Nombres complexes, trigonométrie

Fiche de cours Nombres complexes, trigonométrie
MODULE
▷PROPRIÉTÉS(Propriétés liées au module) :
Û|z|=|¯ z|,|z1z2|=|z1|.|z2|et 
z1
z2=|z1|
|z2|si z2̸=0.
Û|Re(z)|É|z|avec égalité ssi zest réel.
Û|Im(z)|É|z|avec égalité ssi zest imaginaire pur.
ÛInégalité triangulaire :|z1+z2|É|z1|+|z2|
ÛSeconde inégalité triangulaire :||z1|−|z2||É|z1±z2|.
ÛCas d’égalité |z1+z2|=|z1|+|z2|ssi il existe λ∈R+tel que
z1=λz2ou z2=λz1.
Ûgénéralisation :|z1+...+zn|=|z1|+...+|zn|ssi il existe z∈C
et λ1,...,λn∈R+tels que zi=λizpour tout i.
ARGUMENT
▷DÉFINITION(Complexes unitaires) : on note Ul’ensemble des
complexes de module 1. Cet ensemble est un sous-groupe mul-
tiplicatif de C. On note eiθ=cosθ+isinθpour θ∈R.
▷PROPOSITION(Propriété principale) : l’application
(R,+)→(U,×)
θ7→eiθ
est un morphisme de groupes, surjectif et dont le noyau est
l’ensemble des multiples entiers de 2π. Cela signifie que :
Ûsi |z|=1, alors il existe θ∈R,z=eiθ,
Ûon a eiθ=eiθ′ssi il existe k∈Z,θ′−θ=2kπ,
Ûon a ei(θ+θ′)=eiθeiθ′et 1
eiθ=e−iθ=eiθ.
▷DÉFINITION(Argument) : on appelle argument d’une nombre
complexe non nul z, tout réel θtel que eiθ=z
|z|. On note alors
argz=θ[2π].
▷PROPRIÉTÉS(Propriétés de l’argument) : si z,z′sont non nuls
Ûarg(zz′)=argz+arg z′[2π],
Ûarg(1/z)=−argz[2π].
les arguments sont définis modulo 2π. On fera par
exemple attention de ne pas écrire argzz′=arg z+argz′.
argument
RACINES nIÈMES
▷PROPOSITION(Racines d’un complexe) : soit a∈Cet n∈N∗.
On appelle racine n-ième de atout complexe ztel que zn=a.
Si une forme trigonométrique de a̸= 0 est a=ρeiθ, alors les
racines n-ièmes de asont les nnombres complexes 2 à 2 dis-
tincts
zk=n
pρeiθ+2kπ
noù k∈J0;n−1K.
▷PROPOSITION(Racines de l’unité) : On appelle racine n-ième
de l’unité, tout complexe ztel que zn=1. Il y en a exactement n.
On appelle alors Unl’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.
On a Un⊂Uet
Un={e2ikπ
n,k∈Z}={e2ikπ n,k∈J0;n−1K}.
▷PROPRIÉTÉS(Racines de l’unité) :
ÛSi on note ω=e2iπ/n, alors Un={1,ω,ω2,···,ωn−1}.
ÛDans la proposition précédente, on peut remplacer
J0;n−1Kpar n’importe quelle suite de nentiers consécu-
tifs.
ÛLa somme des racines n-ièmes de l’unité vaut 0.
ÛSi z0est une racine n-ième d’un nombre complexe anon
nul, alors on obtient toutes les racines n-ièmes de aen mul-
tipliant z0par les nracines n-ièmes de l’unité.
INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE
On munit le plan euclidien d’un repère orthonormé (O,⃗ ı,⃗ ȷ). À
tout nombre complexe z=a+i b, associe le point Mde co-
ordonnées (a,b) (zest l’affixe de M). Cela permet d’identifier
l’ensemble des complexes au plan euclidien. De même on peut
associer le vecteur de coordonnées (a,b) au complexe z=a+i b
(on dira que zest l’affixe du vecteur).
▷PROPOSITION(Complexes et géométrie) : Soit A,Bet Mdes
points d’affixe respective a,bet z, alors
Û|b−a|= AB et 
z−a
z−b=AM
BM (zdifférent de b),
Ûarga=(
⃗
ı,−−→ OA) [2π] (anon nul),
Ûargz−a
z−b=(−−→
BM,−−→ AM ) [2π] (zdifférent de aet b).
TRIGONOMÉTRIE
Formules à connaître sans hésitation :
cos(a+b)=cos acosb−sin asinb
cos(a−b)=cos acosb+sin asinb
sin(a+b)=sin acosb+sinbcos a
sin(a−b)=sin acosb−sinbcos a
cos2a=2cos2a−1 sin2a=2sinacosa
=1−2sin2a
cos2a=1+cos2a
2sin2a=1−cos2a 2
sinθ=2t
1+t2
cosθ=1−t2
1+t2avec t=tan θ
2
tanθ=2t
1−t2
tan(a+b)=tan a+tanb
1−tanatanb
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Fiche de cours Nombres complexes, trigonométrie
EXEMPLES DE CE QU’IL FAUT SAVOIR FAIRE
ÛTransformations très importantes à connaître :
1+eiθ=eiθ/2 e−iθ/2 +eiθ/2=2cos(θ/2)eiθ/2
1−eiθ=eiθ/2 e−iθ/2 −eiθ/2=−2isin(θ/2)eiθ/2
ei a +eib =eia+b
2eia−b 2+eib−a 2=2cos a−b
2eia+b
2.
ÛLinéariser des produits simples
exemple : on veut linéariser sinasinb. On voit que ce terme
apparaît dans cos(a+b). On écrit alors
cos(a+b)=cos acosb−sin asinb
cos(a−b)=cos acosb+sin asinb
cos(a−b)−cos(a+b)=2sinasinb
ce qui donne sinasinb=1
2(cos(a−b)−cos(a+b)).
remarque : on peut également utiliser les formules d’Euler.
ÛLinéariser des puissances à l’aide des formules d’Euler :
cosθ=eiθ+e−iθ
2et sinθ=eiθ−e−iθ 2i.
exemple : linéariser l’expression cos3θ:
cos3θ=eiθ+e−iθ
23
=(eiθ)3+3(eiθ)2e−iθ+3eiθ(e−iθ)2+(e−iθ)3
8
=e3iθ+3eiθ+3e−iθ+e−3iθ
8
=cos3θ+3cosθ
4
ÛAdditionner des sinus ou cosinus
exemple : on veut additionner cosp+cosq. On utilise
ei p +ei q =eip+q
2eip−q 2+eiq−p 2=2cos p−q
2eip+q
2,
puis on prend la partie réelle, ce qui donne :
cosp+cos q=2cos p+q
2cos p−q 2.
On peut également utiliser cos(a+b) et cos(a−b) avec p=
a+bet q=a−b, ce qui revient à a=p+q
2et b=p−q 2.
ÛDévelopper en puissances de sinus ou cosinus
exemple : exprimer sin3θen fonction de sinθ. Puisque
sin3θ=Im(e3iθ),
e3iθ=(eiθ)3=(cosθ+isinθ)3
=cos3θ+3isinθcos2θ−3cosθsin2θ−isin3θ
=cos3θ−3cosθ(1−cos2θ)
+i(3sinθcos2θ−sin3θ)
et cos3θ=4cos3θ−3cosθet sin3θ=3sinθ−4sin3θ.
ÛTransformer des combinaisons linéaires sous la forme
acosx+bsin x:
on a acos x+bsin x=Re((cosx+isinx)(a−i b)). Avec R=
|a−ib| = pa2+b2et a−ib =Re−iφ, cela donne acos x+
bsinx=ReRei(x−φ)=Rcos(x−φ). En pratique
acosx+bsin x
=a2+b2a
a2+b2cosx+b a2+b2sinx.
Puisque
a
a2+b22
+b
a2+b22
=1,
il existe φ∈Rtel que 
a
a2+b2=cosφ
b
a2+b2=sinφ. On termine
alors grâce à la formule cos(x−φ).
ÛDéterminer des sommes de sinus ou cosinus : soit θ∈R.
On note, pour n∈N,
Cn=
n
k=0
coskθet Sn=
n
k=0
sinkθ.
On a
Cn+iSn=
n
k=0
eikθ=
n
k=0eiθk.
Si eiθ̸=1, alors on obtient
Cn+iSn=1−ei(n+1)θ
1−eiθ=ei(n+1)θ/2 eiθ/2 −2isin((n+1)θ/2)
−2isin(θ/2) ,
ce qui donne, après simplifications,
Cn=
cos nθ
2sin (n+1)θ 2
sin θ
2
et Sn=
sin nθ
2sin (n+1)θ 2
sin θ
2
.
Les valeurs ne sont pas à connaître mais la méthode doit
être entièrement maitrisée.
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