Correction du contrôle continu Probabilités

Université de Strasbourg
UE − Probabilités
Mathématiques-Economie
Niveau − L3, année − 2012-2013
Correction du contrôle continu
Probabilités
Questions de cours −
1) F est une tribu des parties de Ω si :
i) Ω ∈ F,
ii) F ⊂ P(Ω),
iii) F est stable par passage au complémentaire,
iv) F est stable par union dénombrable.
2) Une mesure est une fonction d’ensemble définie sur F et à valeurs dans [0, ∞] qui est
σ-additive (voir énoncé de l’exercice 1). Pour que ce soit une mesure de probabilité, il faut
en plus que P(Ω) = 1.
3) La fonction X : (Ω, F) 7→ (R, B(R)) doit être mesurable, c’est à dire :
∀A ∈ B(R), X −1 (A) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ A} ∈ F.
Exercice 1 −
1) La fonction f est positive et de plus
Z
Z
f (x)dx =
R
1
∞
∞
x−2 dx = −x−1 1 = 1.
2) Pour que µ soit une mesure de probabilité sur (R, B(R)) il faut que µ(R) = 1. Or,
1
1
µ(R) = ν(R) + βδ2 (R) = + β,
3
3
car d’après la question 1), ν est une mesure de probabilité (donc ν(R) = 1) et que 2 ∈ R.
Donc on a β = 2/3.
3) Soit A ∈ B(R). On a
µ(A) = P(X −1 (A)) = P(X ∈ A).
4) Soit t ∈ R. Il faut calculer :
1
2
1
µ(] − ∞, t]) = ν(] − ∞, t]) + δ2 (] − ∞, t]) =
3
3
3
Z
t
2
f (x)dx + δ2 (] − ∞, t]).
3
−∞
Ainsi, si t < 1, µ(] − ∞, t]) = 0. Si t ∈ [1, 2[,
Z
1 t −2
1 −1 t
1
1
µ(] − ∞, t]) =
x dx = − x 1 =
1−
.
3 1
3
3
t
Enfin, si t ≥ 2,
1
µ(] − ∞, t]) =
3
1
2
1
1−
+ =1−
t
3
3t
0.2
0.4
F(t)
0.6
0.8
1.0
On trace ci-dessous la fonction F t) := µ(] − ∞, t]).
0.0
c
0
2
4
6
8
10
t
Il ensuite facile de remarquer que F est une fonction croissante, continue partout sauf
au point 2, admettant une limite à gauche et étant continue à droite au point 2. Enfin,
F (−∞) = 0 et F (+∞) = 1.
5) On a:
Z
Z
Z
Z
1
2
E(|X|) = E(X) =
XdP =
xµ(dx) =
xν(dx) +
xδ2 (dx)
3 R
3 R
Ω
R
Z
4
1 ∞ −1
=
x dx + = ∞.
3 1
3
Donc X n’est pas intégrable.
6)
Z
1 ∞ log(x)
2
E(| log(X)|) = E(log(X)) =
dx + log(2)
2
3 1
x
3
Z
1 ∞ −x
2
1
=
xe dx + log(2) = (1 + 2 log(2)).
3 0
3
3
Exercice 2 −
1)
1
2 2
2
√ exp − (x − xy + y ) dx
3
R π 3
Z
2
1
1
1 2
1 (x − y/2)2
1 2
√ √ exp −
dx =
exp − y
exp − y ,
2π
2
2
3/4
2π
2
3 2π
R
Z
fY (y) =
=
puisque
2
1 (x − y/2)2
g(x) := √ √ exp −
2
3/4
3 2π
est la densité d’une loi normale de moyenne y/2 et de variance 3/4. Donc Y suit une loi
normale centrée et réduite.
2) La densité conditionnelle de X sachant Y = y est donnée par :
f (x, y)
1 (x − y/2)2
2
fX|Y =y (x) =
= √ √ exp −
.
fY (y)
2
3/4
3 2π
Ainsi, X sachant Y suit une loi normale de moyenne Y /2 et de variance 3/4.
3) D’après la question précédente, l’espérance conditionnelle E(X|Y ) est égale à Y /2.