FONCTIONS SINUS ET COSINUS

Chapitre 04 Fonctions sinus et cosinus Terminale S
FONCTIONS SINUS ET COSINUS
I- Définition
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j). Soit Cle cercle trigonométrique de
centre O.
A tout nombre réel xon associe le point Mde Ctel que (−→ i , −−→ OM ) = x+k×2π.
cos(x) est l’abscisse de Mdans le repère (O;−→ i , −→ j), sin(x) est l’ordonnée de Mdans le
repère (O;−→ i , −→ j).
Définition
La fonction cosinus, notée cos est la fonction qui, à tout réel xassocie cos(x).
La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui, à tout réel xassocie sin(x).
II- Étude des fonctions sinus et cosinus
1. Réduction de l’intervalle d’étude
Propriété 1
Pour tout réel xet pour tout entier relatif k, on a :
•cos(x+k×2π) = cos(x) ;
•sin(x+k×2π) = sin(x).
On dit que les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π.
Les courbes représentatives des fonctions cos et sin dans un repère orthogonal (O;−→ i , −→ j)
sont invariantes par toute translation de vecteur 2kπ−→ i, où k∈Z.
On pourra réduire l’intervalle d’étude à un intervalle d’amplitude 2π, on choisira
[−π;π].
Propriété 2
Pour tout réel x:
•cos(−x) = cos(x) ;
•sin(−x) = sin(x).
On dit que la fonction cos est une fonction paire. Sa courbe représentative dans un
repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On dit que la fonction sin est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un
repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine du repère.
On pourra réduire l’intervalle d’étude à [0; π].
2. Fonctions dérivées
Théorème Les fonctions cos et sin sont dérivables sur Ret, pour tout réel x:
•cos′(x) = −sin(x) ;
•sin′(x) = cos(x).
3. Tableaux de variation
x−π−π
20π 2π
cos′(x) = −sin(x) 0 + 0 −0
cos(x)
−1
✟✯
✟
✟
0
✟✯
✟
✟
1❍❍❍❥ 0❍❍❍❥ 1
1

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x−π−π
20π 2π
sin′(x) = cos(x)−0 + 0 −
sin(x)
0❅❅❅❘
−1
✟✯
✟
✟
0
✟✯
✟
✟
1❅❅❅❘ 0
4. Courbes représentatives
On représente ci-dessous les fonctions cos et sin sur l’intervalle [−π;π].
1
−1
123−1−2−3
y= cos(x)y= sin(x)
π
−π
π
2
−π
2
puis sur l’intervalle [−3π; 3π] :
2468−2−4−6−8
y= cos(x)y= &sin(x)
Remarque
Les fonctions cos et sin n’admettent pas de limite en +∞.
Si l’on veut étudier, par exemple, la limite en +∞de la fonction x7→ sin(x)
x, on va
utiliser les théorèmes de comparaison.
Pour tout réel x, on a : −16sin(x)61.
Pour tout réel x,x > 0, on a : −1
x6sin(x) x61 x.
De plus : lim
x→+∞Å−1
xã= 0 et lim
x→+∞Å1
xã= 0.
On en conclut, d’après le théorème des gendarmes : lim
x→+∞
sin(x)
x= 0.
III- Application au calcul de limites
•Calculer lim
x→0
x>0
sin(x)
x2.
Pour tout réel x6= 0, sin(x)
x2=sin(x) x×1 x.
2

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lim x→0sin(x)
x= 1 et lim
x→0
x>0
1
x= +∞
On en conclut, par produit : lim
x→0
x>0
sin(x)
x2= +∞.
•Calculer lim
x→0
sin(2x)
x.
Pour tout réel x6= 0, sin(2x
x=sin(2x) 2x×2.
lim
x→0(2x) = 0 et lim
X→0
sin(X)
X.
On en déduit, par composition : lim
x→0
sin(2x)
2x= 1.
On en conclut enfin, par produit : lim
x→0
sin(2x)
2x×2 = 2 soit lim
x→0
sin(2x)
x= 2
IV- Fonctions x7→ cos(ax +b)et sin(ax +b)
Théorème
Soit aet bdeux réels. Les fonctions f:x7→ cos(ax +b) et g:7→ sin(ax +b) sont dérivables
sur R.
Pour tout réel x:
•f′(x) = −asin(ax +b) ;
•g′(x) = acos(ax +b).
Exemple Etude d’une fonction trigonométrique
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = cos(2x)−1.
1) Etudier la parité de f.
2) Démontrer que fest périodique de période π.
3) Etudier les variations de fsur l’intervalle h0; π
2i.
4) Déduire des questions précédentes la représentation graphique de fdans un repère
orthogonal (O;−→ i , −→ j) sur l’intervalle ï−3π
2;3π 2ò.
1) Pour tout réel x,f(−x) = cos(−2x)−1 = cos(2x)−1 = f(x).
fest donc une fonction paire, sa représentation graphique dans un repère orthogonal
est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
2) Pour tout réel x,f(x+π) = cos(2(x+π)) −1 = cos(2x+ 2π)−1 = cos(2x)−1 = f(x).
fest donc pérodique de période π.
Sa représentation graphique dans un repère (O;−→ i , −→ j) est donc invariante par toute
translation de vecteur 2kπ−→ i, où k∈Z.
3) La fonction fest dérivable sur Ret, pour tout xréel, f′(x) = −2 sin(2x).
Si x∈h0; π
2i, alors 2x∈[0; π].
Pour tout x∈i0; π
2h, on a sin(2x)>0.
sin(0) = sin(π) = 0.
On en déduit le tableau de variation de f:
3

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x0π
2
f′(x)−
f(x)
0❅❅❅❘
−2
4) On trace la courbe représentative de fsur l’intervalle h0; π
2i, puis on effectue une
symétrie par rapport à l’axe des abscisses, et enfin une translation de vecteur π−→ iet
une translation de vecteur −π−→ i.
1
−1
−2
12345−1−2−3−4−5
4