Table de primitives

Table de primitives
Calcul des primitives des fonctions usuelles
On peut calculer la primitive de la plupart des fonctions que l’on rencontre en mathématiques au moyen de la table ci-dessous et des règles de
calcul suivantes : soient
Z
Z
F (x) =
f (x) dx
et G(x) =
g(x) dx
des primitives des fonctions f et g respectivement (on se rappellera que
Z
f (x) dx ⇐⇒ F 0 (x) = f (x)
F (x) =
et que la fonction primitive n’est déterminée qu’à une constante additive
près). Alors :
•
Primitive d’une somme
Z
(f (x) + g(x)) dx = F (x) + G(x)
•
Intégration par parties
Z
•
F (x)g(x) dx = F (x)G(x) −
Z
f (x)G(x) dx
Changement de variable
Z
f (G(x))g(x) dx = F (G(x))
Ces règles correspondent aux formules de calcul des dérivées mais le calcul
des primitives est plus difficile que celui des dérivées et l’application des
règles précédentes requiert quelquefois une bonne dose d’ingénuité. De plus,
certaines fonctions simples, telle la fonction
2
e−x ,
n’ont pas de primitives élémentaires (pouvant s’exprimer en termes des
autres fonctions de base des mathématiques).
1
Primitives des fonctions élémentaires.
Z
xa dx =
Z
xa+1
a+1
Z
arccos x dx = x arccos x − (1 − x2 )1/2
dx
= ln x
x
Z
arcsin x dx = x arcsin x + (1 − x2 )1/2
Z
ex dx = ex
Z
Z
bx
b dx =
ln b
Z
1
ln (1 + x2 )
2
1
arcsin x
(1 − x2 )1/2 dx = x(1 − x2 )1/2 +
2
2
1
arcsinh x
(1 + x2 )1/2 dx = x(1 + x2 )1/2 +
2
2
1
dx = arcsin x
(1 − x2 )1/2
1
dx = arcsinh x
(1 + x2 )1/2
dx
= arctan x
(1 + x2 )
Z
x
Z
ln x dx = x ln x − x
Z
logb x dx =
x ln x − x
ln b
Z
Z
Z
cos x dx = sin x
Z
Z
Z
sin x dx = − cos x
arctan x dx = x arctan x −
tan x dx = − ln cos x
Exemples
•
La primitive d’un polynôme est un polynôme.
Z
•
(7x4 − 5x3 + 2) dx =
7 5 5 4
x − x + 2x.
5
4
La primitive d’une fonction rationnelle (qui n’est pas nécessairement
une fonction rationnelle) peut quelquefois s’obtenir en la décomposant
en fractions partielles. Ainsi, pour trouver la primitive de
1
,
(x − 1)(x + 2)
on écrit
1
A
B
=
+
(x − 1)(x + 2)
x−1 x+2
2
et l’on détermine A et B en mettant sur le même dénominateur :
1
(A + B)x + (2A − B)
=
(x − 1)(x + 2)
(x − 1)(x + 2)
puis, en égalant à 0 le coefficient du x au numérateur et à 1 son terme
constant :
1
1
A = ,B = −
3
3
et
Z
•
1
dx
=
(x − 1)(x + 2)
3
dx
1
−
x−1 3
dx
1
x−1
= ln
.
x+2
3
x+2
x cos x dx = x sin x −
Z
sin x dx = x sin x + cos x.
La formule du changement de variable correspond à la formule pour
dériver une fonction composée :
Z
1
sin (3x + 2)dx =
3
Z
Z
2
e−x xdx = −
1
sin (3x + 2)3dx = (− cos (3x + 2)),
3
1
2
1
2
2
e−x (−2x)dx = − e−x .
2
Z
Exercices
Calculer les intégrales suivantes.
Z
•
(x2 + 2x ) dx
Z
x sin x dx
•
Z
sin x cos x dx
•
Z
•
Z
•
Z
L’intégration par partie correspond à la formule pour dériver un produit :
Z
Z
x
x
xe dx = xe − ex dx = xex − ex ,
Z
•
Z
eax+b dx
dx
+4
x2
3
Pour en savoir plus
? http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc5/integD.html
? http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1.
x3
3
+
2x
ln2
2. −x cos x + sin x
3. − 12 cos2 x
4
4. a1 eax+b
5.
1
2
arctan
x
2