Problème 1 Problème 2

Mpsi
Devoir non surveillé 2
Problème 1
Pour (n, p) ∈ N2 , on pose Sp (n) =
n
X
ip et Tp (n) =
i=0
n
X
(−1)i ip .
i=0
Question 1) Montrez que pour tout n ∈ N, S3 (n) = S1 (n)2 .
Question 2) Soit (un ) une suite de réels telle que u0 = 0, telle que pour tout n ∈ N∗ , un > 0 et qui vérifie la propriété
!2
n
n
X
X
3
∀n ∈ N
ui =
ui .
i=0
i=0
Montrez par récurrence forte que pour tout n ∈ N, un = n.
Question 3) On note (C) la proposition « pour tout n ∈ N, Sp (n) est le carré d’un entier ».
On suppose que (C) est vraie.
a) Montrez qu’il existe a ∈ N∗ tel que 2p = a2 − 1.
b) Déduisez-en qu’il existe (α, β) ∈ N2 tel que a = 2α − 1 = 2β + 1 et α + β = p.
c) Justifiez que la seule valeur possible pour β est 1, déduisez-en la seule valeur possible pour p.
d) Concluez : déterminez les entiers p qui satisfont la propriété (C).
Question 4) Déterminez les entiers p et q tels que pour tout n ∈ N, Sp (n) = (Sq (n))2 .
Question 5) Montrez que pour tout n ∈ N, T2 (n) = (−1)n S1 (n).
Question 6) Déterminez la seule suite (vn ) de réels telle que v0 = 0, telle que pour tout n ∈ N∗ , vn > 0 et qui vérifie la
!2
n
n
X
X
i 2
n
propriété ∀n ∈ N
(−1) vi = (−1)
vi .
i=0
i=0
Question 7) Déterminez les entiers p et q tels que pour tout n ∈ N, Tp (n) = (−1)n Sq (n).
Question 8) Déterminez les entiers p et q tels que pour tout n ∈ N, Tp (n) = (−1)n (Tq (n))2 .
Problème 2
n
n
X
X
2n
1
kak an−k .
ak an−k et tn =
, puis sn =
Pour n ∈ N, on pose an =
n+1 n
k=0
k=0
Question 1)
a) Montrez que pour tout n ∈ N, tn =
n
X
(n − k)ak an−k .
k=0
b) Déduisez-en que 2tn = nsn .
Question 2) Vérifiez que pour tout n ∈ N, (n + 2)an+1 = 2(2n + 1)an .
Question 3) Montrez que pour tout n ∈ N, tn+1 + sn+1 =
n+3
sn+1 = an+1 + 2(n + 1)sn .
2
Question 4) Montrez que pour tout n ∈ N, sn = an+1 .
Question 5) Montrez par récurrence forte que pour tout n ∈ N, an est un entier naturel.
Remarque. Les nombres an sont appelés les nombres de Catalan, ils apparaissent souvent dans les problèmes de dénombrements.
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