Théorie des nombres :le grand théorème de Fermat

Théorie des nombres :le grand théorème de
Fermat
Rémy Aumeunier
[email protected]
Amateur
Résumé En mathématique, et plus précisément en théorie des nombres,
le dernier théorème de Fermat,ou le grand théorème de Fermat, s’énonce
comme suit : Il n’existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels
que :
x
n+y n=z n
Dès qu’un entier n’est pas strictement supérieur à 2. Ce théoreme fut
démontré par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994 et
validé par la suite.
1 Introduction
Ce document propose de mettre en évidence une démonstration simple
du dernier théorème de Fermat.
2 Démonstration
à partir de :
xn+yn=zn
que je transforme pour simplifier par :
an−bn=cnavec a > b
Maintenant je représente anet bnsous forme de rectangle
an=an−1.a bn=bb−1.b

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puis je soustrais les deux surfaces comme le represente le dessin ci dessous
ce qui permet de dire que
an−bn= (a−b).an−1+ (an−1−bn−1).b
et maintenant il suffit de constater que (an−1−bn−1).b peut aussi s’écrire
sous forme de rectangle an−1=an−2.a avec bn−1=bn−2.b que je soustrais
de la même manière que précédemment
an−1−bn−1= (a−b).an−2+ (an−2−bn−2).b
et donc
an−bn= (a−b).an−1+ (an−1−bn−1).b
an−bn= (a−b).an−1+ ((a−b).an−2+ (an−2−bn−2).b).b
et le lecteur attentif remarque que je peux encore transformer an−2−bn−2
et mettre en facteur (a−b)donc (an−bn)mod((a−b)) = 0 et pour un n
donné par exemple 7 cela permet d’écrire
a7−b7= (a−b).(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
à partir de maintenant je vais considérer le théorème comme juste et
essayer d’écrire
a7−b7=c7= (a−b).(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
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2.1 étude du cas C et un nombre premier :
a7−b7=c7= (a−b).(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
avec (a−b)<(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)comme c et
premier (a−b) = c,ou c2,c3ou ... cn
2
−1sachant que np.nq=np+qcela
implique que
a7−b7=c7= (a−b)y.(a−b)x
avec, ici x+y= 7 et x<yparce que (a−b)<(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+
a2.b4+a.b5+b6)mais comme (a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)n’est
pas de la forme(a−b)yvoir les identités remarquables ou les équations
polynomiales de degré n.
De manière plus simple ou trivial il suffide démontré l inegalite de
(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)−(a−b)x= 0
si x et de même degré ici 6
(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)−(a6−6.a5.b + 15.a4.b2−
20.a3.b3+ 15.a2.b4−6.a.b5+b6)=0
comme les coefficients ne sont pas égaux il ne peut pas y avoir d’éga-
lite,et si les degrés sont différents l’égalité et aussi impossible par exemple
pour 3 il reste des valeurs de degré supérieur à 3 en plus des coefficients
toujours pas égaux (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)−(a3−
3.a2.b + 3.a.b2−b3)
donc si
an−bn=cn
alors C ne peut pas être un nombre premier
2.2 étude du cas C est un nombre composé :
a7−b7=c7=p.7.q7.r7= (a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
avec (a−b)<(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)comme C est
un nombre composé (a−b) = p p.q,p.q.r ,p.q.r2,p.q2.r2ou ....
cela implique que
a7−b7=c7=p7.q7.r7= (a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
a7−b7=c7=p.(p6.q7.r7) = (a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
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a7−b7=c7=p.q.(p6.q6.r7) = (a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
a7−b7=c7=p.q.r.(p6.q6.r6) = (a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
a7−b7=c7=p.q.r2.(p6.q6.r5)=(a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
a7−b7=c7=p.q2.r2.(p6.q5.r5)=(a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
...
a7−b7=c7=x.y = (a−b).(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
avec y de degré (n-1) ici 6 et x<y parce que (a−b)<(a6+a5.b +a4.b2+
a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)de manière plus simple x est présent dans y parce
que x et y partagent les même facteurs donc
a7−b7=c7=x.(x.k)=(a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
cela implique que (a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)mod((a−b)) = 0
ce qui revient à savoir si (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)et
(a−b)sont deux polynomes premiers entre eux, les racines de (a−b)
étant triviales je peux donc dire que (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+
a.b5+b6)mod((a−b)) 6= 0 de manier plus simple si
(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)=(a−b).(.....)
alors
(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)et (a−b)
partagent les même racine donc si
b=a, (a−b)=0mais (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)6= 0
donc (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)6= (a−b).(.....)
et l’on remarque au passage qu’il faut un polynomes de degré supérieur
pour permetre la factorisation. donc n>2 (a−b).(a2−a.b +b2)Il reste
le cas ou x n’est pas present dans y avec C qui est toujours un nombre
composé
a7−b7=c7=p7.(q7.r7)=(a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
a7−b7=c7=x.y = (a−b).(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
comme (q7.r7)a un degré superrieur a
(a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
(q7.r7)6= (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
et donc si
an−bn=cn
alors C ne peut pas être un nombre composé
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2.3 étude du cas (a-b)=1 :
a7−b7=c7=p7.q7.r7= (a−b).(a6+a5.b+a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
a7−b7=c7=p7.q7.r7= (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
comme (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)est un polynome de
degré 6
c76= (a6+a5.b +a4.b2+a3.b3+a2.b4+a.b5+b6)
donc si
an−bn=cn
alors (a−b)6= 1
2.4 Conclusion :
an−bn6=cnavec n > 2
sauf erreur de ma part bien sur
Références
1. ↑https ://fr.wikipedia.org/wiki/DernierthéorémedeFermat
2. ↑https ://fr.wikipedia.org/wiki/DémonstrationsdudernierthéorémedeFermat
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