DERIVEES I) Nombre dérivé d`une fonction en a II) Fonction

DERIVEES
I) Nombre dérivé d’une fonction en a
Cf
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a un nombre réel de I et
C f la courbe représentative de la fonction f.
Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a et admet pour
f(a + h) − f(a )
nombre dérivé le réel m, si le rapport
tend vers m
h
quand h tend vers 0.
Le nombre dérivé m de f en a est noté f ’(a).
f(a + h) − f(a )
On pourra écrire lim
= f ′ (a ) .
h →0
h
f(a+h)
T
O
M
a
f( a + h) − f( a)
est
h
f(a)
A
Remarque : Lorsque h tend vers 0, le point M de C f tend vers A et la
sécante tend vers une position limite : cette position limite de la
sécante, lorsqu’elle existe, est la tangente T.
a+h
h
T d’équation
y = f’(a) x + …
le coefficient
directeur de la
sécante (AM)
Définition : La tangente à la courbe C f au point A d’abscisse a est la droite passant par A et de coefficient directeur
f ’(a), nombre dérivé de f en a:
Son équation est : y = f ′(a )( x − a ) + f( a ) .
Théorème : La tangente en A est la représentation graphique d’une fonction affine g.
On admet que la fonction g est la meilleure approximation affine de f en a.
Autrement dit, pour x proche de a, f( x ) ; f ′( a )( x − a ) + f(a ) .
II) Fonction dérivée.
1) Définition : Lorsque, pour tout a de I, la fonction f est dérivable en a, on dit qu’elle est dérivable sur I.
La fonction qui, à chaque réel x de I, associe le nombre dérivé f ’(x) est appelée fonction dérivée de f sur I et est notée
f′.
2) Théorème : Dérivées des fonctions usuelles
Type de fonction
Fonction
dérivable sur
Fonction dérivée
constante
xak
R
xa0
identité
xa x
R
x a1
affine
x a ax + b
R
xaa
puissance
x a xn , n ≥ 1
R
x a n x n −1
R*
xa−
1
x2
xa
1
inverse
racine carrée
xa
1
x
xa x
]0 ; +∞[
2 x
Dérivées 1/2
3) Théorèmes usuels : règles de dérivation de la somme, d'un produit, d'un quotient... de 2 fonctions.
SI
ALORS
ET
la fonction u + v est dérivable sur I
(u + v )′ = u ′ + v ′
u et v sont deux
fonctions dérivables
la fonction uv est dérivable sur I
(uv) ′ = u ′v + uv ′
sur I, de fonctions
dérivées respectives
la fonction ku, où k ∈ R est dérivable sur I
(k u ) ′ = k u ′
u’ et v’
la fonction u2 est dérivable sur I
(u 2 )′ = 2u u ′
la fonction u n est dérivable sur I, n ≥ 1
(u n )′ = n u n −1u ′
1
est dérivable sur I
v
u
la fonction
est dérivable sur I
v
1
v′
( )′ = − 2
v
v
u
u ′v − uv ′
( )′ =
v
v2
la fonction
et si, de plus
v ne s annule pas sur I
III) Application de la fonction dérivée f ’ : sens de variation de f.
1) Variations :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ′ sa dérivée.
Théorème :
Si f est croissante sur I,
alors f ’ ? 0 .
Si f est décroissante sur I,
alors f ’ ; 0 .
Si f est constante sur I,
alors f ’ = 0 .
Théorème :
Si f ′ est positive sur I, alors f est
croissante sur I.
Si f ′ est négative sur I, alors f est
décroissante sur I.
Si f ′ est nulle sur I, alors f est
constante sur I.
Méthode : Le signe de la fonction dérivée f ′ donne donc le sens de variation de la fonction f.
2) Extremum(s) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R et x0 un réel de I.
Cf
Théorème : Si f admet un extremum local en x0, alors f ’(x0) = 0.
Remarque : La réciproque de ce théorème est fausse ; chercher des contreexemples.
x0
O
f ’(x0) = 0
Théorème : Si la dérivée f ′ s'annule en x0 en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum local de f sur I.
x
Signe de
f ′ '( x )
x0
0
Variation de
f
Dans le cas ci-contre, d’après le Principe de Lagrange :
• f ’ négative avant x0, donne f décroissante avant x0 ;
• f ’ positive après x0, donne f croissante après x0 .
Alors f possède un minimum local f(x0) en x0.
f(x 0)
Dérivées 2/2