Algèbre générale et algèbre linéaire - IMJ-PRG

Algèbre générale et algèbre linéaire
Georges Skandalis
Université Paris Diderot (Paris 7) - IREM
Préparation à l’Agrégation Interne
23 janvier 2017

Table des matières
I Algèbre générale 1
1 Nombres entiers naturels - dénombrement 1
1.1 Quelques rappels sur N.................................... 1
1.2 Quelques exemples de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Rappel sur les groupes et leurs opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Rappel sur les définitions des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Rappel sur les opérations de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Exercices............................................ 6
2 Arithmétique dans Z10
2.1 Division dans Z........................................ 10
2.2 Sous-groupes additifs de Z.................................. 10
2.3 PGCD, PPCM algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Nombrespremiersentreeux ................................. 12
2.5 Congruences, l’anneau Z/nZ................................. 13
2.6 Application : groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6.1 Le morphisme n7→ xn................................ 15
2.6.2 Groupescycliques................................... 15
2.7 Exercices............................................ 16
2.7.1 Divisibilité et congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7.2 Nombrespremiers................................... 20
2.7.3 Groupescycliques................................... 25
3 Anneaux 26
3.1 Généralités .......................................... 26
3.2 Anneaux intègres ; anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Anneauxeuclidiens...................................... 29
3.4 Unexemple .......................................... 30
3.5 Sous-corps........................................... 32
3.5.1 Caractéristique d’un corps ; sous-corps premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.2 Corps des fractions d’un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.3 Éléments algébriques, éléments transcendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Exercices............................................ 33
i

4 Polynômes et fractions rationnelles 37
4.1 Polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K................ 37
4.2 Fonctionspolynômes ..................................... 38
4.2.1 Racines ........................................ 38
4.2.2 Polynômes scindés ; relations entre coefficients et racines . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3 Dérivation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.4 Polynômes irréductibles sur Ret C......................... 40
4.2.5 Racines et extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.6 Deux démonstrations du théorème de d’Alembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Fractions rationnelles sur un corps commutatif K..................... 43
4.4 Exercices............................................ 45
II Algèbre linéaire 52
5 Définitions et généralités 52
5.1 Espacesvectoriels....................................... 52
5.2 Sous-espacesvectoriels .................................... 53
5.3 Applicationslinéaires..................................... 54
5.4 Ensembles d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Familles libres, génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5.1 Familles, familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5.2 Applications linéaires de KIdans E......................... 56
5.5.3 Familles libres, génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.6 Matrices............................................ 57
5.6.1 Applications linéaires de KJdans KI........................ 57
5.6.2 Produitmatriciel ................................... 57
5.6.3 Matrices inversibles. Groupe GL(n, K)....................... 57
5.7 Exercices............................................ 57
6 Théorie de la dimension 59
6.1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Rang.............................................. 61
6.4 Exercices............................................ 61
ii

7 Matrices et bases 64
7.1 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1.1 Matrice d’une application linéaire entre espaces vectoriels munis de bases . . . . 64
7.1.2 Changements de base, matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 Matrices équivalentes, matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2.1 Matriceséquivalentes................................. 65
7.2.2 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2.3 Matricesextraites................................... 65
7.2.4 Matrices d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Dualité,baseduale ...................................... 66
7.3.1 Formes linéaires ; dual d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3.2 Espaces vectoriels en dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3.3 Orthogonalité..................................... 68
7.3.4 Hyperplans ...................................... 70
7.4 Exercices............................................ 70
8 Systèmes d’équations linéaires, déterminants 73
8.1 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2 Déterminants ......................................... 75
8.2.1 Formes multilinéaires alternées ; déterminant relatif à une base . . . . . . . . . . 75
8.2.2 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2.3 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2.4 Interprétation du déterminant lorsque le corps de base est R........... 79
8.3 Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3.1 Matricesélémentaires................................. 80
8.3.2 Opérations sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3.3 Opérations sur les lignes : Algorithme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3.4 Applications...................................... 82
8.4 Exercices............................................ 85
8.4.1 Calculsdedéterminants ............................... 85
8.4.2 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 Réduction des endomorphismes 88
9.1 Vecteurs propres et valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.1.1 Sous-espaces stables par un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.1.2 Vecteurs propres et valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.1.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.1.4 Triangulation d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
iii