Fonctions circulaires, complexes. Intégration

Chapitre 7
Fonctions circulaires, complexes.
Intégration
Contents
7.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7.2 Les fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7.3 Fonctions à valeurs dans C............................. 6
7.4 Intégration ...................................... 8
7.4.1 Intégrale d’une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.4.2 Propriétés de l’intégrale de fonctions continues quelconques . . . . . . . . . . . 10
7.4.3 Primitives....................................... 13
Programme
•Étude des fonctions circulaires directes et réciproques : sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan.
•Dérivée et variations, graphes de ses fonctions
•Dérivation de t7→ exp(φ(t)) avec φà valeurs dans C.
•Primitive sur un intervalle
•Reconnaître des expressions du type u0
u,u0un,u0 un,u0(v0◦u)
7.1 Fonctions circulaires
Soit αun nombre réel et Mle point sur le cercle
trigonométrique associé à α.
Le cosinus du nombre réel αest l’abscisse du
point M; cette valeur se note cos(α).
Le sinus du nombre réel αest l’ordonnée du
point M; cette valeur se note sin(α).x
y
O
−1 1
−1
1
cos(α)
α
sin(α)
1
On associe les fonctions cos : x7→ cos(x)et sin : x7→ sin(x)définies sur R.
Pour tout nombre réel x, on a
1) cos2(x) + sin2(x)=1;
2) −1≤cos(x)≤1et −1≤sin(x)≤1.
1

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3) cos(−x) = cos(x)et sin(−x) = −sin(x).
4) cos(x+ 2kπ) = cos(x)et sin(x+ 2kπ) = sin(x)
Théorème 7.1.
1) La fonction cosinus est paire, 2π-périodique, bornée.
2) La fonction sinus est impaire, 2π-périodique, bornée.
Théorème 7.2. Les fonction cos et sin sont dérivables sur Ret on a pour tout nombre réel x:
(cos)0(x) = −sin(x),(sin)0(x)=cos(x)
Rappelons que sin(x) = cos(π
2−x)pour tout nombre réel x, ainsi, la courbe représentative de la fonction
sinus se déduit par translation et symétrie de la courbe représentative de la fonction cosinus.
x
−sin(x)
cos(x)
0π2π
+−
11 −1−111
x
cos(x)
sin(x)
0π
2π3π
22π
+−+
00 11 −1−100
0
x
y
O
y= cos(x)
π2π
−1
1
x
y
O
y= sin(x)
π2π
−1
1
Proposition 7.3.
1) Pour tout x∈R:1−x2
2≤cos(x)≤1;
2) Pour tout x≥0:sin(x)≤x.
En revenant à la définition du nombre dérivée sin0(0), on déduit la limite :
lim
x→0
sin(x)
x= 1
et quitte à revenir à l’exercice ?? du chapitre 5, on déduit que
lim
x→0
cos(x)−1
x2=−1 2
On rappelle que
cos(x) = 0 ⇐⇒ x≡π
2modulo (2π)ou x≡ −π 2modulo (2π)
⇐⇒ x≡π
2modulo (π)
Une « nouvelle » fonction : Depuis le collège, on sait que tangente est égale à « côté opposé sur adjacent ».
Or en revenant au cercle trigonométrique, le côté opposé est de longueur sin(α)et le côté adjacent est de
longueur cos(α). Ainsi, naturellement, on pose :
2

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Définition 7.4. La fonction tangente est la fonction définie sur R\π
2+k π, k ∈Z(autrement dit
sur Rsauf en π
2modulo π) par
tan(x) = sin(x)
cos(x)
Exercice 7.1. Déterminer la dérivée de la fonction tangente et dresser son tableau de variations.
Proposition 7.5. La fonction tangente :
1) est π-périodique.
2) admet une famille d’asymptotes verticales x= (2k+ 1)π
2, où k∈Z.
3) est dérivable et pour tout x6≡ π
2modulo (2π):
tan0(x) = 1+ tan(x)2=1
cos(x)2
4) est strictement croissante sur chaque intervalle (2k−1)π
2; (2k+ 1)π 2, où k∈Z.
5) s’annule en tous les points d’abscisses kπ, où k∈Z.
x
1 + tan2(x)
tan(x)
−π
20π 2
+
−∞−∞ +∞+∞
0
O
−π
2
π
2π
Proposition 7.6. Pour tout 0≤x < π
2,
x≤tan(x)
7.2 Les fonctions circulaires réciproques
Théorème 7.7.
1) La fonction cosinus réalise une bijection de [0; π]sur [−1; 1].
2) La fonction sinus réalise une bijection de −π
2;π 2sur [−1; 1].
3) La fonction tangente réalise une bijection de −π
2;π 2sur R.
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Définition 7.8. On appelle :
1) arccos la fonction réciproque de cos : [0; π]→[−1; 1]. Ainsi,
arccos : [−1; 1] →[0; π]
2) arcsin la fonction réciproque de sin : −π
2;π 2→[−1; 1]. Ainsi,
arcsin : [−1; 1] →h−π
2;π 2i
3) arctan la fonction réciproque de tan : −π
2;π 2→R. Ainsi,
arctan : R→i−π
2;π 2h
Proposition 7.9 (admis).
lim
x→−∞ arctan(x) = −π
2et lim
x→+∞arctan(x) = π
2
Exercice 7.2. Montrer que pour tout x∈[−1; 1],sin(arccos(x)) = cos(arcsin(x)) = √1−x2.
Exercice 7.3. À l’aide des propositions ?? et ?? sur les fonctions inverses, tracer les courbes représen-
tatives des fonctions arc cosinus, arc sinus et arc tangente ainsi que leurs dérivées.
Proposition 7.10.
1) Les fonctions circulaires réciproques arccos et arcsin sont dérivables sur ]−1; 1[ et on a
arccos0(x) = −1
√1−x2et arcsin0(x) = 1 √1−x2
2) La fonction arctan est dérivable sur Ret on a
arctan0(x) = 1
1+x2
Exercice 7.4.
1) Calculer I=Z1
2
0
dx
√1−x2.
2) Calculer la dérivée de x7→ x√1−x2et en déduire J=Z1
2
0p1−x2dx.
Une primitive de x7→ √1−x2est x7→ 1
2x√1−x2+ arcsin(x). Ainsi,J=π 12 +√3 8.
3) De même, calculer K=Z1
2
0
x2dx
√1−x2.
Une primitive de x7→ x2
√1−x2est 1
2−x√1−x2+ arcsin(x)et K=π 12 −√3 8.
Remarque. Comme nous l’avions déjà évoqué dans le chapitre 5 sur l’étude de fonctions, d’après le
théorème de Cauchy qu’on verra dans le chapitre équations différentielles. On a le résultat suivant :
Proposition 7.11. Soit Iun intervalle, f, g :I→Rdeux fonctions dérivables sur I. Si f0=g0sur I
et il existe x0∈Itel que f(x0) = g(x0)alors f=g.
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Proposition 7.12.
1) Pour tout x∈[−1; 1], on a arccos(x) + arcsin(x) = π
2
2) Pour tout x > 0, on a arctan(x) + arctan 1
x=π 2.
3) Pour tout x < 0, on a arctan(x) + arctan 1
x=−π 2.
Exercice 7.5. Démontrer que f:x7→ arccos 1−x2
1+x2est définie sur Rpuis que pour tout x≥0,
f(x) = 2 arctan(x). Que dire pour x < 0?
La fonction arctan est très utile pour déterminer un argument d’un nombre complexe non nul :
Proposition 7.13. Soit z=x+iyun nombre complexe non nul. Alors :
arg(z) =
arctan y
xsi x > 0
π+ arctan y
xsi x < 0
π
2si x= 0 et y > 0
−π
2si x= 0 et y < 0
Remarque. Pour calculer cos (arctan(x)) et sin (arctan(x)), on utilise les deux équations suivantes :
cos (arctan(x))2+ sin (arctan(x))2= 1 et sin (arctan(x))
cos (arctan(x)) =x
Puis on résout ce système à deux inconnues.
Fonction arccosinus : x7→ arccos(x).
Domaine de définition [−1; 1].
Dérivée sur ]−1; 1[ x7→ − 1
√1−x2.
Primitive x7→ xarccos(x)−√1−x2.
x
−1
√1−x2
arccos(x)
−10 1
−
ππ 00
π
2
O
π
2
π
−1 1
Tangente en x= 0 :y=−x+π
2.
Fonction arcsinus : x7→ arcsin(x).
Domaine de définition [−1; 1].
Dérivée sur ]−1; 1[ x7→ 1
√1−x2.
Primitive x7→ xarcsin(x) + √1−x2.
x
1
√1−x2
arcsin(x)
−10 1
+
−π
2
−π
2
π
2
π
2
0
O
−π
2
π
2
−1 1
Tangente en x= 0 :y=x.
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