Nombres complexes, trigonométrie Fiche de cours On appelle alors Un l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité. On a Un ⊂ U et M ODULE ▷P ROPRIÉTÉS(Propriétés liées au module) : ¯ ¯ ¯ ¯ |z 1 | Û |z| = |z̄|, |z 1 z 2 | = |z 1 |.|z 2 | et ¯ zz 12 ¯ = |z si z 2 ̸= 0. 2| Û |Re(z)| É |z| avec égalité ssi z est réel. Û |Im(z)| É |z| avec égalité ssi z est imaginaire pur. Û Inégalité triangulaire : |z 1 + z 2 | É |z 1 | + |z 2 | Û Seconde inégalité triangulaire :||z 1 | − |z 2 || É |z 1 ± z 2 |. Û Cas d’égalité |z 1 + z 2 | = |z 1 | + |z 2 | ssi il existe λ ∈ R+ tel que z 1 = λz 2 ou z 2 = λz 1 . Û généralisation : |z 1 +. . .+z n | = |z 1 |+. . .+|z n | ssi il existe z ∈ C et λ1 , . . . , λn ∈ R+ tels que z i = λi z pour tout i . Un = {e 2i kπ n , k ∈ Z} = {e 2i kπ n , k ∈ J0 ; n − 1K}. ▷P ROPRIÉTÉS(Racines de l’unité) : Û Si on note ω = e 2i π/n , alors Un = {1, ω, ω2 , · · · , ωn−1 }. Û Dans la proposition précédente, on peut remplacer J0 ; n − 1K par n’importe quelle suite de n entiers consécutifs. Û La somme des racines n-ièmes de l’unité vaut 0. Û Si z 0 est une racine n-ième d’un nombre complexe a non nul, alors on obtient toutes les racines n-ièmes de a en multipliant z 0 par les n racines n-ièmes de l’unité. A RGUMENT I NTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE ▷D ÉFINITION(Complexes unitaires) : on note U l’ensemble des complexes de module 1. Cet ensemble est un sous-groupe multiplicatif de C. On note e i θ = cos θ + i sin θ pour θ ∈ R. On munit le plan euclidien d’un repère orthonormé (O,⃗ı,⃗ȷ). À tout nombre complexe z = a + i b, associe le point M de coordonnées (a, b) (z est l’affixe de M ). Cela permet d’identifier l’ensemble des complexes au plan euclidien. De même on peut associer le vecteur de coordonnées (a, b) au complexe z = a+i b (on dira que z est l’affixe du vecteur). ▷P ROPOSITION(Propriété principale) : l’application { (R, +) θ → (U, ×) 7→ e i θ ▷P ROPOSITION(Complexes et géométrie) : Soit A, B et M des points d’affixe respective a, b et z, alors ¯ ¯ ¯ ¯ AM Û |b − a| = AB et ¯ z − a ¯ = B (z différent de b), M z −b −−→ Û arg (a = (⃗ı, O [2π] (a non nul), ) A)− −→ −−→ z − a Û arg = (B M , AM ) [2π] (z différent de a et b). z −b est un morphisme de groupes, surjectif et dont le noyau est l’ensemble des multiples entiers de 2π. Cela signifie que : Û si |z| = 1, alors il existe θ ∈ R, z = e i θ , ′ Û on a e i θ = e i θ ssi il existe k ∈ Z, θ ′ − θ = 2kπ, ′ ′ Û on a e i (θ+θ ) = e i θ e i θ et e1i θ = e −i θ = e i θ . ▷D ÉFINITION(Argument) : on appelle argument d’une nombre complexe non nul z, tout réel θ tel que e i θ = z . On note alors |z| arg z = θ [2π]. T RIGONOMÉTRIE Formules à connaître sans hésitation : ▷P ROPRIÉTÉS(Propriétés de l’argument) : si z, z ′ sont non nuls Û arg(zz ′ ) = arg z + arg z ′ [2π], Û arg(1/z) = − arg z[2π]. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b argument sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a les arguments sont définis modulo 2π. On fera par exemple attention de ne pas écrire arg zz ′ = arg z + arg z ′ . sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos 2a = 2 cos2 a − 1 = R ACINES n IÈMES ▷P ROPOSITION(Racines d’un complexe) : soit a ∈ C et n ∈ N∗ . On appelle racine n-ième de a tout complexe z tel que z n = a. Si une forme trigonométrique de a ̸= 0 est a = ρe i θ , alors les racines n-ièmes de a sont les n nombres complexes 2 à 2 distincts θ+2kπ p z k = n ρ e i n où k ∈ J0 ; n − 1K. 2 cos a = sin θ = cos θ = tan θ = tan(a + b) = sin 2a = 2 sin a cos a sin2 a = 1 − cos 2a 2 avec t = tan θ 2 2 1 − 2 sin a 1 + cos 2a 2 2t 1+ t2 1− t2 1+ t2 2t 1− t2 tan a + tan b 1 − tan a tan b ▷P ROPOSITION(Racines de l’unité) : On appelle racine n-ième de l’unité, tout complexe z tel que z n = 1. Il y en a exactement n. 1 Année 2016/2017 Nombres complexes, trigonométrie Fiche de cours Û Transformer des combinaisons linéaires sous la forme E XEMPLES DE CE QU ’ IL FAUT SAVOIR FAIRE a cos x + b sin x : on a a cos p x + b sin x = Re ((cos x + i sin x)(a − i b)). Avec R = −i φ |a − i b| = (a 2 + b 2 et , cela donne a cos x + ) a − i b = Re i (x−φ) b sin x = Re Re = R cos(x − φ). En pratique Û Transformations très importantes à connaître : ( ) 1 + e i θ = e i θ/2 e −i θ/2 + e i θ/2 = 2 cos(θ/2)e i θ/2 ( ) 1 − e i θ = e i θ/2 e −i θ/2 − e i θ/2 = −2i sin(θ/2)e i θ/2 ei a + eib = ei a+b 2 a cos x + b sin x ( ) √ a b 2 2 = a +b √ cos x + √ sin x . a2 + b2 a2 + b2 ( a−b ) b−a a − b i a+b e i 2 + e i 2 = 2 cos e 2 . 2 Puisque Û Linéariser des produits simples = = = cos a cos b − sin a sin b cos a cos b + sin a sin b 2 sin a sin b ce qui donne sin a sin b = 1 2 (cos(a − b) − cos(a + b)). remarque : on peut également utiliser les formules d’Euler. cos θ = e +e 2 −i θ et sin θ = e iθ −e 2i Cn = −i θ = n ∑ cos kθ et S n = . On a Cn + i Sn = n ∑ k=0 Si e (e i θ )3 + 3(e i θ )2 e −i θ + 3e i θ (e −i θ )2 + (e −i θ )3 8 e 3i θ + 3e i θ + 3e −i θ + e −3i θ 8 cos 3θ + 3 cos θ 4 iθ n ∑ sin kθ. k=0 k=0 exemple : linéariser l’expression cos θ : )3 ( e i θ + e −i θ 3 cos θ = 2 = )2 b On note, pour n ∈ N, 3 = ( Û Déterminer des sommes de sinus ou cosinus : soit θ ∈ R. Û Linéariser des puissances à l’aide des formules d’Euler : iθ )2 a + √ = 1, a2 + b2 a2 + b2 a = cos φ √ 2 a + b2 il existe φ ∈ R tel que . On termine b = sin φ √ a2 + b2 alors grâce à la formule cos(x − φ). √ exemple : on veut linéariser sin a sin b. On voit que ce terme apparaît dans cos(a + b). On écrit alors cos(a + b) cos(a − b) cos(a − b) − cos(a + b) ( e i kθ = )k n ( ∑ eiθ . k=0 ̸= 1, alors on obtient Cn + i Sn = 1 − e i (n+1)θ 1 − eiθ = ( ) e i (n+1)θ/2 −2i sin((n + 1)θ/2) , −2i sin(θ/2) e i θ/2 ce qui donne, après simplifications, cos Cn = Û Additionner des sinus ou cosinus (n + 1)θ (n + 1)θ nθ nθ sin sin sin 2 2 2 2 et S n = . θ θ sin sin 2 2 Les valeurs ne sont pas à connaître mais la méthode doit être entièrement maitrisée. exemple : on veut additionner cos p + cos q. On utilise p+q ( p−q q−p ) p − q i p+q e i p + e i q = e i 2 e i 2 + e i 2 = 2 cos e 2 , 2 puis on prend la partie réelle, ce qui donne : cos p + cos q = 2 cos p +q p −q cos . 2 2 On peut également utiliser cos(a + b) et cos(a − b) avec p = p −q p +q a + b et q = a − b, ce qui revient à a = 2 et b = 2 . Û Développer en puissances de sinus ou cosinus exemple : exprimer sin 3θ en fonction de sin θ. Puisque sin 3θ = Im(e 3i θ ), e 3i θ = (e i θ )3 = (cos θ + i sin θ)3 = cos3 θ + 3i sin θ cos2 θ − 3 cos θ sin2 θ − i sin3 θ = cos3 θ − 3 cos θ(1 − cos2 θ) +i (3 sin θ cos2 θ − sin3 θ) et cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ et sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ. 2 Année 2016/2017