PRODUITS CCP 2002, MATHÉMATIQUES 1, MP 1. L ES NOMBRES PREMIERS Qu’est ce qu’un nombre premier ? Comment savoir si un nombre est premier ? Euclide (vers -300) a montré qu’il existe une infinité de nombres premiers. Comment ? On note pn le n-ième nombre premier. Donc p1 = 2, p2 = 3, . . . Ce n’est pas assez de dire qu’il existe une infinité de nombres premiers. On voudrait savoir s’ils se raréfient, et dans quelle mesure. Est-ce que la preuve d’Euclide donne une majoration du (n + 1)-ième nombre premier en fonction des précédents ? Pour x un réel positif, on note π(x) le nombre d’entiers premiers dans l’intervalle [2, x]. Une étude expérimentale donne les valeurs suivantes x 10 100 1000 10000 100000 π(x) 4 25 168 1229 9592 x/π(x) 2.5 4 5.95 8.14 10.4 log x 2.3 4.6 6.9 9.2 11.5 Il est donc raisonable de conjecturer que l’application x 7→ π(x) est équivalente à x/ log(x) quand x → ∞. Cette hypothèse, formulée par Gauss et Legendre, n’a été démontrée qu’en 1896 par Hadamard et de La Vallée-Poussin indépendamment. 2. PARTIE I : L A SÉRIE HARMONIQUE La série harmonique a été étudiée par Nicolas Oresme qui a montré sa divergence en 1360. Il n’est pas difficile de donner une équivalent de la somme partielle. Soit N ≥ 1 un entier. On a −1 1 Z N dx NX 1 ≤ ≤ . x 1 n=2 n n=1 n N X Comme R N dx 1 x = log N on a N X 1 1 + log N ≤ ≤ 1 + log N. N n=1 n Soit S un sous-ensemble de l’ensemble N∗ des entiers naturels non-nuls. On peut lui associer la somme X 1 X 1 = lim . N →∞ n∈S n n∈S et n≤N n 1 2 CCP 2002, MATHÉMATIQUES 1, MP Si S est l’ensemble des carrés cette somme est finie. Si S est l’ensemble des nombres pairs, cette somme est infinie. D’une manière générale, cette somme donne une idée de la hh taille ii de S. Si P est l’ensemble des nombres premiers, la série diverge. L’énoncé le prouve en montrant que le produit Y 1 1 n≥1 1 − pn diverge. 3. L IMITES DE FONCTIONS Soit I un intervalle non-vide de R et (fn )n une suite d’applications de I dans R. 3.1. Continuité d’une limite uniforme d’applications continues : Si les fn sont continues et si la suite (fn )n converge uniformément vers une application f : I → R, alors f est continue. 3.2. Convergence dominée : Supposons que les fn sont continues par morceaux, intégrables, et convergent simplement vers une application f : I → R continue par morceaux. Supposons qu’il existe une application g : I → R intégrable telle que ||fn || ≤ g pour tout n. Alors f est intégrable et Z Z lim n→∞ I fn = f. I 3.3. Dérivation : Supposons que les fn sont de classe C 1 sur I et convergent simplement vers une application f : I → R. Supposons que les gn = fn0 convergent uniformément vers une application g. Alors f est de classe C 1 sur I et f 0 = g. 4. L’ EXPONENTIELLE COMPLEXE n C’est l’application de C dans C définie par la série entière 1 + n≥1 zn! . La rayon de convergence de cette série entière est infini. On note exp : C → C l’application obtenue. C’est une application continue. La restriction de exp à R est une application strictement croissante et C ∞ de R dans R+ . Elle est égale à sa dérivée, ce qui permet de l’identifier à l’application réciproque du logarithme. C’est donc l’exponentielle réelle bien connue. Pour z1 , z2 dans C on a exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 ). On définit cos(z) = (exp(iz) + exp(−iz))/2 et sin(z) = (exp(iz) − exp(−iz))/(2i). Pour a et b réels, on a exp(a + ib) = exp(a) (cos(b) + i sin(b)) . P 5. S ÉRIES DE F OURIER Soit C2π (R, C) l’espace des applications de R dans C, continues et 2π-périodiques. Soit CM2π (R, C) l’espace des applications de R dans C, continues par morceaux et 2π-périodiques. 1 R ¯ On définit une forme sesquilinéaire sur CM2π (R, C) par (f |g) = 2π [0,2π] f g. Elle est définie positive sur C2π (R, C). Soit n en entier relatif. On note en l’application de R dans C définie par en (t) = exp(int). Les en forment une famille orthonormée dans C2π (R, C). Ce n’est pas une base. Les combinaisons PRODUITS 3 linéaires des en sont appelées polynômes trigonométriques. Les coefficients de Fourier d’une application f ∈ CM2π (R, C) sont les 1 Z cn (f ) = (en |f ) = f (t) exp(−int)dt. 2π [−π,π] La série n∈Z |cn (f )|2 est convergente. Si f est dans C k alors cn (f ) = o(|n|−k ). Si f est continue P et C 1 par morceaux alors la série n∈Z |cn (f )| est convergente. On note P SN = N X cn (f )en (t) n=−N la somme trigonométrique partielle. P Si une série trigonométrique n cn en converge uniformément vers une application f alors f est dans C2π (R, C) et cn (f ) = cn pour tout n. Théorème de Dirichlet : Soit f ∈ CM2π (R, C) et t0 ∈ R. On note f (t− 0 ) la limite de f en + t0 par la gauche. On note f (t0 ) la limite de f en t0 par la droite. On suppose que (f (t − h) − + f (t− 0 ))/h et (f (t + h) − f (t0 ))/h ont des limites finies quand h tend vers 0. Alors SN (t0 ) tend − + vers (f (t0 ) + f (t0 ))/2 quand N → +∞. Si f est continue et C 1 par morceaux alors sa série de Fourier converge normalement vers f . 6. C ONTINUITÉ ET DÉRIVATION SOUS LE SIGNE SOMME Soient J et I deux intervalles non-vides de R. Soit f : J × I → R une application. 6.1. Continuité. On suppose que • Pour tout x ∈ J, l’application t 7→ f (x, t) est continue par morceaux sur I, • Pour tout t ∈ I, l’application x 7→ f (x, t) est continue sur J, • Il existe une application ϕ : I → R intégrable sur I telle que pour tout t ∈ I et tout x ∈ J on ait ||f (x, t)|| ≤ ϕ(t). Alors pour tout x ∈ J, l’application t 7→ f (x, t) est intégrable. Et l’application Z g : x 7→ f (x, t)dt I est continue sur J. 6.2. Dérivabilité. On suppose que • Pour tout x ∈ J, l’application t 7→ f (x, t) est intégrable sur I, • Pour tout t ∈ I, l’application x 7→ f (x, t) est de classe C 1 sur J, • Pour tout x, l’application dérivée t 7→ ∂f (x, t) est continue par morceaux sur I, ∂x • Il existe une application ϕ : I → R intégrable sur I telle que pour tout t ∈ I et tout x ∈ J on ait || ∂f (x, t)|| ≤ ϕ(t). ∂x R Alors l’application g : x 7→ I f (x, t)dt est de classe C 1 sur J et pour tout x ∈ J on a 0 g (x) = Z I ∂f (x, t)dt. ∂x 4 CCP 2002, MATHÉMATIQUES 1, MP 7. C OMMENT SAVOIR SI UN NOMBRE EST PREMIER ? On peut utiliser le crible d’Eratosthène (troisième siècle avant notre ère). Le petit théorème de Fermat affirme que pour tout nombre premier n et tout entier x dans l’intervale [1, n − 1], on a xn−1 ≡ 1 mod n. On déduit de ce théorème un critère de composition : s’il existe un entier x dans l’intervale [1, n − 1], tel que xn−1 6≡ 1 mod n, alors n est composé. L’algorithme d’exponentiation rapide permet de calculer efficacement xn−1 mod n. Cette méthode a été inventée par Piṅgala dans son Chandah-sûtra (entre -450 et -250). Un nombre de Carmichael est un entier composé n tel que xn−1 ≡ 1 pour tout x ∈ (Z/nZ)∗ . Par exemple 561 = 3 × 11 × 17. Il existe hélas une infinité de nombres de Carmichael. Le critère de Miller-Rabin améliore celui de Fermat. Théorème 7.1 (Critère Miller-Rabin). Soit n ≥ 3 un entier impair. On pose n − 1 = 2k m, où m est un entier impair. Si n est premier alors pour tout x dans (Z/nZ)∗ (1) i xm = 1, ou il existe un i dans {0, 1, 2, . . . , k − 1} tel que xm2 = −1. En effet d’après le petit théorème de Fermat, on a : xn−1 − 1 = 0 mod n. En factorisant successivement chacune des différences de deux carrés, on obtient : xn−1 −1 = (x n−1 2 +1)(x n−1 2 k−1 m −1) = · · · = (x2 k−2 m +1)(x2 +1) · · · (x2m +1)(xm +1)(xm −1). Puisque Z/nZ est un corps, l’un de ces facteurs est nul. La fiabilité de ce critère est donnée par le théorème suivant. Théorème 7.2. Soit n > 9 un entier impair composé. Alors #{x ∈ (Z/nZ)∗ | la condition (1) est vérifiée} 1 ≤ ϕ(n) 4 ∗ où ϕ(n) = #(Z/nZ) . 2