PRODUITS Qu`est ce qu`un nombre premier ? Comment savoir si un

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CCP 2002, MATHÉMATIQUES 1, MP
1. LES NOMBRES PREMIERS
Qu’est ce qu’un nombre premier ? Comment savoir si un nombre est premier ?
Euclide (vers -300) a montré qu’il existe une infinité de nombres premiers. Comment ?
On note pnle n-ième nombre premier. Donc p1= 2,p2= 3, . . .
Ce n’est pas assez de dire qu’il existe une infinité de nombres premiers. On voudrait savoir
s’ils se raréfient, et dans quelle mesure. Est-ce que la preuve d’Euclide donne une majoration du
(n+ 1)-ième nombre premier en fonction des précédents ?
Pour xun réel positif, on note π(x)le nombre d’entiers premiers dans l’intervalle [2, x]. Une
étude expérimentale donne les valeurs suivantes
x10 100 1000 10000 100000
π(x)4 25 168 1229 9592
x/π(x)2.5 4 5.95 8.14 10.4
log x2.3 4.6 6.9 9.2 11.5
Il est donc raisonable de conjecturer que l’application x7→ π(x)est équivalente à x/ log(x)
quand x→ ∞. Cette hypothèse, formulée par Gauss et Legendre, n’a été démontrée qu’en 1896
par Hadamard et de La Vallée-Poussin indépendamment.
2. PARTIE I:LA SÉRIE HARMONIQUE
La série harmonique a été étudiée par Nicolas Oresme qui a montré sa divergence en 1360.
Il n’est pas difficile de donner une équivalent de la somme partielle. Soit N≥1un entier. On
a
N
X
n=2
1
n≤ZN
1
dx
x≤
N−1
X
n=1
1
n.
Comme RN
1
dx
x= log Non a
1
N+ log N≤
N
X
n=1
1
n≤1 + log N.
Soit Sun sous-ensemble de l’ensemble N∗des entiers naturels non-nuls. On peut lui associer
la somme
X
n∈S
1
n= lim
N→∞ X
n∈Set n≤N
1
n.
1

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Si Sest l’ensemble des carrés cette somme est finie. Si Sest l’ensemble des nombres pairs,
cette somme est infinie. D’une manière générale, cette somme donne une idée de la hh tailleii de
S. Si Pest l’ensemble des nombres premiers, la série diverge. L’énoncé le prouve en montrant
que le produit
Y
n≥1
1
1−1
pn
diverge.
3. LIMITES DE FONCTIONS
Soit Iun intervalle non-vide de Ret (fn)nune suite d’applications de Idans R.
3.1. Continuité d’une limite uniforme d’applications continues : Si les fnsont continues et
si la suite (fn)nconverge uniformément vers une application f:I→R, alors fest continue.
3.2. Convergence dominée : Supposons que les fnsont continues par morceaux, intégrables,
et convergent simplement vers une application f:I→Rcontinue par morceaux. Supposons
qu’il existe une application g:I→Rintégrable telle que ||fn|| ≤ gpour tout n. Alors fest
intégrable et
lim
n→∞ ZIfn=ZIf.
3.3. Dérivation : Supposons que les fnsont de classe C1sur Iet convergent simplement vers
une application f:I→R. Supposons que les gn=f0
nconvergent uniformément vers une
application g. Alors fest de classe C1sur Iet f0=g.
4. L’EXPONENTIELLE COMPLEXE
C’est l’application de Cdans Cdéfinie par la série entière 1 + Pn≥1zn
n!. La rayon de con-
vergence de cette série entière est infini. On note exp : C→Cl’application obtenue. C’est
une application continue. La restriction de exp àRest une application strictement croissante
et C∞de Rdans R+. Elle est égale à sa dérivée, ce qui permet de l’identifier à l’application
réciproque du logarithme. C’est donc l’exponentielle réelle bien connue. Pour z1,z2dans Con
aexp(z1+z2) = exp(z1) exp(z2). On définit cos(z) = (exp(iz) + exp(−iz))/2et sin(z) =
(exp(iz)−exp(−iz))/(2i). Pour aet bréels, on a exp(a+ib) = exp(a) (cos(b) + isin(b)) .
5. SÉRIES DE FOURIER
Soit C2π(R,C)l’espace des applications de Rdans C, continues et 2π-périodiques. Soit
CM2π(R,C)l’espace des applications de Rdans C, continues par morceaux et 2π-périodiques.
On définit une forme sesquilinéaire sur CM2π(R,C)par (f|g) = 1
2πR[0,2π]¯
fg. Elle est définie
positive sur C2π(R,C).
Soit nen entier relatif. On note enl’application de Rdans Cdéfinie par en(t) = exp(int). Les
enforment une famille orthonormée dans C2π(R,C). Ce n’est pas une base. Les combinaisons

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linéaires des ensont appelées polynômes trigonométriques. Les coefficients de Fourier d’une
application f∈ CM2π(R,C)sont les
cn(f)=(en|f) = 1
2πZ[−π,π]f(t) exp(−int)dt.
La série Pn∈Z|cn(f)|2est convergente. Si fest dans Ckalors cn(f) = o(|n|−k). Si fest continue
et C1par morceaux alors la série Pn∈Z|cn(f)|est convergente. On note
SN=
N
X
n=−N
cn(f)en(t)
la somme trigonométrique partielle.
Si une série trigonométrique Pncnenconverge uniformément vers une application falors f
est dans C2π(R,C)et cn(f) = cnpour tout n.
Théorème de Dirichlet : Soit f∈ CM2π(R,C)et t0∈R. On note f(t−
0)la limite de fen
t0par la gauche. On note f(t+
0)la limite de fen t0par la droite. On suppose que (f(t−h)−
f(t−
0))/h et (f(t+h)−f(t+ 0))/h ont des limites finies quand htend vers 0. Alors SN(t0)tend
vers (f(t+
0) + f(t− 0))/2quand N→+∞.
Si fest continue et C1par morceaux alors sa série de Fourier converge normalement vers f.
6. CONTINUITÉ ET DÉRIVATION SOUS LE SIGNE SOMME
Soient Jet Ideux intervalles non-vides de R. Soit f:J×I→Rune application.
6.1. Continuité. On suppose que
•Pour tout x∈J, l’application t7→ f(x, t)est continue par morceaux sur I,
•Pour tout t∈I, l’application x7→ f(x, t)est continue sur J,
•Il existe une application ϕ:I→Rintégrable sur Itelle que pour tout t∈Iet tout
x∈Jon ait ||f(x, t)|| ≤ ϕ(t).
Alors pour tout x∈J, l’application t7→ f(x, t)est intégrable. Et l’application
g:x7→ ZIf(x, t)dt
est continue sur J.
6.2. Dérivabilité. On suppose que
•Pour tout x∈J, l’application t7→ f(x, t)est intégrable sur I,
•Pour tout t∈I, l’application x7→ f(x, t)est de classe C1sur J,
•Pour tout x, l’application dérivée t7→ ∂f
∂x (x, t)est continue par morceaux sur I,
•Il existe une application ϕ:I→Rintégrable sur Itelle que pour tout t∈Iet tout
x∈Jon ait ||∂f
∂x (x, t)|| ≤ ϕ(t).
Alors l’application g:x7→ RIf(x, t)dt est de classe C1sur Jet pour tout x∈Jon a
g0(x) = ZI
∂f
∂x(x, t)dt.

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7. COMMENT SAVOIR SI UN NOMBRE EST PREMIER ?
On peut utiliser le crible d’Eratosthène (troisième siècle avant notre ère).
Le petit théorème de Fermat affirme que pour tout nombre premier net tout entier xdans
l’intervale [1, n −1], on a xn−1≡1 mod n.
On déduit de ce théorème un critère de composition : s’il existe un entier xdans l’intervale
[1, n −1], tel que xn−16≡ 1 mod n, alors nest composé. L’algorithme d’exponentiation rapide
permet de calculer efficacement xn−1mod n. Cette méthode a été inventée par Pi˙ ngala dans son
Chandah-sûtra (entre -450 et -250).
Un nombre de Carmichael est un entier composé ntel que xn−1≡1pour tout x∈(Z/nZ)∗.
Par exemple 561 = 3 ×11 ×17. Il existe hélas une infinité de nombres de Carmichael.
Le critère de Miller-Rabin améliore celui de Fermat.
Théorème 7.1 (Critère Miller-Rabin).Soit n≥3un entier impair. On pose n−1=2km, où m
est un entier impair. Si nest premier alors pour tout xdans (Z/nZ)∗
(1) xm= 1,ou il existe un i dans {0,1,2, . . . , k −1}tel que xm2i=−1.
En effet d’après le petit théorème de Fermat, on a : xn−1−1 = 0 mod n. En factorisant
successivement chacune des différences de deux carrés, on obtient :
xn−1−1=(xn−1
2+1)(xn−1 2−1) = · · · = (x2k−1m+1)(x2k−2m+1) · · · (x2m+1)(xm+1)(xm−1).
Puisque Z/nZest un corps, l’un de ces facteurs est nul. 2
La fiabilité de ce critère est donnée par le théorème suivant.
Théorème 7.2. Soit n > 9un entier impair composé. Alors
#{x∈(Z/nZ)∗|la condition (1) est vérifiée}
ϕ(n)≤1 4
où ϕ(n) = #(Z/nZ)∗.