Mathématiques Discrètes Feuille d`exercices 2 MAM3 et SI3

Mathématiques Discrètes
Feuille d’exercices 2
MAM3 et SI3
1 Exercice
Montrez par récurrence que pour tout entier n, la somme des npremiers entiers non nuls est égale à
n(n+1)
2. On commencera par écrire l’énoncé avec la notation Σ.
L’énoncé peut s’écrire Pi=n
i=1 i=n(n+1)
2.
•On commence par montrer que le résultat est vrai pour 0: en effet la somme de zéro entiers vaut
0.
•Hypothèse de récurrence : on suppose que pour un certain n, on a Pi=n
i=1 i=n(n+1)
2.
•Montrons que le résultat est vrai à l’ordre n+ 1:
Pi=n+1
i=1 i=Pi=n i=1 i+ (n+ 1) = n(n+1)
2+ (n+ 1) = n+2(n+1) 2.
2 Exercice
On suppose que nest entier non nul. Soit un échiquier ayant 2ncases par coté. Un trimino est un
morceau d’échiquier de 3 cases non alignées.
•Prouvez que l’on peut recouvrir par des triominos, un échiquier ayant 2ncases par coté et auquel
on a enlevé une case de coin.
•Prouvez que le recouvrement est possible quel que soit l’emplacement de la case que l’on enlève à
l’échiquier.
•En déduire que ∀n∈N:22∗n−1est divisible par 3.
•Démontrer directement que ∀n∈N:22∗n−1est divisible par 3.
•On peut faire facilement une preuve par récurrence :
–Pour n= 0 la propriété est vraie, car nous avons une seule case, celle qui sera enlevée.
–Supposons vraie pour net montrons pour n+ 1 : un échequier ayant 2n+1 cases par coté peut
être découpé en 4 échequiers ayant 2ncases par coté. Dans trois des quatre on enlève le coté
proche du millieu du grand échequier, ce qui permet de couvrir ces trois cases par un triomino.
Dans le quatrième on laisse la case non-couverte vers l’extérieur.
•La même preuve que pour le premier cas, sauf que la case qui reste non couverte peut être n’importe
où (toujours par récurrence).
•Comme chaque triomino couvre trois cases, 22n−1qui correspond au nombres de cases couvertes
est un multiple de trois.
•–Pour n= 0 :22n−1 = 1 −1 = 0 est un multiple de trois.
–Supposons vrai pour n, c.à.d. 22n−1 = 3k: alors 22(n+1) −1 = 4(22n−1) + 3 = 12k+ 3,
donc aussi multiple de 3.
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3 Exercice
Montrez que la somme des mesures en radians des angles d’un polygone convexe à ncotés est (n−2) ∗π.
4 Exercice
Démontrez que le raisonement par récurrence sur N est valide.
Supposons qu’il existe une propriété Pqui soit vraie pour 0, qui si elle est vraie pour nsoit vraie
pour n+ 1. Notons Vle sous ensemble de Ndes entiers pour lesquels la propriété est vraie. Vcontient
0,Vest inclus dans N,Vest stable pour l’operateur successeur, donc Vest vrai.
5 Exercice
Trouver l’erreur dans la démonstration suivante de la propriété suivante : pour tout nentier, si un paquet
de npièces contient une pièce de un euro, alors ce paquet ne contient que des pièces de un euro.
•Base : Cette propriété est bien sûr vraie pour n=1.
•Induction : Supposons donc que pour un certain n, la propriété est vraie pour tout paquet de n
pièces.
•On va montrer qu’alors elle est vraie pour tout paquet de n+ 1 pièces.
Soit donc un paquet de n+ 1 pièces contenant une pièce de 1 euro. Retirons l’une des pièces qui
ne soit pas cette pièce, on a un paquet de npièces. Ce paquet contient une pièce de 1 euro. Par
hypothèse de récurrence, ce paquet ne contient donc que des pièces de 1 euro . Rajoutons la pièce
qu’on avait enlevée : si c’est 1 euro, on a terminé. Sinon, enlevons du paquet une des nautres
pièces. On obtient alors un nouveau paquet de npièces contenant au moins 1 euro, et par hypothèse
de récurrence il ne contient que des pièces de 1 euro.
On a donc prouvé qu’il n’y a que des pièces de 1 euro ???
L’étape inductive n’est pas vraie pour n= 1.
Dans ce cas en effet, lorsqu’on considère un paquet de n+ 1 = 2 pièces contenant une pièce Pde 1
euro, il n’y a qu’une autre pièce P′. Lorsque l’on retire une pièce différente de P, c’est à dire l’autre
pièce P′, on obtient un paquet de une pièce (la pièce P) qui est bien une pièce de un euro. Si P′est
une pièce de 1 euro, on a terminé. Sinon, enlever du paquet une des nautres pièces, c’est enlever P, le
nouveau paquet de npièces ne contient aucune pièce de 1 euro et l’on ne peut pas appliquer l’hypothèse
de récurrence.
6 Exercice
Nous allons démontrer que lorsque npièces de monnaies, avec nsupérieur à 2, d’apparence identique
sont données, avec une plus légère que les autres, alors il suffit d’une pesée sur une balance à 2 plateaux
pour identifier la plus légère.
Lorsque n= 2, c’est facile ! On place une pièce sur chaque plateau de la balance, l’équilibre ne se fait
pas car par hypothèse une des pièces est plus légère, et cette pesée permet de la déterminer.
On suppose maintenant que l’on connaît une procédure utilisant une pesée pour npièces, et montrons
comment en obtenir une pour n+ 1 pièces. Donnons-nous n+ 1 pièces dont l’une est plus légère que les
autres (qui, elles, ont toutes un poids identique). Nous mettons à part l’une des pièces, et appliquons la
procédure donnée par l’hypothèse de récurrence pour les npièces restantes. Si cette procédure fonctionne,
on connaît la pièce la plus légère, sinon, c’est celle qu’on a mis à part qui est la plus légère.
En fait si la procédure fonctionne, tout ce que l’on peut supposer c’est qu’elle est capable lorsqu’on
lui donne npièces parmi lesquelles une est plus légère que les autres, de déterminer cette pièce, mais on
a aucune idée de ce qu’elle fait si on lui donne n pièces toutes identiques.
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7 Exercice
La méthode de descente infinie due à Pierre de Fermat consiste en :
•Montrer que la propritété est vraie dans le cas initial (0).
•Montrer que pour tout contre-exemple on peut trouver un plus petit.
•Si on choisit un plus petit contre-exemple alors on en déduit un contre-exemple plus petit.
•Ceci contredit le fait d’avoir choisi un plus petit contre-exemple au départ
Elle nécessite que tout ensemble (les contre-exemples ici) admet un plus petit élément. Comme nous
avons identifié les affirmations avec les nombres naturels, cest bien notre cas ici.
Montrer qu’elle est équivalente à l’induction.
8 Exercice
Justification de la récurrence forte
Soit Q(n) la propriété : Pour tout m<n P(n) est vrai.
Alors une récurrence forte sur P est équivalente à une récurrence simple sur Q
9 Exercice
Montrer que tout nombre entier positif est le produit de (un ou plusieurs) nombres premiers.
Preuve par récurrence forte
Base : c’est vrai pour n=2, puisque 2 est lui-même premier.
Induction : Supposons que tout entier strictement inférieur à n soit le produit de un ou plusieurs
nombres premiers.
Montrons que n est le produit de un ou plusieurs entiers premiers.
Si n est premier, n lui même est le produit de un nombre premier.
Sinon, n admet un diviseur d, différent de 1 et de n. On a donc n=dp, où d et p sont deux entiers
strictement inférieur à n. Chacun d’eux est donc le produit d’un ou plusieurs nombres premiers, et n est
donc lui-même le produit d’un ou plusieurs nombres premiers.
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