IUT GB - Fiche de TD – Variables aléatoires discrètes

IUT GB - Fiche de TD – Variables aléatoires discrètes
Exercice 1. On s’intéresse dans cet exercice aux allergies déclenchées par un médicament dans une grande population. Une étude a
montré que 23% des individus sont allergiques. On choisit au hasard un échantillon de 18 personnes. Soit  le nombre aléatoire de
personnes allergiques.
1. Quelle loi la variable suit-elle ? Donner son espérance, sa variance et son écart type.
2. Calculer la probabilité : ℙ(3≤  ≤ 7).
Exercice 2.
On sait par expérience qu'une certaine opération chirurgicale a 85% de chances de réussir. On s'apprête à réaliser l'opération sur 20
patients. Soit  la variable aléatoire égale au nombre de réussites de l'opération sur les 20 tentatives.
1. Quel modèle proposez-vous pour  ? (préciser la loi de probabilité de .)
2. Donner l’espérance, la variance et l'écart type de .
3. Calculer la probabilité d'avoir au moins 15 réussites.
4. Trouver toutes les valeurs de  qui vérifient : ℙ( ≥ )≤25%.
Exercice 3. On examine successivement les souris dans une population à la recherche d’un caractère génétique particulier . Pour
chaque souris, on suppose que la probabilité d’avoir ce caractère est de 15%. On note  le nombre de souris à examiner pour
observer la première fois le caractère .
1. Quelle est la loi de  ? Calculer (), () et ().
2. Calculer les probabilités ℙ( = 1), ℙ( ≤ 6), ℙ( ≥ 15).
3. Calculer ℙ( ≤ ) pour  ≥ 1. Calculer  minimum pour que ℙ( ≤ ) ≥ 95%.
Exercice 4. Un liquide contient 9,3.105 bactéries par litre. On prélève un échantillon de 1 3 de ce liquide. Chaque bactérie a donc
une probabilité =10−6 de se trouver dans l’échantillon (on rappelle : 1 = 1063).
1. Déterminer le nombre moyen  de bactéries par 3.
2. On note  le nombre aléatoire de bactéries dans l’échantillon.  suit une loi de Poisson de moyenne . Calculer les
probabilités ℙ(= 1),ℙ( ≤ 2) et ℙ( ≥ 4).
Exercice 5.
La prévalence du daltonisme chez les femmes est de 0,4%. Sur un échantillon de 800 femmes, on note  le nombre aléatoire de
femmes daltoniennes.
1. Justifier que  suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. On peut approcher la loi de  par une loi de Poisson. Pourquoi ? Laquelle ?
3. Calculer la probabilité d'avoir au maximum 5 femmes atteintes de daltonisme.
Exercice 6.
La mucoviscidose est une maladie héréditaire récessive qui se caractérise par la présence d'un allèle  au lieu d'un allèle . Les
personnes atteintes sont de génotype . Les personnes hétérozygotes sont de génotype . Des études ont montré que 1
personne sur 1600 est atteinte de la mucoviscidose et 1 personne sur 20 est hétérozygote.
1. On choisit au hasard (avec remise) un échantillon de 4000 individus. On note  le nombre aléatoire de personnes atteintes
de mucoviscidose.
a. Justifier que  suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. Préciser () et ().
b. On peut approcher la loi de  par une loi de Poisson. Pourquoi ? Laquelle ?
c. Calculer la probabilité d'avoir au minimum 6 personnes atteintes de mucoviscidose.
2. On choisit les unes après les autres des personnes jusqu'à découvrir la première fois un hétérozygote. On note  le nombre
aléatoire de tirages nécessaires.
a. Quelle est la loi de  ? Préciser son espérance, sa variance, son écart type.
b. Calculer ℙ( ≥ 40).
c. Quel est le nombre minimal  de tirages à prévoir pour avoir ℙ( ≤ )>99% ?
Exercice 7. En France, environ 80% des enfants de moins de deux ans sont vaccinés contre la rougeole (vaccin ROR). Pour un
échantillon de 20 enfants de moins de deux ans, on note  le nombre aléatoire d’enfants qui sont vaccinés.
1. Quelle est la loi de  ? Calculer son espérance, sa variance et son écart type.
2. Calculer ℙ(14 ≤  ≤ 17).
3. Déterminer toutes les valeurs de  telles que ℙ( ≥ ) < 25%.
4. Déterminer toutes les valeurs de  telles que ℙ( ≤ ) < 5%.