Généralités sur les probabilités

GENERALITES SUR LES PROBABILITES
I. Probabilités sur un ensemble fini.
1- Vocabulaire des événements.
Définition 1 : L'ensemble de toutes les issues possibles, ou éventualités, d'une expérience aléatoire (soumise au hasard)
est appelé ensemble fondamental ou univers. Il est souvent noté Ω.
Définition 2 : Un événement est un sous-ensemble de l’univers Ω.
On dit qu'un événement E est « réalisé » lorsque l’issue de l'expérience aléatoire est un élément du sous-ensemble E.
Un événement élémentaire est un événement ne contenant qu’une seule éventualité.
∅ est dit événement impossible (il ne se réalisera jamais) ; l’univers Ω est dit événement certain (il est toujours
réalisé).
Définition 3 : Etant donné un événement E, la négation de l’événement E, ou événement contraire de E, noté E , est
l’événement qui se réalise quand E ne se réalise pas et qui ne se réalise pas quand E se réalise. Il est composé des
éléments de Ω qui ne sont pas dans E, on parle du complémentaire de E.
Définition 4 : Soient E1 et E2 des événements. L’événement « E1 et E2 » se note E1V∩E2.
Définition 5 : Soient E1 et E2 des événements. Si E1∩E2 =∅, E1 et E2 sont dits événements incompatibles.
Définition 6 : Soient E1 et E2 des événements. L’événement «E1 ou E2 » se note E1∪E2.
Attention : a contrario du langage courant le « ou » est ici « inclusif » ; E1∪E2 est l’événement constitué des éventualités
de E1 et de celles de E2, donc contient les éventualités appartenant à la fois à E1 et E2 :
E1∩E2 ⊂ E1∪E2.
2- Loi de probabilité.
On effectue une expérience aléatoire. L’univers Ω est constitué des éventualités {ω1; ω2; ...; ωn}.
a) Définition
Définition 7 : On définit une loi de probabilité sur Ω si on associe à chaque éventualité ωi un nombre pi, appelée
probabilité de l’éventualité ωi, tel que pour tout i: 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + ... + pn = 1; pi est notée P(ωi). La probabilité
d’un événement E, noté P(E), est la somme des probabilités des éventualités qui le composent.
b) Propriétés
1.
P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0.
2.
Soit E un événement: 0 ≤ P(E) ≤ 1; P( E ) = 1 – P(E).
3.
Soient E1 et E2 deux événements: P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1∩E2)
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c) Equiprobabilité
Définition 8 : Lors d’une expérience aléatoire, lorsque chaque éventualité a la même probabilité de se réaliser, on dit
qu’il y a équiprobabilité sur l’univers.
Théorème 1 : Pour tout i, P(ωi) =
card(E) "nombredecas favorables"
1
=
; soit E un événement, P(E) =
.
card(Ω)
card(Ω) "nombredecas possibles"
II. Conditionnement et indépendance.
Soient Ω un univers muni d’une loi de probabilité P. A et B sont des événements. On suppose P(B) ≠ 0.
1- Définition.
Définition 9 : La probabilité que l’événement A se réalise sachant que l’événement B est réalisé, est définie par :
PB(A) =
P(A ∩ B)
.
P (B)
PB(A) se lit probabilité de A sachant B.
Conséquence : P(A ∩ B) = PB(A) P(B). Si de plus P(A) ≠ 0, P(A ∩ B) = PB(A) P(B) = PA(B) P(A).
Remarque : La « probabilité conditionnelle » est une probabilité, elle vérifie notamment pour tout événement A:
0 ≤ PB(A) ≤ 1, et PB(A) + PB( A ) = 1. Le « conditionnement » consiste à changer d’univers : on se place dans l’univers
constitué des éventualités de B.
2- Evénements indépendants.
Soient A et B des événements. « Naïvement », A et B sont indépendants si la probabilité que A se réalise n’est pas
affectée par le fait que B soit réalisé ou pas, en d’autres termes si P(A) = PB(A). Ceci amène la définition suivante :
Définition 10 : On dit que A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) P(B).
Théorème 2: Si A et B sont deux événements indépendants de probabilités non nulles, alors PB(A) = P(A) et
PA(B) = P(B).
En pratique : On peut se trouver dans deux situations :
o
ou bien la loi de probabilité est connue et on cherche à savoir si deux événements A et B sont indépendants ; on
doit alors vérifier par des calculs si l’égalité P(A ∩ B) = P(A) P(B) est vraie ;
o
ou bien on sait que les événements sont indépendants, et on utilise l’égalité P(A ∩ B) = P(A) P(B) dans les
calculs pour déterminer d’autres probabilités.
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3- Expériences répétées de façon indépendante.
On considère une expérience aléatoire composée de l’enchaînement de n expériences.
Si chacune se déroule dans des conditions qui ne dépendent pas du résultat des autres, on dit que ces expériences sont
indépendantes. La probabilité d’un résultat final est alors égale au produit des probabilités de chacun des n résultats
intermédiaires.
4- Formule des probabilités totales.
Définition 11 : On dit que les événements B1, B2, ..., Bn constituent une partition de l’univers Ω si:
leurs probabilités sont non nulles;
ils sont deux à deux incompatibles;
leur réunion est égale à Ω.
o
o
o
Théorème 3: Si les événements B1, B2, ..., Bn constituent une partition de l’univers Ω alors pour tout événement A
P(A) = PB1 (A) × P(B1 ) + PB2 (A) × P(B2 ) + ... + PBn (A) × P(Bn ) .
Cas particulier: P(A) = PB (A) × P(B) + PB (A) × P( B ).
Application : arbre de probabilités.
A
P(A ∩ B) = PB(A) P(B)
( )
A
P( A ∩ B) = PB( A ) P(B)
PB (A)
A
P(A ∩ B ) = PB (A) P( B )
( )
A
P( A ∩ B ) = PB ( A ) P( B )
PB(A)
P(B)
B
PB A
P( B )
B
PB A
o
On note sur chaque « branche » la probabilité conditionnelle correspondante.
o
La probabilité d’un « chemin » (suite de « branches ») s’obtient en multipliant les probabilités de chaque
« branche ».
o
Une « branche » relie deux « nœuds » ; la somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même
nœud vaut 1.
III. Variables aléatoires discrètes.
1- Définition.
Définition 12 : Dans l’étude d’une expérience (ou d’un phénomène) aléatoire, une variable aléatoire discrète est une
grandeur numérique X prenant un nombre fini de valeurs x1, ..., xn, telle qu’une probabilité est affectée à chacun des
événements {X = xi}, pour i S{1, ..., n}, on la note P({X = xi}) ou P(X = xi).
Déterminer la loi de probabilité de X, c’est trouver les nombres P(X = xi), pour i S{1, ..., n}.
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2- Propriété fondamentale.
On considère une variable aléatoire X prenant les valeurs x1, … , xn, supposées rangées dans l’ordre croissant.
Soient i et j deux entiers compris entre 1 et n, avec i ≤ j :
P( {xi ≤ X ≤ x j}) = P(X = xi) + … + P(X = xj)
3- Caractéristiques d’une variable aléatoire discrète.
Définition 13 : Soit X une variable aléatoire discrète associée à une expérience aléatoire. On définit:
n
• l’espérance mathématique de X : E(X) = ∑ pi xi .
i=1
n
n
• la variance de X : V(X) = ∑ pi ( xi - E(X) )² = ∑ pi xi² - (E(X))² = E(X²) - (E(X))².
i=1
i=1
• l’écart type de X : σ = V(X) .
4- Variables aléatoires indépendantes.
Définition 14 : Soient X et Y deux variables aléatoires, associées à la même expérience aléatoire, telles que X prend les
valeurs xi ( i∈ N, 1 ≤ i ≤ p), et Y prend les valeurs yj ( j∈ N, 1 ≤ j ≤ q).
On dit que X et Y sont indépendantes lorsque pour tout entier i (1 ≤ i ≤ p) et tout entier j (1 ≤ j ≤ q):
P({X = xi} ∩ {Y = yj}) = P(X = xi) × P(Y = yj)
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