Fonctions usuelles - Mathématiques PTSI

Chapitre 2
Fonctions usuelles
Math´ematiques PTSI
Lyc´ee D´eodat de S´everac
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Fonctions logarithme, exponentielle et puissance
Plan
1Fonctions logarithme, exponentielle et puissance
Fonction logarithme
Tableau de variations et courbe repr´esentative
Fonction exponentielle
Fonction puissance
2Fonctions hyperboliques
3Fonctions trigonom´etriques usuelles
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Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Fonction logarithme
éD´efinition et premi`eres propri´et´es :
D´efinition :
On appelle logarithme N´ep´erien, et on note ln, la fonction d´efinie sur R∗
+
d´erivable sur R∗
+et telle que :
•ln0(x) = 1
x;
•ln(1) = 0.
Proposition (propri´et´es alg´ebriques)
Soient aet bdeux nombres strictement positifs. Alors :
1ln(ab) = ln(a) + ln(b);
2ln 1
a=−ln(a);
3ln a
b= ln(a)−ln(b).
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Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Tableau de variations et courbe repr´esentative
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
T:y=x−1
1
Figure:courbe repr´esentative de la fonction ln
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Fonctions logarithme, exponentielle et puissance Tableau de variations et courbe repr´esentative
é´ Equations et in´equations associ´ees :
On retiendra le principe suivant : ∀(x;y)∈R∗
+2,ln(x) = ln(y)⇔x=y,
de mˆeme si l’on remplace l’´egalit´e par des in´egalit´es. Ceci est vrai car ln est
strictement croissante.
Exercice
R´esoudre l’´equation ln(x+ 2) = 2 ln(x).
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