Théorie des nombres :le grand théorème de Fermat Rémy Aumeunier [email protected] Amateur Résumé En mathématique, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat,ou le grand théorème de Fermat, s’énonce comme suit : Il n’existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que : xn + y n = z n Dès qu’un entier n’est pas strictement supérieur à 2. Ce théoreme fut démontré par le mathématicien britannique Andrew Wiles en 1994 et validé par la suite. 1 Introduction Ce document propose de mettre en évidence une démonstration simple du dernier théorème de Fermat. 2 Démonstration à partir de : xn + y n = z n que je transforme pour simplifier par : an − bn = cn avec a > b Maintenant je représente an et bn sous forme de rectangle an = an−1 .a bn = bb−1 .b Théorie des nombres puis je soustrais les deux surfaces comme le represente le dessin ci dessous ce qui permet de dire que an − bn = (a − b).an−1 + (an−1 − bn−1 ).b et maintenant il suffit de constater que (an−1 − bn−1 ).b peut aussi s’écrire sous forme de rectangle an−1 = an−2 .a avec bn−1 = bn−2 .b que je soustrais de la même manière que précédemment an−1 − bn−1 = (a − b).an−2 + (an−2 − bn−2 ).b et donc an − bn = (a − b).an−1 + (an−1 − bn−1 ).b an − bn = (a − b).an−1 + ((a − b).an−2 + (an−2 − bn−2 ).b).b et le lecteur attentif remarque que je peux encore transformer an−2 − bn−2 et mettre en facteur (a − b) donc (an − bn )mod((a − b)) = 0 et pour un n donné par exemple 7 cela permet d’écrire a7 − b7 = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) à partir de maintenant je vais considérer le théorème comme juste et essayer d’écrire a7 − b7 = c7 = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) 5 février 2017 Page 2/5 Théorie des nombres 2.1 étude du cas C et un nombre premier : a7 − b7 = c7 = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) avec (a − b) < (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) comme c et n premier (a − b) = c ,ou c2 ,c3 ou ... c 2 −1 sachant que np .nq = np+q cela implique que a7 − b7 = c7 = (a − b)y .(a − b)x avec, ici x + y = 7 et x < y parce que (a − b) < (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 +a.b5 +b6 ) mais comme (a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) n’est pas de la forme(a − b)y voir les identités remarquables ou les équations polynomiales de degré n. De manière plus simple ou trivial il suffide démontré l inegalite de (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) − (a − b)x = 0 si x et de même degré ici 6 (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) − (a6 − 6.a5 .b + 15.a4 .b2 − 20.a3 .b3 + 15.a2 .b4 − 6.a.b5 + b6 ) = 0 comme les coefficients ne sont pas égaux il ne peut pas y avoir d’égalite,et si les degrés sont différents l’égalité et aussi impossible par exemple pour 3 il reste des valeurs de degré supérieur à 3 en plus des coefficients toujours pas égaux (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) − (a3 − 3.a2 .b + 3.a.b2 − b3 ) donc si an − bn = cn alors C ne peut pas être un nombre premier 2.2 étude du cas C est un nombre composé : a7 −b7 = c7 = p.7 .q 7 .r7 = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) avec (a − b) < (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) comme C est un nombre composé (a − b) = p p.q, p.q.r , p.q.r2 , p.q 2 .r2 ou .... cela implique que a7 −b7 = c7 = p7 .q 7 .r7 = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) a7 −b7 = c7 = p.(p6 .q 7 .r7 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) 5 février 2017 Page 3/5 Théorie des nombres a7 −b7 = c7 = p.q.(p6 .q 6 .r7 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) a7 −b7 = c7 = p.q.r.(p6 .q 6 .r6 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) a7 −b7 = c7 = p.q.r2 .(p6 .q 6 .r5 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) a7 −b7 = c7 = p.q 2 .r2 .(p6 .q 5 .r5 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) ... a7 − b7 = c7 = x.y = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) avec y de degré (n-1) ici 6 et x<y parce que (a − b) < (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) de manière plus simple x est présent dans y parce que x et y partagent les même facteurs donc a7 −b7 = c7 = x.(x.k) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) cela implique que (a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 )mod((a−b)) = 0 ce qui revient à savoir si (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) et (a − b) sont deux polynomes premiers entre eux, les racines de (a − b) étant triviales je peux donc dire que (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 )mod((a − b)) 6= 0 de manier plus simple si (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) = (a − b).(.....) alors (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) et (a − b) partagent les même racine donc si b = a, (a − b) = 0 mais (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) 6= 0 donc (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) 6= (a − b).(.....) et l’on remarque au passage qu’il faut un polynomes de degré supérieur pour permetre la factorisation. donc n>2 (a − b).(a2 − a.b + b2 ) Il reste le cas ou x n’est pas present dans y avec C qui est toujours un nombre composé a7 −b7 = c7 = p7 .(q 7 .r7 ) = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) a7 − b7 = c7 = x.y = (a − b).(a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) comme (q 7 .r7 ) a un degré superrieur a (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) (q 7 .r7 ) 6= (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) et donc si an − bn = cn alors C ne peut pas être un nombre composé 5 février 2017 Page 4/5 Théorie des nombres 2.3 étude du cas (a-b)=1 : a7 −b7 = c7 = p7 .q 7 .r7 = (a−b).(a6 +a5 .b+a4 .b2 +a3 .b3 +a2 .b4 +a.b5 +b6 ) a7 − b7 = c7 = p7 .q 7 .r7 = (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) comme (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) est un polynome de degré 6 c7 6= (a6 + a5 .b + a4 .b2 + a3 .b3 + a2 .b4 + a.b5 + b6 ) donc si an − bn = cn alors (a − b) 6= 1 2.4 Conclusion : an − bn 6= cn avec n > 2 sauf erreur de ma part bien sur Références 1. ↑ https ://fr.wikipedia.org/wiki/DernierthéorémedeFermat 2. ↑https ://fr.wikipedia.org/wiki/DémonstrationsdudernierthéorémedeFermat 5 février 2017 Page 5/5