Devoirs

FEE2 Devoir Surveillé n ° 1 Barème :
1 ) 8 pts 2 ) 6 pts 3 ) 6 pts
Nom :
- Durée 1 h
- Calculatrices autorisées
Commentaires : Lisez l’énoncé en entier avant de commencer et répondez bien aux questions qui vous sont demandées .Vous pouvez faire les exercices dans
l’ordre que vous souhaitez . La rédaction est importante . Soyez propre et clair . Bon courage …
Ex 1 :
Une entreprise de matériel produit des pièces pour l’industrie.
1 ) Dans un important stock de ces pièces, on prélève au hasard 100 pièces pour vérification.
Le stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 pièces.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces acceptables. On suppose que la probabilité
qu’une pièce soit acceptable est égale à 0,952.
a ) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
b ) Calculer, à
10−3
près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, 98 pièces au moins soient acceptables.
2 ) On s’intéresse dans cette question au diamètre des pièces.
Soit
X
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 pièces prélevées au hasard et avec remise dans la production de la journée considérée,
associe la moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon. On suppose que
X
suit la loi normale de moyenne inconnue μ et
d’écart-type
σ
√
100
avec σ = 0,094.
On mesure le diamètre, exprimé en centimètre, de chacune des 100 pièces d’un échantillon choisi au hasard et avec remise dans la production de la
journée. On constate que la valeur approchée arrondie à
10−3
près de la moyenne
x
de cet échantillon est
x=4, 022
.
a ) A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle, à
10−3
près, de la moyenne μ du diamètre des pièces
produites pendant cette journée.
b ) Déterminer un intervalle de confiance centré en
x
de la moyenne μ des diamètres des pièces produites pendant la journée considérée, avec le
coefficient de confiance 99 %.
c ) On considère l’affirmation suivante : "la moyenne μ est obligatoirement entre 3,998 et 4,046". Peut-on déduire de ce qui précède qu’elle est
vraie ?
Ex 2 :
Soit
ABC
un triangle.
Simplifier au maximum l'écriture des vecteurs suivants :
⃗ u=2
⃗
CB+
⃗
AC−
⃗
AB
⃗ v=−
⃗
AB+2
⃗
AC−
⃗
CB+
⃗
BA
Les vecteurs
⃗ u
et
⃗ v
sont-ils colinéaires ? Justifier.
Ex 3 :
RAPPEL > Propriété : Approximation de la loi binomiale par une loi normale
Si la variable aléatoire
X
suit une loi binomiale
B n;p
, alors son espérance est
E X =np
et son écart type est
X = np 1−p
.
Si
n30
,
np5
et
n 1−p 5
, alors la loi binomiale peut être approchée par une loi normale de même espérance et de même écart type,
N np ; np 1−p
On suppose que 5 % des pièces livrées présentent le défaut A. On prélève avec remise 500 pièces du stock. On note Y la variable aléatoire qui, à
chaque échantillon de 500 pièces prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de pièces présentant le défaut A.
1) Quelle est la loi suivie par Y ?
2) On approche la loi de Y par une loi normale. Quels sont les paramètres de cette loi normale ?
3) On note Z la variable aléatoire suivant cette loi normale. Déterminer la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit inférieur ou égal à
10.
Pour répondre à cette question on calculera P(Z ≤ 10,5).

Correction :
Ex 1 :
Une entreprise de matériel produit des pièces pour l’industrie.
1 ) Dans un important stock de ces pièces, on prélève au hasard 100 pièces pour vérification.
Le stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 pièces.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces acceptables. On suppose que la probabilité
qu’une pièce soit acceptable est égale à 0,952.
a ) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
On reconnaît un schéma de Bernoulli consistant en la répétition 100 fois de manière indépendante de l'épreuve de Bernoulli de succès 0,952.
X suit la loi binomiale B(100;0,952)
b ) Calculer, à
10−3
près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, 98 pièces au moins soient acceptables.
On cherche
P
(
X⩾98
)
Avec Xcas : binomial_cdf(100,0.952,98,100)
On obtient
P
(
X⩾98
)
≈
0,136
2 ) On s’intéresse dans cette question au diamètre des pièces.
Soit
X
la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 pièces prélevées au hasard et avec remise dans la production de la journée considérée,
associe la moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon. On suppose que
X
suit la loi normale de moyenne inconnue μ et
d’écart-type
σ
√
100
avec σ = 0,094.
On mesure le diamètre, exprimé en centimètre, de chacune des 100 pièces d’un échantillon choisi au hasard et avec remise dans la production de la
journée. On constate que la valeur approchée arrondie à
10−3
près de la moyenne
x
de cet échantillon est
x=4, 022
.
a ) A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle, à
10−3
près, de la moyenne μ du diamètre des pièces
produites pendant cette journée.
Une estimation ponctuelle de μ est
x=4, 022
b ) Déterminer un intervalle de confiance centré en
x
de la moyenne μ des diamètres des pièces produites pendant la journée considérée, avec le
coefficient de confiance 99 %.
[
4 ,022−2 ,58×0,094
√
100 ; 4 ,022+2 ,58×0,094
√
100
]
≈
[ 3,998 ; 4, 046 ]
c ) On considère l’affirmation suivante : "la moyenne μ est obligatoirement entre 3,998 et 4,046". Peut-on déduire de ce qui précède qu’elle est
vraie ?
Non, il y a une marge d'erreur de 1 %
Ex 2 :
Soit
ABC
un triangle.
Simplifier au maximum l'écriture des vecteurs suivants :
⃗ u=2
⃗
CB+
⃗
AC−
⃗
AB=2
⃗
CB+
⃗
AC+
⃗
BA =
⃗
CB+
⃗
BA +
⃗
AC+
⃗
CB=
⃗
CB
⃗ v=−
⃗
AB+2
⃗
AC−
⃗
CB+
⃗
BA=
⃗
BA+2
⃗
AC+
⃗
BC+
⃗
BA=2
⃗
BA+2
⃗
AC+
⃗
BC=2
⃗
BC+
⃗
BC=3
⃗
BC
Les vecteurs
⃗ u
et
⃗ v
sont-ils colinéaires ? Justifier.
⃗ v=3
⃗
BC=−3
⃗
CB=−3 ⃗ u
,
⃗ u
et
⃗ v
sont donc colinéaires

Ex 3 :
On suppose que 5 % des pièces livrées présentent le défaut A. On prélève avec remise 500 pièces du stock. On note Y la variable aléatoire qui, à
chaque échantillon de 500 pièces prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de pièces présentant le défaut A.
1) Quelle est la loi suivie par Y ?
Y suit la loi binomiale B(500;0,05)
2) On approche la loi de Y par une loi normale. Quels sont les paramètres de cette loi normale ?
E(X)=500
×
0,05=25 et
σ
(
X
)
=
√
(
500×0,05
)
×
(
1−0,05
)
≈
4,87
la loi normale est N(25;4,87)
3) On note Z la variable aléatoire suivant cette loi normale. Déterminer la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit inférieur ou égal à
10.
Pour répondre à cette question on calculera P(Z ≤ 10,5).
P(Z ≤ 10,5)
≈
0,00145