espaces vectoriels en dimension finie

0 1
, , , n a a a …
1.b Calculer ( )
k i
L a pour tout
{ }
0,1 ,i n∈… , i k≠ .
Calculer aussi
( )
k k
L a .
1.c Montrer que la famille
0
( )
k k n
L
≤ ≤
forme une base de
[
]
n
Xℝ .
2. On se donne une fonction réelle
f définie sur
[
]
1,1− , et on pose :
0( )
n
k k
k
P f a L
=
=
∑
Montrer que P(X) est l'unique polynôme coincidant avec f en tous les
1/3
Exercice 1: Dans 𝐸=ℝℝ, les familles suivantes sont-elles libres ?
1. (𝑓, 𝑔, ℎ)avec ∀𝑥∈ℝ:𝑓(𝑥) = sin 𝑥,𝑔(𝑥) = cos 𝑥,ℎ(𝑥)=1.
2. (𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖)avec ∀𝑥∈ℝ:𝑓(𝑥) = sin 𝑥,𝑔(𝑥) = cos 𝑥,ℎ(𝑥) = 𝑥sin 𝑥,𝑖(𝑥) = 𝑥cos 𝑥.
3. (𝑓, 𝑔, ℎ)avec ∀𝑥∈ℝ:𝑓(𝑥) = sin2(𝑥),𝑔(𝑥) = cos2(𝑥),ℎ(𝑥)=1.
4. ℱ= (sin,cos,exp).
Exercice 2 La famille ℱ={𝑄1, 𝑄2, 𝑄3}, où 𝑄1=𝑋2+ 1,𝑄2= 3𝑋2−𝑋+ 3,𝑄3=𝑋2−𝑋+ 1
est-elle une base de 𝐸=ℝ2[𝑋]? Si oui, déterminer les coordonnées sur cette base de 𝑃=𝑋.
Exercice 3 On rappelle que le seul polynôme qui possède une infinité de racines est le polynôme nul.
1. Dans l’espace 𝐸=ℱ([0,𝜋
2],ℝ), on définit les fonctions 𝑓𝑘par : ∀𝑥∈[0,𝜋 2],𝑓𝑘(𝑥) = sin𝑘(𝑥). Pour tout
entier 𝑛∈ℕ, montrer que la famille ℱ= (𝑓0, 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛)est libre.
2. De même, avec 𝑔𝑘(𝑥) = exp(𝑘𝑥), montrer que la famille 𝒢= (𝑔0, 𝑔1, 𝑔2, . . . , 𝑔𝑛)est libre dans l’espace
𝐹=ℝℝ.
Exercice 4
Soit 𝐹et 𝐺, deux sev de ℝ5tels que dim(𝐹) = dim(𝐺) = 3. Montrer que 𝐹∩𝐺∕={⃗ 0}.
Exercice 5
Soit 𝐹et 𝐺, deux sous-espaces vectoriels de 𝐸, espace vectoriel de dimension finie 𝑛.
Montrer que, si dim(𝐹) + dim(𝐺)> 𝑛, alors 𝐹∩𝐺∕={⃗ 0}.
Exercice 6
Soit 𝑎et 𝑏, deux scalaires pris dans le corps 𝕂. On définit 𝐸, l’ensemble des suites 𝑢= (𝑢𝑛)𝑛≥0
à valeurs dans 𝕂et vérifiant la relation de récurrence : ∀𝑛∈ℕ,𝑢𝑛+2 =𝑎𝑢𝑛+1 +𝑏𝑢𝑛. Autrement dit :
𝐸={𝑢= (𝑢𝑛)𝑛≥0∈𝕂ℕ∣ ∀𝑛∈ℕ, 𝑢𝑛+2 =𝑎𝑢𝑛+1 +𝑏𝑢𝑛}.
1. Vérifier que 𝐸est un 𝕂-ev.
Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E .
Montrer l’équivalence :
2
ker Im 0f f f= ⇔ = et 2rg( )n f= .
Exercice 7
2. On considère l’application 𝜑:𝐸−→ 𝕂2
𝑢7−→ 𝜑(𝑢)=(𝑢0, 𝑢1).
Montrer que 𝜑est linéaire et bijective. Conclusion concernant la structure de 𝐸?
espaces vectoriels en dimension finie
Exercice 8 Soit 𝐸, un ev de dimension 3, et 𝑓un endomorphisme de 𝐸tel que 𝑓2∕= 0 et 𝑓3= 0.
On dit que 𝑓est un endomorphisme nilpotent d’ordre 3. Soit ⃗𝑥0tel que 𝑓2(⃗𝑥0)∕=⃗ 0.
1. Montrer que (⃗𝑥0, 𝑓(⃗𝑥0), 𝑓2(⃗𝑥0)) est une base de 𝐸.
2. Montrer que rg(𝑓)=2.
3. Montrer que l’ensemble des endomorphismes de 𝐸qui commutent avec 𝑓est un sev de ℒ(𝐸)de base
(Id𝐸, 𝑓, 𝑓2). Indication : on a 𝑔(⃗𝑥0) = 𝑎⃗𝑥0+𝑏𝑓(⃗𝑥0) + 𝑐𝑓2(⃗𝑥0). Montrer que, pour tout ⃗𝑥 ∈𝐸, on a
𝑔(⃗𝑥) = 𝑎⃗𝑥 +𝑏𝑓(⃗𝑥) + 𝑐𝑓2(⃗𝑥).

Exercice 10 Soit 𝑓, un endomorphisme d’un ev 𝐸, avec Dim(𝐸) = 𝑛,𝑓𝑛−1∕= 0 et 𝑓𝑛= 0.
1. Montrer que, si 𝑓𝑛−1(⃗𝑎)∕=⃗ 0, alors la famille (⃗𝑎, 𝑓(⃗𝑎), 𝑓2(⃗𝑎), . . . , 𝑓𝑛−1(⃗𝑎)) est libre.
2. En déduire que rg(𝑓) = 𝑛−1.
Exercice 11 Soit 𝑓un endomorphisme d’un 𝕂-ev de dimension finie 𝑛tel que rg(𝑓)=rg(𝑓2).
Montrer que Ker(𝑓)et Im(𝑓)sont supplémentaires dans 𝐸.
2/3
Soit Eun K-espace vectoriel (K=Rou C)))).
Soit uun endomorphisme de E, pour tout entier naturel p, on notera
Ip= Im upet Kp= Ker up
1. Montrer que :
∀p∈NKp⊂Kp+1 et Ip+1 ⊂Ip
2. On suppose que Eest de dimension finie et uinjectif.
∀p∈NIpet Kp
3. On suppose que Eest de dimension finie nnon nulle et unon injectif.
(a) Montrer qu’il existe un plus petit entier naturel r6ntel que Kr=Kr+1.
(b) Montrer qu’alors Ir=Ir+1 et que ∀p∈NKr=Kr+pet Ir=Ir+p
(c) Montrer que E=Kr⊕Ir
( Noyaux et images itérés )
D´eterminer
Exercice 9
Soit
n
P X . Déterminer les coordonnées de P dans cette base de Lagrange.
Soit * n. Soient
0,..., 1,1 n
a a   deux à deux distincts entre eux.
On pose pour tout
0
0,1,..., , ( ) n
j
kjk j
X a
k n L X a a
1) Quel est le degré de k
L ?
2) Calculer ( )
k i
L a quand k i, puis quand k i.
3) Montrer que la famille
0
kk n
L  est une famille libre de l’espace vectoriel
n
X
.
Justifier qu’elle en est une base.
4)
Exercice 14 Soit 𝐸, un 𝕂-ev de dimension finie 𝑛et 𝑓∈𝐸∗=ℒ(𝐸, 𝕂).
Montrer que, pour tout 𝑔∈𝐸∗, on a l’équivalence : ( Ker(𝑓) = Ker(𝑔)) )⇔(∃𝛼∈𝕂∗,𝑔=𝛼𝑓).
Exercice 13
2. Montrer que : Ker(𝑢) = Ker(𝑢2)⇔Im(𝑢) = Im(𝑢2)⇔Ker(𝑢)⊕Im(𝑢) = 𝐸.
Exercice 12 Soit 𝐸, un espace vectoriel de dimension 𝑛et 𝑢∈ ℒ(𝐸).
1. Montrer qu’on a les équivalences : Ker(𝑢)∩Im(𝑢) = {⃗ 0} ⇔ Ker(𝑢)+Im(𝑢) = 𝐸⇔Ker(𝑢)⊕Im(𝑢) = 𝐸.
3. Soit 𝑢′la restriction de 𝑢à Im(𝑢). Montrer que Ker(𝑢′) = Ker(𝑢)∩Im(𝑢)et Im(𝑢′) = Im(𝑢2).
En déduire : rg(𝑢) = rg(𝑢2) + Dim(Ker(𝑢)∩Im(𝑢)).

Exercice 15 Soit (𝑃𝑘)𝑘≥0une famille de polynômes de 𝕂[𝑋]telle que, pour tout 𝑘∈ℕ, deg(𝑃𝑘) = 𝑘.
Montrer que ℱ={𝑃0, 𝑃1, . . . , 𝑃𝑛}est une base de 𝐸=𝕂𝑛[𝑋].
Application : soit 𝑎, un scalaire fixé dans 𝕂. On définit 𝑄𝑘= ( 𝑋+𝑎)𝑘+𝑋𝑘.
Montrer que 𝒢={𝑄0, 𝑄1, . . . , 𝑄𝑛}est une base de 𝐸. En déduire que, pour tout polynôme 𝑃de 𝐸, il existe
un et un seul polynôme 𝑄de 𝐸tel que 𝑃(𝑋) = 𝑄(𝑋+𝑎) + 𝑄(𝑋).
Exercice 16 Soit 𝑓et 𝑔deux endomorphismes d’un espace vectoriel 𝐸tels que 𝑓∘𝑔−𝑔∘𝑓=Id𝐸.
1. Montrer : ∀𝑛≥1,𝑓∘𝑔𝑛−𝑔𝑛∘𝑓=𝑛𝑔𝑛−1et 𝑓𝑛∘𝑔−𝑔∘𝑓𝑛=𝑛𝑓𝑛−1.
2. Montrer que, pour tout 𝑛≥1, les familles (Id𝐸, 𝑓, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛)et (Id𝐸, 𝑔, 𝑔2, . . . , 𝑔𝑛)sont libres.
3. En déduire que 𝐸ne peut pas être de dimension finie.
4. Exhiber un exemple (examiner 𝐸=ℝ[𝑋],𝑓(𝑃) = 𝑃′et 𝑔(𝑃) = 𝑋𝑃 ).
Fin
3/3