,n.
2. Soit a0,...,anet b0,...,bkdes nombres réels avec an6= 0 et bk6= 0 tels que
∀x∈I, a0+a1x+ · ·· + anxn=b0+b1x+ · · · + bkxk
alors n=ket ai=bipour tout i∈ 0,n.
Démonstration
1. On raisonne par récurrence sur n.
Initialisation. Pour n=0, si on a pour tout x∈I, a0=0 c’est que la fonction constante a0est nulle.
Hérédité. Soit
nÊ
0 pour lequel la propriété est vraie et montrons qu’elle est vraie au rang
n+
1; on considère
n+2 coefficients a0,...,an+1tels que :
∀x∈I,a0+a1x+a2x2+ · · · + anxn+an+1xn+1=0
En particulier cela est vrai pour x=0 ce qui donne a0=0 donc :
∀x∈I,a1x+a2x2+ · · · + anxn+an+1xn+1=0.
En dérivant on obtient alors :
∀x∈I,a1+2a2x+ · · · + nanxn−1+(n+1)an+1xn=0.
En appliquant l’hypothèse de récurrence avec les coefficients a1,2a2,...,(n+1)an+1on obtient :
a1=2a2= ·· · = nan=(n+1)an+1=0i.e.a1=a2= · · · = an=an+1=0.
On a donc bien montré que les coefficients aisont tous nuls ce qui termine la démonstration.
2. Supposons que a0+a1x+ · · · + anxn=b0+b1x+ · · · + bkxkpour tout x∈, avec par exemple nÊk, alors :
∀x∈, (a0−b0)+(a1−b1)x+ · · · + (ak−bk)xk+ak+1xk+1+ · · · + anxn
| {z }
n’apparaissent que si n>k
=0
Si
n>k
alors d’après
1.
les coefficients (
a0−b0
)
,
(
a1−b1
)
,...,
(
ak−bk
)
,ak+1,...,an
sont tous nuls ce qui est
absurde puisque an6= 0 donc n=ket, pour tout x∈,ona:
(a0−b0)+(a1−b1)x+ · · · + (an−bn)xn=0
En utilisant 1. on en déduit que ai=bipour tout i∈ 0,n.
Remarques
1Ï
Le théorème précédent assure de l’unicité de l’écriture d’un polynôme sous la forme
a0+a1X+ · · ·+ anXn
avec an6= 0; on admet que c’est également vrai dans le cas d’un polynôme à coefficients dans =.
2Ï
On en déduit également qu’une fonction polynomiale ne peut pas être de degré
n
et de degré
k
avec
n6= k. On peut donc parler du degré d’un fonction polynomiale.
3Ï
On peut reformuler ce résultat de la façon suivante : une combinaison linéaire de monômes de degrés
distincts ne peut être nulle que si tous les coefficients sont nuls.
Sébastien PELLERIN 2016-2017