2 FREDERIC PALESI Chapitre 1 : Nombres Complexes Exercice 1. Mettre sous la forme algébrique de a + ib (a, b 2 R) les nombres complexes suivants: z1 = (1 + 2i)(2 3i)(2 + i)(3 2i) ; 3 + 6i 3 4i z2 = ; z5 = (1 + i)5 (1 i)3 Exercice 2. (1) Mettre sous forme trigonométrique : z1 = 3 + 3i z2 = p 1 3i z3 = 4 i 3 z4 = 2. (2) Mettre sous forme exponentielle p (1 + i 3) z6 = p , 3+i 1 i z5 = 1+i (3) Calculer z7 = (1 + i)8 (1 p i 3) 6 p !2012 1+i 3 . 2 Exercice 3. Déterminer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes z1 = e( 1+i ⇡6 ) ; z2 = e(2 i) ; z3 = e( i ⇡2 ) ; z4 = e(1+i)( 2+i ⇡3 ) . Exercice 4. On considère un circuit électrique. La tension complexe obtenue est p u = jI0 2 ✓ 1 r + jL! LC! 2 + jrC! ◆ où I0 , r, L, C et ! désignent des constantes strictement positives et j désigne le nombre complexe qui vérifie j 2 = 1. Calculer le module de u. TD DE MATHEMATIQUES 2014-2015 3 Exercice 5. (1) Enoncer la définition des racines carrées complexes d’un nombre complexe. (2) Donner les racines carrées complexes des nombres z1 = 5; z2 = 0; z3 = 9 (3) Calculer les racines carrées complexes des nombres z4 = i; z5 = 3 + 4i; z6 = 8 6i Exercice 6. Calculer les puissances n-ièmes des nombres complexes : p 1+i 3 1 + i tan ✓ z1 = ; z2 = 1 + j ; z3 = . 1+i 1 i tan ✓ Exercice 7. Résoudre dans C les équations suivantes : z2 + z + 1 = 0 (1) z2 (2) (3) (4) (1 + 2i)z + i p z2 3z iz 2 + (4i 1 =0 i =0 3)z + i 5 =0 Exercice 8. On pose ! = 1 + i (1) Calculer les racines carrées complexes de ! (2) En calculant les racines carrées complexes d’une autre façon, déduire les expressions à l’aide de radicaux de cos ⇣⇡ ⌘ 8 et sin ⇣⇡ ⌘ 8 . 4 FREDERIC PALESI Exercice 9 ( Racines cubiques). (1) Donner la définition des racines cubiques complexes d’un nombre complexe. (2) Combien de racines cubiques réelles possède un nombre réel ? (3) Calculer les racines cubiques réelles (si elles existent) des nombres : z1 = 1; z2 = 8 (4) Calculer les racines cubiques complexes des nombres : z2 = 8; z3 = i; z4 = 2 2i Exercice 10 (Racines n-ièmes). (1) Déterminer les racines 5-iemes de 1. Les dessiner sur le plan complexe. (2) Résoudre dans C l’équation suivante : 6 z = ✓ 1 i p 3+i ◆ . (3) (F) Résoudre z 5 = z̄ Exercice 11. (1) Enoncer la formule de De Moivre. (2) Soit ✓ un réel. Calculer cos 3✓ et sin 3✓ en fonction des puissances de cos ✓ et sin ✓. (3) Faire de même avec cos 4✓ et sin 4✓. Exercice 12. Formule d’Euler (1) Enoncer les formules d’Euler (2) Pour ✓ 2 R, Linéariser cos3 (✓) et sin3 (✓) (exprimer comme une somme de cos et de sin sans qu’il y ait de produit) (3) (facultatif) En déduire les primitives des fonctions ✓ 7! cos3 (✓) et ✓ 7! sin3 (✓). TD DE MATHEMATIQUES 2014-2015 5 Exercice 13. 2⇡ On note ! = e 3 . (1) Mettre ! et ! 2 sous forme algébrique. (2) Vérifier que 1 + ! + ! 2 = 0. (3) Factoriser le polynôme z 3 8i. Exercice 14. (F) On considère dans C l’équation (E) suivante: z2 (1 + a) (1 + i) z + 1 + a2 i = 0, où a est un paramètre réel. (1) Calculer en fonction de a 2 R les solutions z1 et z2 de (E) (indication: on pourra déterminer les racines carrées complexes de 2i(1 a)2 ). (2) On désigne par Z1 (resp. Z2 ) les points du plan complexe d’affixe z1 (resp. z2 ) et par M le milieu de [Z1 , Z2 ]. Tracer la courbe du plan complexe décrite par M lorsque a varie dans R.