Table de primitives

Table de primitives
Calcul des primitives des fonctions usuelles
On peut calculer la primitive de la plupart des fonctions que l’on ren-
contre en mathématiques au moyen de la table ci-dessous et des règles de
calcul suivantes : soient
F(x) = Zf(x)dx et G(x) = Zg(x)dx
des primitives des fonctions fet grespectivement (on se rappellera que
F(x) = Zf(x)dx ⇐⇒ F0(x) = f(x)
et que la fonction primitive n’est déterminée qu’à une constante additive
près). Alors :
•Primitive d’une somme
Z(f(x) + g(x)) dx =F(x) + G(x)
•Intégration par parties
ZF(x)g(x)dx =F(x)G(x)−Zf(x)G(x)dx
•Changement de variable
Zf(G(x))g(x)dx =F(G(x))
Ces règles correspondent aux formules de calcul des dérivées mais le calcul
des primitives est plus difficile que celui des dérivées et l’application des
règles précédentes requiert quelquefois une bonne dose d’ingénuité. De plus,
certaines fonctions simples, telle la fonction
e−x2,
n’ont pas de primitives élémentaires (pouvant s’exprimer en termes des
autres fonctions de base des mathématiques).
1

Primitives des fonctions élémentaires.
Zxadx =xa+1
a+ 1 Zarccos x dx =xarccos x−(1 −x2)1/2
Zdx
x= ln xZarcsin x dx =xarcsin x+ (1 −x2)1/2
Zexdx =exZarctan x dx =xarctan x−1
2ln (1 + x2)
Zbxdx =bx
ln bZ(1 −x2)1/2dx =1 2x(1 −x2)1/2+arcsin x 2
Zln x dx =xln x−xZ(1 + x2)1/2dx =1
2x(1 + x2)1/2+arcsinh x 2
Zlogbx dx =xln x−x
ln bZ1
(1 −x2)1/2dx = arcsin x
Zcos x dx = sin xZ1
(1 + x2)1/2dx =arcsinh x
Zsin x dx =−cos xZdx
(1 + x2)= arctan x
Ztan x dx =−ln cos x
Exemples
•La primitive d’un polynôme est un polynôme.
Z(7x4−5x3+ 2) dx =7
5x5−5 4x4+ 2x.
•La primitive d’une fonction rationnelle (qui n’est pas nécessairement
une fonction rationnelle) peut quelquefois s’obtenir en la décomposant
en fractions partielles. Ainsi, pour trouver la primitive de
1
(x−1)(x+ 2),
on écrit 1
(x−1)(x+ 2) =A x−1+B x+ 2
2

et l’on détermine Aet Ben mettant sur le même dénominateur :
1
(x−1)(x+ 2) =(A+B)x+ (2A−B) (x−1)(x+ 2)
puis, en égalant à 0 le coefficient du xau numérateur et à 1 son terme
constant :
A=1
3, B =−1 3
et
Zdx
(x−1)(x+ 2) =1 3Zdx x−1−1 3Zdx x+ 2 =1 3ln x−1 x+ 2.
•L’intégration par partie correspond à la formule pour dériver un pro-
duit : Zxexdx =xex−Zexdx =xex−ex,
Zxcos x dx =xsin x−Zsin x dx =xsin x+ cos x.
•La formule du changement de variable correspond à la formule pour
dériver une fonction composée :
Zsin (3x+ 2)dx =1
3Zsin (3x+ 2)3dx =1 3(−cos (3x+ 2)),
Ze−x2xdx =−1
2Ze−x2(−2x)dx =−1 2e−x2.
Exercices
Calculer les intégrales suivantes.
•Z(x2+ 2x)dx
•Zxsin x dx
•Zsin xcos x dx
•Zeax+bdx
•Zdx
x2+ 4
3

Pour en savoir plus
?http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc5/integD.html
?http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1. x3
3+2x ln22. −xcos x+ sin x3. −1 2cos2x4. 1 aeax+b5. 1 2arctan x 2
4