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Chapitre VI
Polynômes
Sommaire
A L’ensemble [X] des polynômes à coefficients dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1 Définitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.2 Opérations algébriques sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A.3 Polynômes dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
B Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
C Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C.2 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
C.3 Factorisation dans [X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exercices................................................. 15

2Chapitre VI - Polynômes
Dans tout ce chapitre, désigne ou .
A - L’ensemble [X] des polynômes à coefficients dans
A.1 - Définitions et vocabulaire
Définition 1
On appelle polynôme à coefficients dans toute fonction P : → telle qu’il existe n∈ et n+ 1
éléments a0,a1,...,ande vérifiant pour tout z∈:
P(z)=a0+a1z+ · · · + anzni.e. P(z)=
n
X
k=0
akzk.
On dit que a0,a1,..., ansont les coefficients de P.
Dans la pratique, on écrit :
P=a0+a1X+a2X2+ · · · + anXn=
n
X
k=0
akXk
où X est une lettre muette appelée l’indéterminée.
L’ensemble des polynômes à coefficients dans et d’indéterminée X se note [X].
Remarques
1Ï L’incusion ⊂ permet de dire qu’un polynôme à coefficients dans est a fortiori un polynôme à
coefficients dans i.e. [X] ⊂[X].
2ÏOn appelle monôme un polynôme n’ayant qu’un coefficient non nul i.e. de la forme apXpavec ap6= 0.
3ÏOn appelle polynôme nul le polynôme dont tous les coefficients sont nuls (on le note 0).
4Ï Si un polynôme P n’est pas nul, alors son degré est l’indice du dernier coefficient non nul; on le note
deg(P) ou degP.
Un polynôme de degré n∈est donc de la forme P =a0+a1X+a2X2+ · · · + anXnavec an6= 0.
Ce coefficient anest appelé coefficient dominant de P ; lorsque an=1, on dit que alors P est unitaire.
5ÏOn convient que le polynôme nul est de degré −∞.
6ÏUn polynôme constant est un polynôme soit nul, soit de degré nul.
7ÏL’écriture P =
n
P
k=0akXkne signifie pas que P est de degré nmais seulement que degP Én.
8Ï L’ensemble des polynômes à coefficients dans , d’indéterminée X et de degré au plus n se note
n
[ X ].
2016-2017 Sébastien PELLERIN

A- L’ensemble [X] des polynômes à coefficients dans 3
Proposition 2 (principe d’identification)
Soit I un intervalle de (non vide et non réduit à un point).
1. Soit a0,...,andes nombres réels tels que :
∀x∈I, a0+a1x+ · ·· + anxn=0.
Alors tous les coefficients sont nuls i.e. ai=0 pour tout i∈ 0,n.
2. Soit a0,...,anet b0,...,bkdes nombres réels avec an6= 0 et bk6= 0 tels que
∀x∈I, a0+a1x+ · ·· + anxn=b0+b1x+ · · · + bkxk
alors n=ket ai=bipour tout i∈ 0,n.
Démonstration
1. On raisonne par récurrence sur n.
Initialisation. Pour n=0, si on a pour tout x∈I, a0=0 c’est que la fonction constante a0est nulle.
Hérédité. Soit nÊ 0 pour lequel la propriété est vraie et montrons qu’elle est vraie au rang n+ 1; on considère
n+2 coefficients a0,...,an+1tels que :
∀x∈I,a0+a1x+a2x2+ · · · + anxn+an+1xn+1=0
En particulier cela est vrai pour x=0 ce qui donne a0=0 donc :
∀x∈I,a1x+a2x2+ · · · + anxn+an+1xn+1=0.
En dérivant on obtient alors :
∀x∈I,a1+2a2x+ · · · + nanxn−1+(n+1)an+1xn=0.
En appliquant l’hypothèse de récurrence avec les coefficients a1,2a2,...,(n+1)an+1on obtient :
a1=2a2= ·· · = nan=(n+1)an+1=0i.e.a1=a2= · · · = an=an+1=0.
On a donc bien montré que les coefficients aisont tous nuls ce qui termine la démonstration.
2. Supposons que a0+a1x+ · · · + anxn=b0+b1x+ · · · + bkxkpour tout x∈, avec par exemple nÊk, alors :
∀x∈, (a0−b0)+(a1−b1)x+ · · · + (ak−bk)xk+ak+1xk+1+ · · · + anxn
| {z }
n’apparaissent que si n>k
=0
Si n>k alors d’après 1. les coefficients ( a0−b0 ) , ( a1−b1 ) ,..., ( ak−bk ) ,ak+1,...,an sont tous nuls ce qui est
absurde puisque an6= 0 donc n=ket, pour tout x∈,ona:
(a0−b0)+(a1−b1)x+ · · · + (an−bn)xn=0
En utilisant 1. on en déduit que ai=bipour tout i∈ 0,n.
Remarques
1Ï Le théorème précédent assure de l’unicité de l’écriture d’un polynôme sous la forme a0+a1X+ · · ·+ anXn
avec an6= 0; on admet que c’est également vrai dans le cas d’un polynôme à coefficients dans =.
2Ï On en déduit également qu’une fonction polynomiale ne peut pas être de degré n et de degré k avec
n6= k. On peut donc parler du degré d’un fonction polynomiale.
3Ï On peut reformuler ce résultat de la façon suivante : une combinaison linéaire de monômes de degrés
distincts ne peut être nulle que si tous les coefficients sont nuls.
Sébastien PELLERIN 2016-2017

4Chapitre VI - Polynômes
Exercice C-96
Soit P ∈[X] tel que P(x)∈pour tout x∈.
Montrer que les coefficients de P sont réels.
A.2 - Opérations algébriques sur les polynômes
Soit P et Q deux polynômes à coefficients dans , alors P+Q est un polynôme à coefficients dans et on a :
deg(P +Q) Émax¡degP,degQ¢.
C’est évident lorsque P ou Q est nul (il y a même égalité).
Sinon, on note p=degP et q=degQ , il est clair que les coefficients de P+Q sont nuls à partir du rang
max ( p,q ) (et peut-être avant !). On en déduit que le degré de P+Q (i.e. l’indice du dernier coefficient non
nul de P +Q) est inférieur ou égal à max(p,q).
Remarques
1Ï En réalité on a deg ( P+Q ) =max ( degP,degQ ) sauf si P et Q ont même degré et des coefficients dominants
opposés (par exemple 1−X et 1 +X).
2ÏCe résultat reste vrai même avec un polynôme nul en utilisant la convention deg0 = −∞.
On considère deux polynômes P =
p
P
k=0akXkde degré pet Q =
q
P
k=0bkXkde degré q.
Alors le produit, noté PQ, des polynômes P et Q est le polynôme :
PQ =
p+q
X
n=0³n
X
k=0
akbn−k´Xn,
avec la convention ak=0 pour k>pet bk=0 pour k>q.
Le degré de PQ est p+qet son coefficient dominant est apbq.
Remarques
1ÏSoit P et Q deux polynômes à coefficients dans alors :
PQ =0⇐⇒ P=0 ou Q =0
En effet, le sens ⇐= est clair. Pour le sens =⇒ , on raisonne par contraposée : si P et Q sont non nuls de
degrés respectifs pet q, alors PQ est de degré p+qdonc n’est pas nul.
2ÏLa multiplication des polynômes possède les propriétés suivantes :
i. elle est associative i.e. pour tous polynômes P,Q et R, on a (PQ)R =P(QR) ;
ii. elle possède comme élément neutre le polynôme 1 i.e. pour tout polynôme P, on a P.1 =1.P =1 ;
iii.
elle est distributive (à droite et à gauche) par rapport à l’addition i.e. pour tous polynômes P,Q et R ,
on a P(Q +R) =PQ +PR et (P +Q)R =PR+QR ;
iv. elle est commutative i.e. pour tous polynômes P et Q, on a PQ =QP.
3Ï Soit P , Q et R trois polynômes à coefficients dans avec PR =QR , alors P=Q (i.e. on peut « simplifier »
par R).
En effet, si PR =QR alors (P −Q)R =0 avec R 6= 0. On en déduit que P −Q=0i.e. P=Q.
2016-2017 Sébastien PELLERIN

A- L’ensemble [X] des polynômes à coefficients dans 5
Soit ( P,Q ) ∈ [ X ]
2
, on note P=a0+a1X+ · · · + apXp , alors le polynôme composé de P et Q , noté P◦Q ou P ( Q ),
est défini par :
P◦Qdéf =a0+a1Q+ · ·· + apQp
On dit aussi que P ◦Q s’obtient en substituant Q à X dans P.
Exemples
1ÏSi P =1−2X +3X2et Q =1+X alors :
2ÏPour tout P ∈[X] on a P ◦X=P(X) =P.
Remarque
On a deg(P ◦Q) =deg(P).deg(Q).
A.3 - Polynômes dérivés
Définition 3
Si P=a0+a1X+...+anXn∈ [ X ] est de degré nÊ 1, alors on appelle polynôme dérivé de P le polynôme :
P0=a1+2a2X+3a3X2+...+nanXn−1.
Autrement dit, si P =
n
P
k=0akXk, alors on a P0=
n
P
k=1kakXk−1.
Par convention, la dérivée d’un polynôme constant (nul ou non) est le polynôme nul.
Remarques
1Ï Les règles de calculs restent les mêmes que pour les fonctions réelles de la variable réelle. En particulier
pour tout (P,Q) ∈[X]2on a (P +Q)0=P0+Q0et (PQ)0=P0Q+PQ0.
2ÏSi deg(P) =nÊ1 alors deg(P0)=n−1.
Exercice C-97
On définit les dérivées successives d’un polynôme P par :
P(0) =P , P(1) =P0et pour tout nÊ2, P(n)=¡P(n−1)¢0.
On note P00 au lieu de P(2) et P000 au lieu de P(3).
1. Soit P un polynôme de degré net de coefficient dominant α, déterminer P(n).
2. Considérons deux entiers ket navec k<n.
Que peut-on dire de P(n)si P est un polynôme de degré k?
Sébastien PELLERIN 2016-2017