Astrophysique (L3)

Astrophysique — L3
Harold Erbin
Notes de cours de Magistère L3 donné par M. Fulchignoni.
Ce texte est publié sous la licence libre
Licence Art Libre :
http://artlibre.org/licence/lal/
Version : 24 janvier 2010
Site : http://harold.e.free.fr/
Chapitre 1
TD 1
Exercice 1.1. Calculer Fν (T ).
On a
dλ = d
c
ν
dν
= −c 2
ν
et
Fλ (T )dλ = Fν (T )dν ⇐⇒ Fν (T ) =
2πhν 3
c2
exp
hν
kT
−1
−1
Exercice 1.2. Démontrer la loi de Wien.
Soit
−1
2πhc2
hc
−
1
Fλ =
exp
λ5
λkT
alors
−1
h
dFλ
hc
−5
2
= 2πhc
exp
−1
dλ
λkT
λ6
−2 i
hc
hc
hc
+
exp
exp
−
1
kT λ7
λkT
λkT
Cherchons λ telle que la dérivée soit nulle. Alors
dFλ
=0
dλ
−1
−2
hc
hc
hc
hc
0 = −5 exp
−1
−
exp
exp
−1
λkT
λkT
λkT
λkT
hc
hc
hc
0 = −5 exp
−1 +
exp
λkT
λkT
λkT
Posons
x=
Alors on a
hc
kλT
e−x = 1 −
1
x
5
CHAPITRE 1. TD 1
Cette égalité est vérifiée pour
x=0
x=5
Le premier étant absurde, on prend x = 5. On a
hc
≈ 2.987 × 10−3
kx
Exercice 1.3. Démonstration de la loi de Stefan. Soit
−1
hν
2πhν 3
exp
Fν =
−1
c2
kT
alors
L=
ZZ
Lν dνdA
Z
= dA Fν dν
Z
2
= 4πR
Fν dν
Z
hν
x= kT
k 3 T 3 3 kT dx
x
h3 c2
h ex − 1
4 4 Z
3
2πk T
x
= 4πR2
dx
2
3
x
c h
e −1
4 Z
x3
2 2πk
= 4πR 2 3
dx T 4
c h
ex − 1
{z
}
|
=σ
z}|{
= 4πR2
Z
πh
On peut trouver
σ=
2π 5 k 4
≈ 5.67 × 10−8 W · m−2 · K−4
15c2 h3
hc
Exercice 1.4. Approximation de la loi de Planck en basses fréquences ( λkT
1). On a
T
Fλ (T ) ∝ 4
λ
2
Chapitre 2
TD 2
Exercice 2.1. Le flux total reçu au niveau de la Terre est 1370 W m−2 . Si une
planète orbite autour d’une étoile qui est dix fois plus lumineuse que le soleil,
quel est le rayon de l’orbite, sachant que le flux total reçu par cette planète est
2740 W m−2 ?
Exercice 2.2. Calculer la température de la Terre et du Soleil, sachant que
leur pic d’émission sont respectivement à 500 nm et 9.6 µm.
1. Quelle est l’émission totale du Soleil et de la Terre à leur surface ?
2. En déduire l’énergie reçue du Soleil au niveau de la Terre (appelée la
constante solaire).
Exercice 2.3. La magnitude apparente du Soleil vu depuis la Terre est de
−26.7. Quelle est la magnitude apparente du Soleil vue depuis Jupiter (distante
de 5.2 ua) ?
Exercice 2.4. Donner les ordres de grandeur des tailles des objets suivants (en
précisant l’unité) :
– la Terre ;
– un astéroide ;
– le système solaire ;
– la galaxie.
Exercice 2.5. Donner l’ordre de grandeur des distances des objets suivants (en
précisant l’unité) :
– Soleil–Terre ;
– l’étoile la plus proche ;
– la galaxie la plus lointaine observée.
Exercice 2.6. Calculer la distance (en années lumières) d’une galaxie dont le
redshift serait de 2.
Solutions
Exercice 2.1
On a les relations suivantes (l’indice E désigne l’étoile, et S le Soleil) :
3
CHAPITRE 2. TD 2
et
– ΦE = 10ΦS
– ϕE = 2ϕS
ΦS
d2S
10ΦS
=
= 5d2S
2ϕS
ϕS ∝
⇐⇒ d2E ∝
ΦE
ϕE
Exercice 2.2
On utilise la loi de Wien
Tef f λ = 2.898 × 10−3 K T
On déduit que
– TSoleil = 5796 K
– TT erre = 301.88 K
L’émission totale est donnée par la loi
L = 4πσR2 T 2
donc
– LSoleil = 4 × 1026 W
– LT erre = 2 × 1017 W
L’énergie reçue au niveau de la Terre est
C=
LSoleil
= 1370 W m−2
4πD2
Exercice 2.3
On a
dT
dJ
mT − mJ = 5 log
− log
10
10
dT
= 5 log
dJ
dT
mJ = mT − 5 log
dJ
= −23.1
Exercice 2.4
Ordres de grandeurs des tailles :
– Terre : 6.3 × 106 m.
– Astéroide : 10 km à 100 km.
– Système solaire : 100 ua.
– La Galaxie : 100 000 al.
4
CHAPITRE 2. TD 2
Exercice 2.5
Ordres de grandeurs des distances :
– Soleil–Terre : 1.5 × 108 km.
– Étoile la plus proche : 4 al.
– Galaxie la plus lointaine observée : 14 × 109 al (Redshift : E =
∆λ
λ
Exercice 2.6
v=
∆λ
c = H0 D
λ
où H = 74.2 ± 3 km s−1 Mpc−1 est la constante de Hubble. On déduit
D = 24 × 109 al
5
= 6).
CHAPITRE 2. TD 2
6
Chapitre 3
TD 3
Exercice 3.1. Soit un corps de masse M et de rayon R. Étudier ses propriétés
si sa densité est donnée par ρ(r) = βrα (α ∈ R), en fonction de α.
Comme ρ(0) 6= 0, on a α < 0 .
On a
Z R
M =
4πρ(r)r2 dr
0
= 4πβ
Z
R
rα+2 dr
0
4πβ
Rα+3
=
α+3
Comme M > 0, on déduit que α > −3 . On peut aussi exprimer β en fonction
de M
α+3
β=
M
4πRα+3
La masse comprise dans une sphère de rayon r est
Z r
m(r) =
4πβrα+2 dr
0
=
r α+3
R
M
De plus, l’évolution de la pression est
dP
−Gm(r)ρ(r)
=
dr
r2
−GM α+1 rα (α + 3)M
= α+3 r
R
4πRα+3
d’où
GM 2 (α + 3) r2α+1
dr
4πR4
R2α+2
−(α + 3)GM 2 r 2α+2
+ Pc
=
8πR4 (α + 1) R
P (r) =
Z
−
7
CHAPITRE 3. TD 3
où Pc est la constante d’intégration, et
P (R) = 0 =⇒ Pc =
α + 3 GM 2
2(α + 1) 4πR4
De plus, ∀α ∈ [0, 3] P (0) = Pc > Pc,min , donc l’étoile est bien en équilibre
hydrostatique.
8
Table des matières
1 TD 1
1
2 TD 2
3
3 TD 3
7
Table des matières
9
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