Primitives calcul integral et applicationsx

Primitives, calcul intégral et applications
A) Calcul de primitives
1. Définition :
On appelle primitive d'une fonction f définie sur un intervalle I de toute fonction F dérivable sur I telle que pour
tout x de I : F'(x) = f(x).
2. Exemples :
Ex1. 2 é .
Ex2. 2 3² é .
3. Propriétés :
Si F est une primitive d'une fonction f sur I, alors toutes les autres primitives de f sur I sont du type x → F(x)+c
où c est une constante réelle.
De plus il existe une seule primitive de f sur I, qui prend la valeur y0 en x0 .
Si F est une primitive de f sur l’intervalle I et G est une primitive de g sur I, alors pour tous nombres réels a et b,
aF + bG est une primitive de la fonction af +bg sur I.
Il existe des fonctions sans primitives, cependant, toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives
sur I.
4. Tableau des primitives usuelles
On désigne par F une primitive quelconque de f sur un intervalle I contenu dans l'ensemble de définition de f. x
est un élément de I.
f(x)
0
a (constante)
α ≠ −1 x α
(resp. f )
( aU')
( U'.U α )
1
x
1
x2
1
2 x
ex
Cosx
Sinx
N.M.
U'
)
U
U'
(
)
U2
(
(
U'
)
F(x)
c
ax+c
xα +1
+c
α +1
ln x + c
−
1
+c
x
x +c
(resp. F)
(aU+c)
U α +1
+c)
α +1
(lnU + c )
(
( -
1
+c)
U
( U +c)
2 U
(U'eU )
ex + c
(eU + c )
(U'cosU)
(U'sinU)
Sinx +c
- Cosx + c
( sinU + c)
(- CosU + c)
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B) Intégrale d'une fonction
5.
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de , F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I.
On appelle intégrale de a à b de la fonction f, le nombre réel F(b)-F(a). On note ce nombre
b
b
∫ f ( x )dx ,
a
ou
∫ f(t)dt
a
On écrit :
6. Exemples
Ex3. . Une primitive de f sur l’intervalle [1 ; 2 ] est F(x) =
!
2
1
∫ ( x + x )dx = F ( 2 ) − F ( 1 )
1
1
3
=(2 + ln2)-( ) = + ln 2
2
2
#
Ex4. Calculer $ "! Ex5. (D’après BTS 2010) On note % $ 2 2 . Montrer que I = 4
7. Théorème : Intégrale et primitive
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un réel quelconque de I.
x
La fonction F définie sur I par F : x → ∫ f (t )dt est l'unique primitive de f qui s'annule en a.
a
C. Application aux calculs d’aires
On donne une fonction f continue positive sur un intervalle [a , b] de ℝ . F est une primitive de f sur [a , b].
On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( O , i , j ) .
L'unité d'aire étant l'aire du petit rectangle
de dimensions OI et OJ ( figure ci-contre)
L'aire du domaine limité par (C) l'axe des abscisses
et les droites d'équations respectives x = a et x = b ( a ≤ b )
est égale à :
b
∫ f(x)dx
en unité d'aire
a
Si OI = 3 cm et OJ = 2 cm
Alors l'aire du domaine défini ci-dessus est :
b
∫ f(x)dx
× 6 cm 2
a
N.M.
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8. Exercice d'application :
Le plan est rapporté à un repère
orthonormal. L'unité graphique
est 1 cm .
Représenter la courbe (C)
&
de la fonction f définie sur [-2 , 2] par '!
Calculer en cm² l'aire du domaine
limité par l'axe des abscisses la courbe (C)
et les droites d'équations respectives ;
x = -2 et x = 2.
9. Valeur moyenne :
Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ; soit a et b deux réels de I tel que a < b.
1
b−a
Le nombre réel
b
∫ f ( x )dx
s'appelle la valeur moyenne de f sur l'intervalle [a , b].
a
Ex6 : Calculer la valeur moyenne sur [0 ; 2] de la fonction f définie sur par " .
10. Propriétés de l'intégrale
f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I contenant les réels a, b et c.
α et β sont deux réels.
a
P1
∫ f ( x )dx = 0
a
b
P2
∫
a
(car F(a)-F(a) = 0)
a
f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx
(car F(a) - F(b) = - ( F(b)-F(a) ) )
b
b
c
c
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
=
∫
∫
∫ f ( x )dx
a
b
a
b
b
b
P4 Linéarité de l'intégrale : ∫ ( αf + βg )( x )dx = α ∫ f ( x )dx + β ∫ g ( x )dx .
a
a
a
b
si a ≤ b et f ≥ 0 sur [a ,b ] alors ∫ f ( x )dx ≥ 0
a
P5 Positivité et inégalité :
b
b
si a ≤ b et f ≤ g sur [a,b ] alors ∫ f ( x )dx ≤ ∫ g( x )dx
a
a
11. Inégalités de la moyenne
P3 Relation de Chasles :
f est une fonction continue sur un intervalle I, contenant deux réels a et b tel que a < b.
M et m deux réels.
( ) * * + ,: . /0 ) * 1 * + N.M.
Primitives. Calcul intégral.
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D. Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a,b], ayant des dérivées continues sur [a,b]
La formule d'intégration par parties est :
1 2 3 ,2. 1 3 2
Exemples :
7
Calculer 8 454 64 avec x > 0.
Ex7.
et
v’(t) =
et
u'(t) = 1 et
v(t) =
et
On pose u(t) = t
donc
x
D'où
∫
f ( t )dt =
0
[ ]
x
t x − e t dt = xe x −
te 0 ∫
0
[e ] = xe
t x
0
x
− e x + 1 = ( x − 1 )e x + 1
Ex8. (D’après BTS 2010).
1. On note 9 $ 1 ! . Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que 9 $
=
2. Soit f la fonction définie par 1 ! 2 2. On note ; $= <767.
a. Déduire de ce qui précède (Ex5 et Ex.8.1 ) la valeur exacte de K.
b. Donner la valeur de K, arrondie à 10$" .
c. On admet que pour tout x de l’intervalle [-1 ; 1 ], <7 ? 8. Donner une interprétation graphique de
K.
x
Ex9. Calculer à l’aide d’une intégration par parties I =
∫ (ln t )dt
avec x > 0 .
e
C
Ex10. (D’après BTS 2007). Pour tout réel positif t, on note % 710 B $A
$A BC
B!
$A BC
1. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que : % A B
A B.
2. Calculer limCGHI %. Donner la valeur exacte de cette limite, puis sa valeur approchée arrondie à
10$J.
Ex11. (D’après BTS 2001). Soit la fonction f définie sur par 1 "! .
B
On note %K L .
#
#
1. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que %K M N" K MO "L .
2. Calculer la limite de %K quand K tend vers - ∞.
E. Calculs de volumes
Voir document annexe
N.M.
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