Fonctions circulaires, complexes. Intégration

Chapitre 7
Fonctions circulaires, complexes.
Intégration
Contents
7.1
7.2
7.3
7.4
Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . .
Fonctions à valeurs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Intégrale d’une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Propriétés de l’intégrale de fonctions continues quelconques
7.4.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
1
3
6
8
8
10
13
Programme
• Étude des fonctions circulaires directes et réciproques : sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan.
• Dérivée et variations, graphes de ses fonctions
• Dérivation de t 7→ exp(φ(t)) avec φ à valeurs dans C.
• Primitive sur un intervalle
• Reconnaître des expressions du type
7.1
u0
u,
u0 un ,
u0
un ,
u0 (v 0 ◦ u)
Fonctions circulaires
Soit α un nombre réel et M le point sur le cercle
trigonométrique associé à α.
Le cosinus du nombre réel α est l’abscisse du
point M ; cette valeur se note cos(α).
Le sinus du nombre réel α est l’ordonnée du
point M ; cette valeur se note sin(α).
y
1
α
sin(α)
1
−1
O
−1
On associe les fonctions cos : x 7→ cos(x) et sin : x 7→ sin(x) définies sur R.
Pour tout nombre réel x, on a
1) cos2 (x) + sin2 (x) = 1 ;
2) −1 ≤ cos(x) ≤ 1 et −1 ≤ sin(x) ≤ 1.
1
cos(α) 1
x
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3) cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = − sin(x).
4) cos(x + 2kπ) = cos(x)
et
sin(x + 2kπ) = sin(x)
Théorème 7.1.
1) La fonction cosinus est paire, 2π-périodique, bornée.
2) La fonction sinus est impaire, 2π-périodique, bornée.
Théorème 7.2. Les fonction cos et sin sont dérivables sur R et on a pour tout nombre réel x :
(cos)0 (x) = − sin(x),
(sin)0 (x) = cos(x)
Rappelons que sin(x) = cos( π2 − x) pour tout nombre réel x, ainsi, la courbe représentative de la fonction
sinus se déduit par translation et symétrie de la courbe représentative de la fonction cosinus.
x
− sin(x)
cos(x)
π
0
−
+
1
x
2π
cos(x)
1
−1
π
2
0
sin(x)
3π
2
π
−
+
1
+
0
0
2π
0
−1
y
)
(x
1
y
=
s
co
π
O
x
2π
−1
y
y
1
=
sin
(x
)
x
π
O
2π
−1
Proposition 7.3.
1) Pour tout x ∈ R : 1 −
x2
2
≤ cos(x) ≤ 1 ;
2) Pour tout x ≥ 0 : sin(x) ≤ x.
En revenant à la définition du nombre dérivée sin0 (0), on déduit la limite :
sin(x)
=1
x
et quitte à revenir à l’exercice ?? du chapitre 5, on déduit que
lim
x→0
lim
x→0
cos(x) − 1
−1
=
x2
2
On rappelle que
cos(x) = 0
⇐⇒
⇐⇒
π
modulo (2 π)
2
π
x≡
modulo (π)
2
x≡
ou
x≡−
π
modulo (2 π)
2
Une « nouvelle » fonction : Depuis le collège, on sait que tangente est égale à « côté opposé sur adjacent ».
Or en revenant au cercle trigonométrique, le côté opposé est de longueur sin(α) et le côté adjacent est de
longueur cos(α). Ainsi, naturellement, on pose :
2
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Définition 7.4. La fonction tangente est la fonction définie sur R \
sur R sauf en π2 modulo π) par
sin(x)
tan(x) =
cos(x)
π
2
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+ k π, k ∈ Z (autrement dit
Exercice 7.1. Déterminer la dérivée de la fonction tangente et dresser son tableau de variations.
Proposition 7.5. La fonction tangente :
1) est π-périodique.
2) admet une famille d’asymptotes verticales x = (2k + 1) π2 , où k ∈ Z.
3) est dérivable et pour tout x 6≡
π
2
modulo (2π) :
tan0 (x) = 1 + tan(x)2 =
1
cos(x)2
4) est strictement croissante sur chaque intervalle (2k − 1) π2 ; (2k + 1) π2 , où k ∈ Z.
5) s’annule en tous les points d’abscisses kπ, où k ∈ Z.
− π2
x
1 + tan2 (x)
+
tan(x)
+∞
0
−∞
O
−π
2
Proposition 7.6. Pour tout 0 ≤ x <
π
2
0
π
2
π
π
2,
x ≤ tan(x)
7.2
Les fonctions circulaires réciproques
Théorème 7.7.
1) La fonction cosinus réalise une bijection de [0; π] sur [−1; 1].
2) La fonction sinus réalise une bijection de − π2 ; π2 sur [−1; 1].
3) La fonction tangente réalise une bijection de − π2 ; π2 sur R.
3
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Définition 7.8. On appelle :
1) arccos la fonction réciproque de cos : [0; π] → [−1; 1]. Ainsi,
arccos : [−1; 1] → [0; π]
2) arcsin la fonction réciproque de sin : − π2 ; π2 → [−1; 1]. Ainsi,
h π πi
arcsin : [−1; 1] → − ;
2 2
π π
3) arctan la fonction réciproque de tan : − 2 ; 2 → R. Ainsi,
i π πh
arctan : R → − ;
2 2
Proposition 7.9 (admis).
lim
x→−∞
−π
2
arctan(x) =
et
lim
x→+∞
π
2
arctan(x) =
Exercice 7.2. Montrer que pour tout x ∈ [−1; 1], sin(arccos(x)) = cos(arcsin(x)) =
√
1 − x2 .
Exercice 7.3. À l’aide des propositions ?? et ?? sur les fonctions inverses, tracer les courbes représentatives des fonctions arc cosinus, arc sinus et arc tangente ainsi que leurs dérivées.
Proposition 7.10.
1) Les fonctions circulaires réciproques arccos et arcsin sont dérivables sur ] − 1; 1[ et on a
arccos0 (x) = − √
1
1 − x2
et
arcsin0 (x) = √
1
1 − x2
2) La fonction arctan est dérivable sur R et on a
arctan0 (x) =
1
1 + x2
Exercice 7.4.
Z
1) Calculer I =
0
1
2
√
dx
.
1 − x2
√
2) Calculer la dérivée de x 7→ x 1 −
Une primitive de x 7→
√
x2
1 − x2 est x 7→
Z
3) De même, calculer K =
0
Une primitive de x 7→ √ x
2
1−x2
1
2
Z
et en déduire J =
√
1
2
1
2
p
1 − x2 dx.
x 1 − x2 + arcsin(x) . Ainsi,J =
x2 dx
√
.
2
1−
x
est
0
1
2
√
− x 1 − x2 + arcsin(x) et K =
π
12
−
π
12
√
+
3
.
8
√
3
.
8
Remarque. Comme nous l’avions déjà évoqué dans le chapitre 5 sur l’étude de fonctions, d’après le
théorème de Cauchy qu’on verra dans le chapitre équations différentielles. On a le résultat suivant :
Proposition 7.11. Soit I un intervalle, f, g : I → R deux fonctions dérivables sur I. Si f 0 = g 0 sur I
et il existe x0 ∈ I tel que f (x0 ) = g(x0 ) alors f = g.
4
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Proposition 7.12.
1) Pour tout x ∈ [−1; 1], on a arccos(x) + arcsin(x) = π2
2) Pour tout x > 0, on a arctan(x) + arctan x1 = π2 .
3) Pour tout x < 0, on a arctan(x) + arctan x1 = − π2 .
Exercice 7.5. Démontrer que f : x 7→ arccos
1−x2
1+x2
est définie sur R puis que pour tout x ≥ 0,
f (x) = 2 arctan(x). Que dire pour x < 0 ?
La fonction arctan est très utile pour déterminer un argument d’un nombre complexe non nul :
Proposition 7.13. Soit z = x + iy un nombre complexe non nul. Alors :

y


si x > 0
 arctan x





π + arctan xy
si x < 0
arg(z) =

π

si x = 0 et y > 0

2




 −π
si x = 0 et y < 0
2
Remarque. Pour calculer cos (arctan(x)) et sin (arctan(x)), on utilise les deux équations suivantes :
2
2
cos (arctan(x)) + sin (arctan(x)) = 1 et
sin (arctan(x))
=x
cos (arctan(x))
Puis on résout ce système à deux inconnues.
Fonction arccosinus : x 7→ arccos(x).
Domaine de définition [−1; 1].
1
Dérivée sur ] − 1; 1[ x 7→ − √1−x
.
√ 2
Primitive x 7→ x arccos(x) − 1 − x2 .
x
−1
0
√ −1
1−x2
Fonction arcsinus : x 7→ arcsin(x).
Domaine de définition [−1; 1].
1
Dérivée sur ] − 1; 1[ x 7→ √1−x
.
√2
Primitive x 7→ x arcsin(x) + 1 − x2 .
x
1
−
arccos(x)
π
−1
0
√ 1
1−x2
π
2
+
arcsin(x)
0
1
π
− π2
π
2
0
π
2
π
2
O
−1
−1
O
−π
2
1
Tangente en x = 0 : y = −x + π2 .
Tangente en x = 0 : y = x.
5
1
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Fonction arctangente : x 7→ arctan(x).
Domaine de définition R.
Impaire.
1
Dérivée x 7→ 1+x
2 . Primitive x 7→ x arctan(x) −
√
2
ln( 1 + x ).
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−∞
x
0
1
1+x2
∞
+
arctan(x)
− π2
0
π
2
π
2
O
−1
1
−π
2
Tangente en x = 0 : y = x.
Inégalité de convexité : arctan(x) ≤ x pour x ≥ 0.
7.3
Fonctions à valeurs dans C
L’ensemble des nombres complexes C étant une extension de l’ensemble des nombres réels R possédant les
mêmes propriétés sur les opérations entre les nombres. Il est naturel de considérer des fonctions f : D → C
à valeurs dans C.
Définition 7.14. Une fonction complexe d’une variable réelle est une application d’une partie non
vide de R à valeurs dans C.
Exemples.
1) f1 : x 7→ ix définie sur R.
2) f3 : x 7→ (1 + i)x définie sur R.
3) f2 : x 7→ x + ix2 définie sur R.
4) f4 : t 7→ ei t définie sur R.
5)

t



1 + (t − 1)i
f5 (t) =
(3 − t) + i



(4 − t)i
si
si
si
si
0≤t≤1
1≤t≤2
2≤t≤3
3≤t≤4
définie sur [0; 4].
Exercice 7.6. Pour chacune des fonctions précédentes, décrire l’ensemble image des points M d’affixe
fi (x) où x parcourt l’ensemble de définition de fi .
Proposition 7.15. Se donner une fonction f : D → C équivaut à se donner deux fonctions réelles
a, b : D → R en posant f (x) = a(x) + b(x) i pour tout x ∈ D.
De plus les fonctions a = Re(f ) et b = Im(f ) sont uniquement déterminées.
Définition 7.16. On dit que f : I → C est dérivable (resp. intégrable) sur I si et seulement si
a = Re(f ) et b = Im(f ) le sont sur I et alors :
Z
Z
Z
∀t ∈ I : f 0 (t) = a0 (t) + b0 (t)i
et
f (t) dt = a(t) dt + i
b(t) dt
I
6
I
I
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Remarque. L’étude d’une fonction à valeurs complexes revient essentiellement à l’étude de deux fonctions
réelles.
Exercice 7.7.
1) Soit f : t 7→
1
t−i .
Préciser le domaine de définition de f et déterminer sa dérivée.
2) Même question pour g : t 7→ at où a ∈ C.
On a utilisé la notation algébrique des nombres complexes, on peut aussi définir une fonction complexe
à l’aide de la notation exponentielle : Soit φ : D → R et r : D → R, on associe f : D → C définie par
f (t) = r(t) eiφ(t)
pour tout t ∈ D.
Exercice 7.8. Soit f : t 7→ eit définie sur R.
1) Déterminer sa fonction partie réelle et partie imginaire à l’aide de fonctions de références.
2) En déduire f 0 (t) en fonction de eit pour tout t ∈ R.
3) Dans le plan complexe, représenter l’ensemble image de f .
iπ
−
4) Soit M le point d’affixe e 3 et →
v le vecteur d’affixe f 0 ( π3 ). Placer le point M et représenter en M
→
−
le vecteur v .
−−→ −
−
5) Déterminer une mesure de l’angle (OM , →
v ) et |→
v |.
6) Interpréter la figure.
Exercice 7.9.
?
Soit f, g : I → C deux fonctions dérivables sur I. Montrer que f × g : t 7→ f (t) g(t) est une fonction
complexe dérivable sur I et (f × g)0 = f 0 × g + f × g 0 .
Si f = a + ib et g = α + iβ alors
f × g = (aα − bβ) + i(aβ + bα)
est une fonction dérivable car le produit de fonctions réelles dérivables est dérivable. De plus,
(f × g)0 = (aα0 + a0 α − b0 β − bβ 0 ) + i(a0 β + aβ 0 + b0 α + bα0 )
0
f × g + f × g 0 = (a0 + ib0 )(α + iβ) + (a + ib)(α0 + iβ 0 )
= (f × g)0
Soit θ : I → R une fonction dérivable sur I, posons f : t 7→ eiθ(t) pour tout t ∈ I. Montrer que
f 0 (t) = θ0 (t) i eiθ(t)
∀t ∈ I :
Soit t ∈ I, alors f (t) = cos(θ(t) + i sin(θ(t)). Comme les fonctions circulaires sont dérivables sur R et θ sur I, on
déduit que f est dérivable sur I. De plus, pour tout t ∈ I, on a
f 0 (t) = −θ0 (t) sin(θ(t)) + iθ0 (t) cos(θ(t)) = iθ0 (t)(i sin(θ(t)) + cos(θ(t))
= iθ0 (t)eiθ(t)
Proposition 7.17. Soit φ : I → C une fonction complexe dérivable sur I, posons f : t 7→ eφ(t) pour
tout t ∈ I. Alors,
∀t ∈ I : f 0 (t) = φ0 (t) eφ(t)
Démonstration. Posons a = Re(φ) et b = Im(φ), alors pour tout t ∈ I, on a
φ(t) = a(t) + ib(t)
et
f (t) = ea(t)+ib(t) = ea(t) × eib(t)
7
TSI 1
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Ainsi, d’après l’exercice précédent, on déduit que f est dérivable sur I et que pour tout t ∈ I, on a
f 0 (t) = (ea(t) )0 × eib(t) + ea(t) × (eib(t) )0
= a0 (t)ea(t)+ib(t) + ea(t) ib0 (t)eib(t)
= (a0 (t) + ib0 (t))ea(t)+ib(t)
= φ0 (t)eiφ(t)
Remarque. On admettra que les règles de dérivations et d’intégrations vues pour les fonctions réelles
restent vraies pour les fonctions complexes.
Par contre, comme on ne peut pas comparer deux complexes, la comparaison f ≤ g n’a non plus pas de
sens pour des fonctions complexes. En particulier, on ne fera pas de tableau de variations de fonctions
complexes.
Exercice 7.10.
1) Soit a ∈ C∗ . Déterminer la dérivée et une primitive de t 7→ eat .
2) Soit f : t 7→ cos(t)et .
a) Démontrer que f est la partie réelle de eat où a est un nombre complexe à déterminer.
b) En déduire une primitive de f .
3) Calculer les deux intégrales ci-dessous :
Z π
Z 2π
sin(t)
dt.
A=
cos(2t)et dt
et
B=
et
0
0
7.4
7.4.1
Intégration
Intégrale d’une fonction positive
On dit qu’une fonction f est positive sur un intervalle si, pour tout x de l’intervalle f (x) est positif :
f (x) ≥ 0.
Définition 7.18. Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a; b], continue et positive sur [a; b].
On appelle intégrale de la fonction f sur [a; b] la mesure de l’aire du domaine du plan délimité
par la courbe représentative C de f , l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x = a et
x = b.
Rb
Ce nombre est noté a f (x) dx.
y
Cf
Aire =
Rb
a
f (x) dx
J
a
x
O
I
b
L’aire du domaine en rouge s’appelle aussi « aire sous la courbe ».
Remarque.
• Le domaine en rouge qui permet de définir l’intégrale peut aussi être définie comme étant le lieu
géométrique des points M (x; y) tels que
a≤x≤b
et
8
0 ≤ y ≤ f (x)
TSI 1
• Le nombre
Fonctions circulaires, complexes. Intégration
Rb
a
2016/2017
f (x) dx se lit « intégrale de a à b de f (x) dx ».
• Les réels a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.
• Dans l’expression d’une intégrale, le terme x est appelé variable muette.
Rb
Rb
On peut aussi remplacer x par d’autres expressions, par exemple a x2 dx = a t2 dt.
L’aire d’un rectangle étant simple à calculer, on a la propriété suivante :
Propriété 7.19 (Intégrale d’une fonction constante). Soit k ≥ 0 et f : [a; b] → R la fonction constante
définie par f (x) = k pour tout x dans l’intervalle [a; b]. Alors
Z
b
b
Z
k dx = (b − a) × k
f (x) dx =
a
a
y
Aire =
k
Rb
a
k dx = (b − a) × k
J
O
x
I
a
b
Si l’on juxtapose plusieurs rectangles, on peut réussir à approximer l’aire sous une courbe. Par exemple,
soit f : R → R, la fonction carrée, définie par f (x) = x2 et cherchons à approximer l’intégrale de f sur
l’intervalle [1; 2] :
2
Z
x2 dx
I=
1
On fixe = 0.1 et on découpe l’intervalle [1; 2] en intervalles réguliers de longueur et on trace les
rectangles de hauteur maximale partant de l’axe des abscisses jusqu’à la courbe représentative de la
fonction f comme sur la figure ci-dessous.
9
TSI 1
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2016/2017
y
Cf
4
3.5
3
2.5
2
1.9
1.8
1.5
1.7
1.6
1.5
1
1.4
1.3
1.2
1.1
0.5
1.0
x
O
0.5
1
1.5
2
On
que la somme S des aires des rectangles en bleu est inférieure ou égale à l’intégrale I =
R 2 observe
2
x
dx.
De
plus, comme l’aire de la partie en rouge, qui fait défaut, est petit, la précédente somme S
1
constitue une approximation de I.
Dans le tableau suivant, on calcul la somme des aires des rectangles en bleu.
rectangle N◦ x
hauteur = x
2
aire = hauteur ×
D’où,
R2
1
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.0
1.21
1.44
1.69
1.96
2.25
2.56
2.89
3.24
3.61
0.1
0.121
0.144
0.169
0.196
0.225
0.256
0.289
0.324
0.361
Total
2.185
x2 dx ' 2.185.
On notera que plus on veut une approximation précise de l’intégrale
Rb
a
f (x) dx, plus on doit choisir un
découpage en intervalles de taille avec d’autant plus petit.
Remarque. Le procédé qu’on vient d’évoquer dans l’exemple précédent a été utilisé par Bernard Riemann
dans « über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe » en 1854 pour définir
rigoureusement l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle. D’ailleurs, en sa mémoire, on parle
aussi d’intégrale de Riemann pour la notion d’intégrale que nous étudions dans ce chapitre.
Nous n’allons pas approfondir d’avantage sur la notion d’intégrale (ce sera l’objet d’un chapitre au second
semestre) et dans les sections suivantes, nous allons nous concentrer sur les propriétés et les techniques
de calcul des intégrales.
7.4.2
Propriétés de l’intégrale de fonctions continues quelconques
10
TSI 1
Fonctions circulaires, complexes. Intégration
2016/2017
Propriété 7.20 (positivé de l’intégrale). Soit f : [a; b] → R une fonction continue et positive sur
Rb
[a; b], alors l’intégrale a f (x) dx est aussi positive.
Lorsque la courbe représentative d’une fonction f est en dessous d’une courbe représentative d’une autre
fonction g sur un intervalle [a; b] alors l’intégrale de f est inférieure à l’intégrale de g sur [a; b].
y
Rb
f (x) dx
a
≤
Rb
a
g(x) dx
Cg
Cf
x
O
a
b
Propriété 7.21. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a; b] continues et positives telles
que f ≤ g (c’est-à-dire telles que f (x) ≤ g(x) pour tout x dans l’intervalle [a; b]), alors :
Z
b
b
Z
f (x) dx ≤
a
f ≤ g
Remarque. Formellement, on a :
g(x) dx.
a
R
⇒
R
f (x) dx ≤
g(x) dx.
Propriété 7.22 (relation de Chasles). Soit f : [a; b] → R continue et positive. Soit c un nombre de
l’inervalle [a; b], alors
y
Cf
Rb
a
Rc
a
O
f (x) dx
Rb
f (x) dx
c
f (x) dx
x
a
c
Z
b
c
Z
f (x) dx +
a
b
Z
f (x) dx =
c
b
f (x) dx
a
Théorème 7.23. Soit f : [a; b] → R une fonction continue et positive. On associe la fonction F :
[a; b] → R définie par
Z x
F (x) =
f (t) dt.
a
La fonction F est dérivable sur l’intervalle [a; b] et sa fonction dérivée est la fonction f :
F 0 (x) = f (x)
11
TSI 1
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2016/2017
pour tout x ∈ [a; b].
Remarque.
Rx
• On notera que dans l’écriture F (x) = a f (t) dt, la variable t est une variable muette, utile uniquement pour le calcul de l’intégrale.
• F (a) = 0.
En fait, d’après le théorème de Cauchy-Lipschitz 1 , la fonction F est l’unique primitive de la fonction
f telle que F (a) = 0.
• Le théorème nous dit entre autre que toute fonction continue f admet une primitive F .
• Néanmoins, toutes le primitives ne peuvent pas être exprimées à partir des fonctions usuelles. Par
2
exemple, la fonction de Gauss f (x) = e−x n’admet pas de primitive en terme de fonctions usuelles.
Définition 7.24. Soit f : I → R une fonction continue. On dit qu’une fonction F est une primitive
de la fonction f si la dérivée de la fonction F est égale à la fonction f sur I :
F0 = f
Comme conséquence du théorème, on a la propriété suivante.
Propriété 7.25. Soit f : I → R une fonction continue positive et a < b deux nombres de l’intervalle
I.
Soit F : I → R une primitive de la fonction f , alors
b
Z
f (t) dt = F (b) − F (a)
a
Nous pouvons maintenant généraliser le définition de l’intégrale aux fonctions de signe quelconque (plus
nécessairement positives).
Définition 7.26. Soit f : I → R une fonction continue (quelconque), a, b deux nombres réels dans
l’intervalle I et F une primitive de la fonction f .
On appelle intégrale de a à b de la fonction f le nombre
b
Z
f (t) dt = F (b) − F (a).
a
Remarque. D’après la propriété précédente, lorsque a < b et f > 0, la définition de l’intégrale coïncide
avec celle donnée en terme d’aire sous la courbe en début de chapitre.
Notation : Pour faciliter les calculs dans la pratique, on utilise la notation suivante :
b
[ F (t) ]a = F (b) − F (a)
Propriété 7.27. Soit f, g : I → R, a, b deux nombres dans I et α, β des nombres réels quelconques.
Alors
Ra
Rb
(l’ordre des bornes compte !)
1) b f (t) dt = − a f (t) dt ;
2)
Rb
3)
Ra
4)
Rc
a
a
a
(αf (t) + βg(t)) dt = α
Rb
a
f (t) dt + β
Rb
a
g(t) dt ;
(linéarité de l’intégrale)
f (t) dt = 0 ;
f (x) dx +
Rb
c
f (x) dx =
Rb
a
f (x) dx ;
(relation de Chasles)
1. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) et Rudolf Lipschitz (1832-1903)
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TSI 1
Fonctions circulaires, complexes. Intégration
2016/2017
Si a ≤ b,
5) si f ≥ 0 alors
Rb
6) si f ≤ g alors
Rb
a
a
f (t) dt ≥ 0 ;
f (t) dt ≤
Rb
a
(positivité de l’intégrale)
g(t) dt.
De même,
Définition 7.28. La valeur moyenne d’une fonction f définie sur l’intervalle [a; b] avec a 6= b,
continue sur [a; b], est égale au nombre
µ=
1
b−a
Z
b
f (t) dt
a
Propriété 7.29. Soit f : [a; b] → R continue avec a 6= b. Soit m un minorant et M un majorant de
la fonction f , c’est-à-dire deux nombres tels que pour tout x dans l’intervalle [a; b], m ≤ f (x) ≤ M .
Alors la valeur moyenne de la fonction f est comprise entre m et M :
1
m≤
b−a
7.4.3
b
Z
f (x) dx ≤ M
a
Primitives
Soit f : I → R une fonction continue. On rappelle qu’une fonction F est une primitive de la fonction f
si la dérivée de la fonction F est égale à la fonction f sur I :
F0 = f
Exemple. Soit f : R → R la fonction carrée, définie par f (x) = x2 pour tout réel x. Soit k un nombre
réel, posons F : R → R définie par F (x) = 31 x3 + k pour tout réel x. Alors,
F 0 (x) =
1
× 3x2 + 0 = x2 = f (x)
3
Ainsi, F est une primitive de la fonction carrée f et ceci quel que soit le nombre réel k !
Propriété 7.30. Soit f : I → R une fonction continue et soit F et G deux de ses primitives. Alors la
fonction F − G est une fonction constante, de plus il existe un nombre réel k tel que G = F + k.
Remarque. Deux primitives d’une fonction f sur un intervalle I ne diffèrent que d’une constante k.
Donnons les primitives des fonctions de référence :
Propriété 7.31. Soit n un entier naturel. Soit k un nombre réel quelconque.
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TSI 1
Lycée Heinrich-Nessel
2016/2017
Intervalle de définition I
Fonction : f (x) =
Primitive F (x) =
R
0
k
R
1
x+k
R
x
1
2
x2 + k
R
x2
1
3
x3 + k
R
xn
1
n+1
]0; +∞[
√1
x
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[
1
x
ln(x) + k
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[
1
x2
− x1 + k
1
xn
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[
xn+1 + k
√
2 x+k
1
−n+1
−n+1 x
avec n ≥ 2
+k
R
ex
ex + k
R
cos(x)
sin(x) + k
R
sin(x)
− cos(x) + k
] − 1; 1[
√ −1
1−x2
arccos(x) + k
] − 1; 1[
√ 1
1−x2
arcsin(x) + k
R
1
1+x2
arctan(x) + k
Remarque. Le fait de « déterminer une primitive » est l’opération inverse de « dériver une fonction ».
Ainsi, dans le tableau précédent, le passage de la troisième colonne à la seconde se fait en dérivant.
Exercice 7.11.
1) Déterminer une primitive de x 7→
√
x sur R∗+ .
2) Dériver la fonction x 7→ x ln(x) et en déduire une primitive de la fonction logarithme népérien.
Propriété 7.32. Soit f, g, u, v : I → R quatre fonctions continues, α, β, k des nombres réels et
n ∈ N∗ . On note F , G une primitive de f et g respectivement. Alors :
Fonction définie sur I
Primitive sur I
f +g
F +G+k
αf
αF + k
αf + βg
αF + βG + k
u0 un
1
n+1
n+1 u
Si u ne s’annule pas,
u0
u2
−1
u
Si u ne s’annule pas,
u0
un
1
(1−n) un−1
u0 eu
Si u > 0,
+k
+k
+k
eu + k
u0
u
ln(u) + k
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TSI 1
Fonctions circulaires, complexes. Intégration
2016/2017
Proposition 7.33. Soit u : D → R et f : E → R deux fonctions dérivables et supposons que pour
tout x ∈ D, u(x) ∈ E. Alors les primitives de u0 . (f 0 ◦ u) sont de la forme f ◦ u + k où k ∈ R.
cos(x)
0
0
Exemple. Considérons la fonction f : x 7→ 1+sin
2 (x) , en remarquant que cos(x) = sin (x) et arctan (x) =
1
1+x2 , on a
cos(x)
= sin0 (x) × arctan0 (sin(x))
1 + sin2 (x)
D’où, les primitives de f sont de la forme x 7→ arctan(sin(x)) + k où k ∈ R.
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2016/2017
Table des matières
7 Fonctions circulaires, complexes. Intégration
7.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Les fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Fonctions à valeurs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Intégrale d’une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Propriétés de l’intégrale de fonctions continues quelconques
7.4.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
3
6
8
8
10
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