Chapitre 1 : Nombres Complexes

2 FREDERIC PALESI
Chapitre 1 : Nombres Complexes
Exercice 1. Mettre sous la forme alg´ebrique de a+ib (a, b 2R)lesnombrescomplexes
suivants:
z1=(1+2i)(2 3i)(2 + i)(3 2i); z2=3+6i
34i;z5=(1 + i)5 (1 i)3
Exercice 2.
(1) Mettre sous forme trigonom´etrique :
z1=3+3iz
2=1p3iz 3=4
3iz
4=2.
(2) Mettre sous forme exponentielle
z5=1i
1+iz6=(1 + ip3)
p3+i,z
7=(1+i)8(1 ip3)6
(3) Calculer 1+ip3
2!2012
.
Exercice 3.
D´eterminer les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes
z1=e(1+i⇡
6);z2=e(2i);z3=e(i⇡ 2);z4=e(1+i)(2+i⇡ 3).
Exercice 4. On consid`ere un circuit ´electrique. La tension complexe obtenue est
u=jI0p2✓r+jL!
1LC!2+jrC!◆
o`u I0,r,L,C et !d´esignent des constantes strictement positives et jd´esigne le nombre
complexe qui v´erifie j2=1. Calculer le module de u.

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Exercice 5.
(1) Enoncer la d´efinition des racines carr´ees complexes d’un nombre complexe.
(2) Donner les racines carr´ees complexes des nombres
z1=5; z2=0; z3=9
(3) Calculer les racines carr´ees complexes des nombres
z4=i;z5=3+4i;z6=86i
Exercice 6.
Calculer les puissances n-i`emes des nombres complexes :
z1=1+ip3
1+i;z2=1+j;z3=1+itan ✓ 1itan ✓.
Exercice 7.
R´esoudre dans Cles ´equations suivantes :
z2+z+1 =0(1)
z2(1 + 2i)z+i1=0(2)
z2p3zi=0(3)
iz2+(4i3)z+i5=0(4)
Exercice 8. On pose !=1+i
(1) Calculer les racines carr´ees complexes de !
(2) En calculant les racines carr´ees complexes d’une autre fa¸con, d´eduire les expressions
`a l’aide de radicaux de
cos ⇣⇡
8⌘et sin ⇣⇡ 8⌘.

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Exercice 9 ( Racines cubiques).
(1) Donner la d´efinition des racines cubiques complexes d’un nombre complexe.
(2) Combien de racines cubiques r´eelles poss`ede un nombre r´eel ?
(3) Calculer les racines cubiques r´eelles (si elles existent) des nombres :
z1=1; z2=8
(4) Calculer les racines cubiques complexes des nombres :
z2=8; z3=i;z4=22i
Exercice 10 (Racines n-i`emes).
(1) D´eterminer les racines 5-iemes de 1. Les dessiner sur le plan complexe.
(2) R´esoudre dans Cl’´equation suivante :
z6=✓1i
p3+i◆.
(3) (F)R´esoudrez5=¯z
Exercice 11.
(1) Enoncer la formule de De Moivre.
(2) Soit ✓un r´eel. Calculer cos 3✓et sin 3✓en fonction des puissances de cos ✓et sin ✓.
(3) Faire de mˆeme avec cos 4✓et sin 4✓.
Exercice 12. Formule d’Euler
(1) Enoncer les formules d’Euler
(2) Pour ✓2R,Lin´earisercos
3(✓)etsin
3(✓) (exprimer comme une somme de cos et de
sin sans qu’il y ait de produit)
(3) (facultatif) En d´eduire les primitives des fonctions ✓7! cos3(✓)et✓7! sin3(✓).

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Exercice 13.
On note !=e2⇡
3.
(1) Mettre !et !2sous forme alg´ebrique.
(2) V´erifier que 1 + !+!2=0.
(3) Factoriser le polynˆome z38i.
Exercice 14. (F)
On consid`ere dans Cl’´equation (E)suivante:
z2(1 + a)(1+i)z+1+a2i=0,
o`u aest un param`etre r´eel.
(1) Calculer en fonction de a2Rles solutions z1et z2de (E) (indication: on pourra
d´eterminer les racines carr´ees complexes de 2i(1 a)2).
(2) On d´esigne par Z1(resp. Z2) les points du plan complexe d’affixez1(resp. z2)
et par Mle milieu de [Z1,Z
2]. Tracer la courbe du plan complexe d´ecrite par M
lorsque avarie dans R.