PC* l`intervalle d`intégration. Continuité (x, t) est continue sur A. f(x, t

Intégrales dépendant d'un paramètre
PC*
K = R ou C. A et I sont deux intervalles de R non vides, non réduits à un point.
Dans toute la suite A désigne l'intervalle de variation du paramètre et I désigne
l'intervalle d'intégration.
Continuité
Soit l'application f : A × I −→ K qui à tout (x, t) ∈ A × I associe f (x, t)
Si f vérie les hypothèses suivantes :
a) Pour tout t de I , x 7−→ f (x, t) est continue sur A.
b) Pour tout x de A, t 7−→ f (x, t) est continue par morceaux sur I , intégrable sur I .
c) Il existe une fonction φ, continue par morceaux, positive, intégrable sur I telle
que : ∀(x, t) ∈ A × I , |f (x, t)| ≤ φ(t)
Théorème :
Alors la fonction F qui à tout x de A associe F (x) =
∫
f (x, t)dt est
continue
sur A.
I
• L'hypothèse c), hypothèse dite de domination, entraîne l'intégrabilité sur I des
fonctions t 7→ f (x, t). L'hypothèse b) peut donc être réduite.
• Il n'est parfois pas possible d'avoir une domination pour x ∈ A. On essaiera
alors une domination sur des ensembles dont la réunion donnera A, par exemple
des segments. L'intervalle I est imposé par l'écriture de l'intégrale. Pour l'utilisation du théorème on peut restreindre A.
• Si f est continue sur A×I , les hypothèses de continuité des fonctions partielles
sont vériées.
: Formule de Leibniz
Théorème :
Soit l'application f : A × I −→ K qui à tout (x, t) ∈ A × I associe f (x, t)
Si f vérie les hypothèses suivantes :
a) Pour tout x de A, t 7−→ f (x, t) est continue par morceaux et intégrable sur I .
Dérivabilité
∂f
est dénie sur A × I .
∂x
∂f
c) Pour tout t ∈ I , x 7→ f (x, t) et x 7→
(x, t) sont continues sur A.
∂x
∂f
d) Pour tout x ∈ A, t 7→
(x, t) est continue par morceaux sur I , intégrable sur I
∂x
e) Il existe une fonction
φ1 , continue
par morceaux, positive, intégrable sur I telle que :
∂f
∀(x, t) ∈ A × I , (x, t) ≤ φ1 (t)
∂x
∫
Alors la fonction F qui à tout x de A associe F (x) = f (x, t)dt est de classe c1 sur A et
I
∫
∂f
′
∀x ∈ A, F (x) =
(x, t)dt.
I ∂x
b) La fonction dérivée partielle
• L'hypothèse de domination e) entraîne l'intégrabilité en c)
• De même pour avoir l'intégrabilité en a) il sut de dominer f
Intégrales dépendant d'un paramètre
PC*
∂f
par deux fonctions φ, φ1 continues par
∂x
morceaux, positives, intégrables sur I entraîne les hypothèses d'intégrabilité.
• Une double domination pour f,
Cas particulier :
I
[a, b]
est un segment
Dans les conditions des théorèmes et si f est continue sur A × [a, b], la domination est assurée sur toute partie [α, β] × [a, b], [α, β] segment inclus dans A, par
une fonction constante donc intégrable sur [a, b] . (Une fonction numérique continue
sur un fermé borné est bornée). Même chose pour la dérivée partielle. En particulier
si f est c1 sur A × [a, b], F est de classe c1 sur A.
Étude de la fonction
Γ
∫
+∞
Γ(x) =
e−t tx−1 dt
0
On montre que la fonction Γ est dénie et de classe c1 sur R+∗ .
Démonstration : plaçons nous sur un segment quelconque [a, b] avec 0 < a < b.
On a ici : ∀(x, t) ∈ [a, b] × R+∗ , f (x, t) = tx−1 e−t = e(x−1) ln t e−t .
∂f
(x, t) = ln t e(x−1) ln t e−t = ln t tx−1 e−t .
∂x
• Si t ∈]0, 1], ln t ≤ 0 et x ∈ [a, b] ⇒ a − 1 ≤ x − 1 ≤ b − 1.
x ∈ [a, b] ⇒ (a − 1) ln t ≥ (x − 1) ln t ≥ (b − 1) ln t.
Par composition avec la fonction exponentielle on obtient :
x ∈ [a, b] ⇒ 0 ≤ tx−1 e−t ≤ ta−1 e−t .
• si t ≥ 1 on a alors l ntg eq0 et x ∈ [a, b] ⇒ 0 ≤ tx−1 e−t ≤ tb−1 e−t .
• Dans les deux cas on a majoré par une expression positive d'où :
∀x ∈ [a, b], ∀t ∈ R+∗ , |f (x, t)| ≤ e−t (ta−1 + tb−1 ) = φ(t)
• De même
∂f
(
)
∀x ∈ [a, b], ∀t ∈ R , (x, t) ≤ | ln t|e−t ta−1 + tb−1 = φ1 (t)
∂x
+∗
On vérie que les deux fonction majorantes sont intégrables sur I =]0, +∞[ ce qui
assure la classe c1 de la fonction Γ sur [a, b]. Γ est de classe c1 sur la réunion des
intervalles de ce type, donc sur ]0, +∞[.
∫
′
+∞
∀x > 0, Γ (x) =
ln t tx−1 e−t dt
0
On peut utiliser plusieurs fois le théorème de dérivation pour montrer que la fonction
Γ est de classe c∞ sur ]0, +∞[ avec :
∫
∀p ∈ N, ∀x > 0, Γ (x) =
(p)
+∞
(ln t)p tx−1 e−t dt
0
On a de plus les propriétés suivantes :
Pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x).
∀n ∈ N∗ , Γ(n) = (n − 1)!
( ) ∫ +∞
∫ +∞
√
1
2
−t −1/2
=
e t
dt =
2e−u du = π
Γ
2
0
0