Cours de mathématiques de première S

Chapitre
3
Dérivation des fonctions
3.1 Généralités
3.1.1 Limite en 0
Définition 3.1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant 0 et L ∈ R.
On dit que f (x) tend vers L quand x tend vers 0 (ou que L est la limite de f (x) quand x tend vers
0) si on peut rendre f (x) aussi proche de L que l’on veut pour x suffisamment proche de 0. On
note : lim f (x) = L
x→0
Exemple
Exemple
lim x 2 = 0
x→0
lim x + 1 = 1
x→0
Déterminer la limite en 0 de
lim
x→0
p
x + x − 2 = −2...
x 2 − 2x
.
3x
x 2 − 2x
2
x 2 − 2x x − 2
=
donc lim
=− .
Pour tout x 6= 0,
x→0
3x
3
3x
3
3.1.2 Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Soit a ∈ I et h 6= 0 tel que a+h ∈ I .
f (a + h) − f (a)
On appelle taux de variation de f entre a et a + h le réel
.
h
On dit que f est dérivable en a si, lorsque h tend vers 0, le taux de variation de f entre a et a + h
f (a + h) − f (a)
tend vers un réel L autrement dit si lim
= L.
h→0
h
Ce réel L est appelé nombre dérivé de f en a et se note f 0 (a).
Définition 3.2
Exemple
Démontrer que la fonction f : x 7−→ x 2 est dérivable en 2 et calculer f 0 (2).
p
Démontrer que la fonction g : x 7−→ x n’est pas dérivable en 0.
f (2 + h) − f (2) (2 + h)2 − 4 h 2 + 4h
=
=
= h +4
h
h
h
f (2 + h) − f (2)
Ainsi lim
= 4.
h→0
h
f est donc dérivable en 2 et f 0 (2) =
p4.
h
g (0 + h) − g (0)
1
– Pour tout h 6= 0,
=
=p .
h
h
h
1
Or, p n’a pas de limite finie lorsque h tend vers 0 donc g n’est pas dérivable en 0.
h
– Pour tout h 6= 0,
Première S4 – 2016/2017
15
D ÉRIVATION DES FONCTIONS
C OURS
3.1.3 Interprétation graphique
Théorème 3.1
Soit f une fonction définie sur I et C f sa représentation graphique dans un repère. Soit a ∈ I .
Si f est dérivable en a alors f 0 (a) est le coefficient directeur de la tangente à C f au point
A(a; f (a)). L’équation de cette tangente est alors : y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
f (a + h)
Illustration : Soit A(a; f (a)) ∈ C f .
Soit h 6= 0 et M (a + h; f (a + h)) ∈ C f .
f (a + h) − f (a)
représente le coefficient
Le quotient
h
directeur de la droite (AM ). Lorsque h tend vers 0,
M se rapproche de A et la droite (AM ) tend à se
confondre avec la tangente à C f en A.
f (a)
a
a +h
D ÉMONSTRATION
Soit T la tangente à la courbe au point A. Son coefficient directeur est f 0 (a) donc l’équation réduite
de T est de la forme y = f 0 (a)x + b.
A ∈ T donc f (a) = f 0 (a)a + b donc b = f (a) − a f 0 (a).
L’équation de T est donc y = f 0 (a)x + f (a) − a f 0 (a) soit y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
3.2 Calculs de dérivées
3.2.1 Fonction dérivée
Définition 3.3 Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
– Si, pour tout x de I , f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I .
– La fonction définie sur I par x 7−→ f 0 (x) est appelée fonction dérivée de f . Cette fonction est
notée f 0 .
3.2.2 Dérivées usuelles
Fonctions constantes
Théorème 3.2
Si f est la fonction définie sur R par :
alors f est dérivable sur R et pour tout réel x :
f (x) = k
f 0 (x) = 0.
D ÉMONSTRATION
Pour tout réel a et h 6= 0,
f (a + h) − f (a) k − k
=
=0
h
h
f est donc dérivable en a et f 0 (a) = 0.
16
Première S4 – 2016/2017
C OURS
D ÉRIVATION DES FONCTIONS
Fonctions affines
Théorème 3.3
Si f est la fonction définie sur R par :
alors f est dérivable sur R et pour tout réel x :
f (x) = mx + p
f 0 (x) = m.
D ÉMONSTRATION
Pour tout réel a et h 6= 0,
f (a + h) − f (a) m(a + h) + p − ma − p mh
=
=
=m
h
h
h
f est donc dérivable en a et f 0 (a) = m
Fonction carré
Théorème 3.4
Si f est la fonction définie sur R par :
alors f est dérivable sur R et pour tout réel x :
f (x) = x 2
f 0 (x) = 2x.
D ÉMONSTRATION
Pour tout réel a et h 6= 0,
f (a + h) − f (a) (a + h)2 − a 2 2ah + h 2
=
=
= 2a + h
h
h
h
De plus, 2a + h tend vers 2a lorsque h tend vers 0. f est donc dérivable en a et f 0 (a) = 2a.
Fonctions puissances
Théorème 3.5
Soit n un entier tel que n Ê 1.
Si f est la fonction définie sur R par :
alors f est dérivable sur R et pour tout réel x :
f (x) = x n
f 0 (x) = nx n−1 .
Résultat admis.
Fonction inverse
Théorème 3.6
Si f est la fonction définie sur ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ par :
alors f est dérivable sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ et pour tout x 6= 0 :
Première S4 – 2016/2017
1
x
1
0
f (x) = − 2
x
f (x) =
17
D ÉRIVATION DES FONCTIONS
C OURS
D ÉMONSTRATION
Pour tout réel a 6= 0 et h 6= 0,
1
1
−
f (a + h) − f (a) a + h a a − (a + h)
−1
=
=
=
h
h
ha(a + h) a(a + h)
1
−1
tend vers − 2 lorsque h tend vers 0.
a(a + h)
a
1
f est donc dérivable en a et f 0 (a) = − 2
a
Or
Fonction racine carrée
Théorème 3.7
Si f est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :
alors f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et pour tout réel x > 0 :
p
x
1
f 0 (x) = p .
2 x
f (x) =
D ÉMONSTRATION
Pour tout réel a > 0 et h 6= 0 tel que a + h > 0,
f (a + h) − f (a)
=
h
p
p
p
p p
p
a + h − a ( a + h − a)( a + h + a)
=
p
p
h
h( a + h + a)
=
a +h −a
1
p
p =p
p
h( a + h + a)
a +h + a
1
p tend vers p
2 a
a +h + a
1
f est donc dérivable en a et f 0 (a) = p
2 a
Or, lorsque h tend vers 0, p
1
3.2.3 Opérations sur les fonctions et dérivées
u et v désignent deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel.
Théorème 3.8
La fonction u + v est dérivable sur I et
La fonction ku est dérivable sur I et
(u + v)0 = u 0 + v 0 .
(ku)0 = ku 0 .
D ÉMONSTRATION
Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I :
(u + v)(a + h) − (u + v)(a) u(a + h) + v(a + h) − u(a) − v(a)
=
h
h
u(a + h) − u(a) v(a + h) − v(a)
=
+
h
h
dont la limite est u 0 (a) + v 0 (a) lorsque h tend vers 0.
18
Première S4 – 2016/2017
C OURS
D ÉRIVATION DES FONCTIONS
(ku)(a + h) − (ku)(a) ku(a + h) − ku(a)
u(a + h) − u(a)
=
=k
h
h
h
dont la limite est ku 0 (a) lorsque h tend vers 0.
Exemple
Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = 3x 2 +
p
1
−5 x +2
3x
f est dérivable sur ]0 ; +∞[ car elle est la somme
µ de¶ fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[
1
1
1
et, pour tout x ∈ ]0 ; +∞[, f 0 (x) = 3 × 2x + × − 2 − 5 × p ainsi :
3
x
2 x
f 0 (x) = 6x −
Théorème 3.9
La fonction uv est dérivable sur I et
La fonction u 2 est dérivable sur I et
5
1
− p
2
3x
2 x
(uv)0 = u 0 v + uv 0 .
(u 2 )0 = 2uu 0 .
D ÉMONSTRATION
Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I :
(uv)(a + h) − (uv)(a) u(a + h)v(a + h) − u(a)v(a + h) + u(a)v(a + h) − u(a)v(a)
=
h
h
u(a + h) − u(a)
v(a + h) − v(a)
=
×v(a + h) +
×u(a)
h
h
|
{z
}
|
{z
}
tend vers u 0 (a)
tend vers v 0 (a)
dont la limite est u 0 (a)v(a) + v 0 (a)u(a) lorsque h tend vers 0.
Ainsi uv est dérivable et (uv)0 = u 0 v + uv 0 .
Exemple
Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par f (x) = (x 2 + 1)(x 5 + 2)
f (x) = u(x)v(x) avec u(x) = x 2 + 1 et v(x) = x 5 + 2.
f est donc dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et
f 0 (x) = 2x(x 5 + 2) + 5x 4 (x 2 + 1)
Théorème 3.10
Si v ne s’annule pas sur I
1
La fonction est dérivable sur I et
v
u
La fonction est dérivable sur I et
v
Première S4 – 2016/2017
µ ¶0
1
v0
=− 2
v
v
³ u ´0 u 0 v − uv 0
=
v
v2
19
D ÉRIVATION DES FONCTIONS
C OURS
D ÉMONSTRATION
Pour tout a ∈ I et h 6= 0 tel que a + h ∈ I :
1
1
−
v(a + h) − v(a)
1
v(a + h) v(a) v(a) − v(a + h)
=
=−
×
h
hv(a + h)v(a)
h
v(a)v(a + h)
1
lorsque h tend vers 0.
dont la limite est −v 0 (a) ×
2
µ (v(a))
¶0
1
1
v0
Ainsi est dérivable et
=− 2
v
v
v
De plus
¶
µ
¶
³ u ´0 µ
1
1 0
v0
u 0 v − uv 0
0
= u × +u × − 2 =
= u×
v
v
v
v
v2
Exemple
Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur ]2 ; +∞[ par f (x) =
R par g (x) =
3x + 5
2x 2 + 1
3
et de la fonction g définie sur
2x − 4
1
avec k = 3 et u(x) = 2x − 4.
u(x)
µ
¶
2
−6
f est donc dérivable sur ]2 ; +∞[ et f (x) = 3 × −
=
.
2
(2x − 4)
(2x − 4)2
u(x)
avec u(x) = 3x + 5 et v(x) = 2x 2 + 1.
Pour tout réel x, g (x) =
v(x)
g est donc dérivable sur R et
Pour tout x ∈ ]2 ; +∞[, f (x) = k ×
g (x) =
3(2x 2 + 1) − 4x(3x + 5) −6x 2 − 20x + 3
=
(2x 2 + 1)2
(2x 2 + 1)2
3.2.4 En résumé
Si f (x) =
alors f 0 (x) =
Domaine de validité
Si f =
alors f 0 =
Domaine de validité
k
0
R
u+v
u0 + v 0
I
ax + b
a
R
ku
ku 0
I
x2
2x
R
uv
u 0 v + uv 0
I
1
v
u
v
v0
v2
0
u v − uv 0
v2
1
x
20
−
1
x2
R∗
xn
nx n−1
R, n ∈ N∗
p
1
p
R+∗
x
2 x
−
{x ∈ I ,v(x) 6= 0}
{x ∈ I ,v(x) 6= 0}
Première S4 – 2016/2017
C OURS
D ÉRIVATION DES FONCTIONS
3.3 Applications de la dérivation
3.3.1 Dérivée et variations
Théorème 3.11
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
– f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I , f 0 (x) Ê 0.
– f est constante sur I si et seulement si pour tout x de I , f 0 (x) = 0.
– f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I , f 0 (x) É 0.
Propriété admise.
Remarque :
On utilise souvent les résultats suivants :
– Si, pour tout x de I , f 0 (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I .
– Si, pour tout x de I , f 0 (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I .
Exemple
Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f (x) = x 3 + 2x.
f est dérivable sur R et pour tout x ∈ R, f 0 (x) = 3x 2 + 2 > 0.
La fonction f est donc strictement croissante sur R.
3.3.2 Extremum local
Théorème 3.12
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 ∈ I .
On dit que f (x 0 ) est un maximum local (respectivement minimum local) de f si l’on peut trouver un intervalle ouvert J inclus dans I et contenant x 0 tel que pour tout x ∈ J , f (x) É f (x 0 )
(respectivement f (x) Ê f (x 0 )).
Exemple
Une fonction est représentée ci-contre.
Son minimum est −2
Son maximum est 2.
−1 et −2 sont des minimums locaux
1 et 2 sont des maximums locaux.
Théorème 3.13
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 ∈ I .
Si f (x 0 ) est un extremum local de f alors f 0 (x 0 ) = 0.
Remarque :
La réciproque de cette propriété est fausse.
Théorème 3.14
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 ∈ I .
Si f 0 s’annule en changeant de signe en x 0 alors f (x 0 ) est un extremum local de f .
Première S4 – 2016/2017
21