espaces vectoriels en dimension finie Exercice 1: Dans 𝐸 = ℝℝ , les familles suivantes sont-elles libres ? 1. (𝑓, 𝑔, ℎ) avec ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥, 𝑔(𝑥) = cos 𝑥, ℎ(𝑥) = 1. 2. (𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖) avec ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥, 𝑔(𝑥) = cos 𝑥, ℎ(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥, 𝑖(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥. 3. (𝑓, 𝑔, ℎ) avec ∀𝑥 ∈ ℝ : 𝑓 (𝑥) = sin2 (𝑥), 𝑔(𝑥) = cos2 (𝑥), ℎ(𝑥) = 1. 4. ℱ = (sin, cos, exp). Exercice 2 La famille ℱ = {𝑄1 , 𝑄2 , 𝑄3 }, où 𝑄1 = 𝑋 2 + 1, 𝑄2 = 3𝑋 2 − 𝑋 + 3, 𝑄3 = 𝑋 2 − 𝑋 + 1 est-elle une base de 𝐸 = ℝ2 [𝑋] ? Si oui, déterminer les coordonnées sur cette base de 𝑃 = 𝑋. Exercice 3 On rappelle que le seul polynôme qui possède une infinité de racines est le polynôme nul. 1. Dans l’espace 𝐸 = ℱ([0, 𝜋2 ], ℝ), on définit les fonctions 𝑓𝑘 par : ∀𝑥 ∈ [0, 𝜋2 ], 𝑓𝑘 (𝑥) = sin𝑘 (𝑥). Pour tout entier 𝑛 ∈ ℕ, montrer que la famille ℱ = (𝑓0 , 𝑓1 , 𝑓2 , . . . , 𝑓𝑛 ) est libre. 2. De même, avec 𝑔𝑘 (𝑥) = exp(𝑘𝑥), montrer que la famille 𝒢 = (𝑔0 , 𝑔1 , 𝑔2 , . . . , 𝑔𝑛 ) est libre dans l’espace 𝐹 = ℝℝ . Exercice 4 Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E . Montrer l’équivalence : ker f = Im f ⇔ f 2 = 0 et n = 2 rg( f ) . Exercice 5 Soit 𝐹 et 𝐺, deux sev de ℝ5 tels que dim(𝐹 ) = dim(𝐺) = 3. Montrer que 𝐹 ∩ 𝐺 ∕= {⃗0}. Exercice 6 Soit 𝐹 et 𝐺, deux sous-espaces vectoriels de 𝐸, espace vectoriel de dimension finie 𝑛. Montrer que, si dim(𝐹 ) + dim(𝐺) > 𝑛, alors 𝐹 ∩ 𝐺 ∕= {⃗0}. Exercice 7 Soit 𝑎 et 𝑏, deux scalaires pris dans le corps 𝕂. On définit 𝐸, l’ensemble des suites 𝑢 = (𝑢𝑛 )𝑛≥0 à valeurs dans 𝕂 et vérifiant la relation de récurrence : ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛+2 = 𝑎𝑢𝑛+1 + 𝑏𝑢𝑛 . Autrement dit : 𝐸 = {𝑢 = (𝑢𝑛 )𝑛≥0 ∈ 𝕂ℕ ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑢𝑛+2 = 𝑎𝑢𝑛+1 + 𝑏𝑢𝑛 }. 1. Vérifier que 𝐸 est un 𝕂-ev. 2. On considère l’application 𝜑 : 𝐸 −→ 𝕂2 . 𝑢 7−→ 𝜑(𝑢) = (𝑢0 , 𝑢1 ) Montrer que 𝜑 est linéaire et bijective. Conclusion concernant la structure de 𝐸 ? Soit 𝐸, un ev de dimension 3, et 𝑓 un endomorphisme de 𝐸 tel que 𝑓 2 ∕= 0 et 𝑓 3 = 0. On dit que 𝑓 est un endomorphisme nilpotent d’ordre 3. Soit ⃗𝑥0 tel que 𝑓 2 (⃗𝑥0 ) ∕= ⃗0. Exercice 8 1. Montrer que (⃗𝑥0 , 𝑓 (⃗𝑥0 ), 𝑓 2 (⃗𝑥0 )) est une base de 𝐸. 2. Montrer que rg(𝑓 ) = 2. 3. Montrer que l’ensemble des endomorphismes de 𝐸 qui commutent avec 𝑓 est un sev de ℒ(𝐸) de base (Id𝐸 , 𝑓, 𝑓 2 ). Indication : on a 𝑔(⃗𝑥0 ) = 𝑎⃗𝑥0 + 𝑏𝑓 (⃗𝑥0 ) + 𝑐𝑓 2 (⃗𝑥0 ). Montrer que, pour tout ⃗𝑥 ∈ 𝐸, on a 𝑔(⃗𝑥) = 𝑎⃗𝑥 + 𝑏𝑓 (⃗𝑥) + 𝑐𝑓 2 (⃗𝑥). 1/3 Exercice 9 Soit n * . Soient a0 ,..., an 1,1 deux à deux distincts entre eux. n X a j On pose pour tout k 0,1,..., n , Lk ( X ) j 0 ak a j 1) Quel est le degré de Lk ? 2) Calculer Lk (ai ) quand k i , puis quand k i . 3) Montrer que la famille Lk 0 k n est une famille libre de l’espace vectoriel n X . Justifier qu’elle en est une base. 4) Soit P n X . Déterminer les coordonnées de P dans cette base de Lagrange. Exercice 10 Soit 𝑓 , un endomorphisme d’un ev 𝐸, avec Dim(𝐸) = 𝑛, 𝑓 𝑛−1 ∕= 0 et 𝑓 𝑛 = 0. 1. Montrer que, si 𝑓 𝑛−1 (⃗𝑎) ∕= ⃗0, alors la famille (⃗𝑎, 𝑓 (⃗𝑎), 𝑓 2 (⃗𝑎), . . . , 𝑓 𝑛−1 (⃗𝑎)) est libre. 2. En déduire que rg(𝑓 ) = 𝑛 − 1. Soit 𝑓 un endomorphisme d’un 𝕂-ev de dimension finie 𝑛 tel que rg(𝑓 )=rg(𝑓 2 ). Exercice 11 Montrer que Ker(𝑓 ) et Im(𝑓 ) sont supplémentaires dans 𝐸. Exercice 12 Soit 𝐸, un espace vectoriel de dimension 𝑛 et 𝑢 ∈ ℒ(𝐸). 1. Montrer qu’on a les équivalences : Ker(𝑢)∩Im(𝑢) = {⃗0} ⇔ Ker(𝑢)+Im(𝑢) = 𝐸 ⇔ Ker(𝑢)⊕Im(𝑢) = 𝐸. 2. Montrer que : Ker(𝑢) = Ker(𝑢2 ) ⇔ Im(𝑢) = Im(𝑢2 ) ⇔ Ker(𝑢) ⊕ Im(𝑢) = 𝐸. 3. Soit 𝑢′ la restriction de 𝑢 à Im(𝑢). Montrer que Ker(𝑢′ ) = Ker(𝑢) ∩ Im(𝑢) et Im(𝑢′ ) = Im(𝑢2 ). En déduire : rg(𝑢) = rg(𝑢2 ) + Dim(Ker(𝑢) ∩ Im(𝑢)). ( Noyaux et images itérés ) Exercice 13 Soit E un K-espace vectoriel (K = R ou C)) ). Soit u un endomorphisme de E, pour tout entier naturel p, on notera Ip = Im up et Kp = Ker up 1. Montrer que : ∀p ∈ N Kp ⊂ Kp+1 et Ip+1 ⊂ Ip 2. On suppose que E est de dimension finie et u injectif. Déterminer ∀p ∈ N Ip et Kp 3. On suppose que E est de dimension finie n non nulle et u non injectif. (a) Montrer qu’il existe un plus petit entier naturel r 6 n tel que Kr = Kr+1 . (b) Montrer qu’alors Ir = Ir+1 et que (c) Montrer que Exercice 14 E = Kr ⊕ Ir ∀p ∈ N Kr = Kr+p et Ir = Ir+p Soit 𝐸, un 𝕂-ev de dimension finie 𝑛 et 𝑓 ∈ 𝐸 ∗ = ℒ(𝐸, 𝕂). Montrer que, pour tout 𝑔 ∈ 𝐸 ∗ , on a l’équivalence : ( Ker(𝑓 ) = Ker(𝑔)) ) ⇔ (∃𝛼 ∈ 𝕂∗ , 𝑔 = 𝛼𝑓 ). 2/3 Exercice 15 Soit (𝑃𝑘 )𝑘≥0 une famille de polynômes de 𝕂[𝑋] telle que, pour tout 𝑘 ∈ ℕ, deg(𝑃𝑘 ) = 𝑘. Montrer que ℱ = {𝑃0 , 𝑃1 , . . . , 𝑃𝑛 } est une base de 𝐸 = 𝕂𝑛 [𝑋]. Application : soit 𝑎, un scalaire fixé dans 𝕂. On définit 𝑄𝑘 = ( 𝑋 + 𝑎)𝑘 + 𝑋 𝑘 . Montrer que 𝒢 = {𝑄0 , 𝑄1 , . . . , 𝑄𝑛 } est une base de 𝐸. En déduire que, pour tout polynôme 𝑃 de 𝐸, il existe un et un seul polynôme 𝑄 de 𝐸 tel que 𝑃 (𝑋) = 𝑄(𝑋 + 𝑎) + 𝑄(𝑋). Exercice 16 Soit 𝑓 et 𝑔 deux endomorphismes d’un espace vectoriel 𝐸 tels que 𝑓 ∘ 𝑔 − 𝑔 ∘ 𝑓 = Id𝐸 . 1. Montrer : ∀𝑛 ≥ 1, 𝑓 ∘ 𝑔 𝑛 − 𝑔 𝑛 ∘ 𝑓 = 𝑛𝑔 𝑛−1 et 𝑓 𝑛 ∘ 𝑔 − 𝑔 ∘ 𝑓 𝑛 = 𝑛𝑓 𝑛−1 . 2. Montrer que, pour tout 𝑛 ≥ 1, les familles (Id𝐸 , 𝑓, 𝑓 2 , . . . , 𝑓 𝑛 ) et (Id𝐸 , 𝑔, 𝑔 2 , . . . , 𝑔 𝑛 ) sont libres. 3. En déduire que 𝐸 ne peut pas être de dimension finie. 4. Exhiber un exemple (examiner 𝐸 = ℝ[𝑋], 𝑓 (𝑃 ) = 𝑃 ′ et 𝑔(𝑃 ) = 𝑋𝑃 ). Fin 3/3