Loi binomiale - S. Tummarello

Loi binomiale
Objectifs
XSimuler un schéma de Bernoulli.
XReconnaître et justifier qu’une situation relève de la loi binomiale.
XReprésenter graphiquement la loi binomiale à l’aide d’un logiciel.
XCalculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale à l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel.
XInterpréter l’espérance et l’écart type d’une loi binomiale dans le cadre d’un grand nombre de
répétitions.
1 – Loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant deux issues : le succès et l’échec.
La situation est résumée par l’arbre ci-dessous.
succès (X=1)
p
échec (X=0)
q=1−p
Définition
Soit Xla variable aléatoire égale à 1 en cas de succès et à 0 en cas d’échec lors d’une épreuve de Bernoulli.
On note pla probabilité du succès et q=1−pla probabilité de l’échec.
Alors Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre p, donnée par le tableau suivant :
xi0 1
P(X=xi)q=1−p p
Exemples
Le jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre p=1
2
en appelant par exemple succès le fait qu’elle tombe côté « pile ».
Le tirage d’une boule au hasard dans une urne comptant 2 boules gagnantes parmi 10 est une épreuve
de Bernoulli de paramètre p=1
5si l’on désigne comme succès le fait de tirer une boule gagnante.
Le stock d’une entreprise contient 99,2% de pièces conformes. On prélève au hasard une pièce dans ce
stock et on note Xla variable aléatoire égale à 1 si la pièce n’est pas conforme, 0 sinon. Alors Xsuit une
loi de Bernoulli de paramètre p=0, 008.
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017 1 Lycée Fresnel - Paris

Propriétés
Si Xsuit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors :
•l’espérance de Xvaut E(X) = p.
•la variance de Xvaut V(X) = p(1−p) = pq.
•l’écart-type de Xvaut σ(X) = pV(X) = pp(1−p) = √pq.
Démonstration
Les calculs sont directs :
E(X) = ∑pixi=p×1+q×0=p,
et
V(X) = ∑pi(xi−E(X))2=p×(1−p)2+q×(0−p)2=pq2+p2q=pq(q+p) = pq .
2 – Loi binomiale
On répète de manière indépendante népreuves de Bernoulli identiques et de même paramètre pet l’on compte
le nombre de succès. L’arbre pondéré ci-dessous résume la situation dans le cas où n=3.
p
p
SSS p3
p
SSE p2q
q
qSES p2q
p
SEE pq2
q
qp
ESS p2q
p
ESE pq2
q
qEES pq2
p
EEE q3
q
k0 1 2 3
P(X=k)q33pq23p2q p3
Soit Xla variable aléatoire égale au nombre de succès : le tableau à droite indique la loi de probabilité de X,
c’est-à-dire les probabilités d’obtenir ksuccès. On remarquera en particulier que :
P(X=k)est égale à pkqn−kfois le nombre de chemins réalisant ksuccès parmi népreuves.
Ce nombre de chemins est appelé coefficient binomial, noté n
k(lire « kparmi n»).
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Définition (hors programme)
On dit que Xsuit la loi binomiale de paramètres net psi :
P(X=k) = n
kpkqn−kpour tout entier ktel que 06k6n.
•n
kest le nombre de chemins réalisant ksuccès parmi népreuves.
•pkest la probabilité du succès « puissance » le nombre de succès.
•qn−kest la probabilité de l’échec « puissance » le nombre d’échecs.
Si X1,X2, . . ., Xndésignent nvariables aléatoires indépendantes qui suivent toutes une loi de Bernoulli
de même paramètre pet si l’on note X=X1+X2+···+Xnla variable aléatoire qui compte le nombre
de succès, alors Xsuit une loi binomiale de paramètres net p.
Calcul instrumenté
Si Xsuit une loi binomiale de paramètres net p, la calculatrice permet de calculer P(X=k):
La calculatrice permet aussi de calculer P(X6k):
Propriétés
Si Xsuit une loi binomiale de paramètres net p, alors :
•l’espérance de Xvaut .
•la variance de Xvaut V(X) = np(1−p) = npq.
•l’écart-type de Xvaut .
Démonstration
On sait que X=X1+···+Xnoù les variables aléatoires X1, . . . , Xnsont indépendantes, de même loi de
Bernoulli de paramètre p. En particulier : E(Xi)=pet V(Xi)=p(1−p).
Comme l’espérance est linéaire, on obtient :
E(X) = E(X1+···+Xn)=E(X1)+···+E(Xn)=np .
De plus, puisque les variables X1, . . . , Xnsont indépendantes,
V(X) = V(X1+···+Xn)=V(X1)+···+V(Xn)=np(1−p).
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Représentations graphiques
•Loi binomiale de paramètres n=10 et p=0, 5
0,2
0,4
12345678910
k
P(X=k)
•Loi binomiale de paramètres n=10 et p=0, 2
0,2
0,4
12345678910
k
P(X=k)
•Loi binomiale de paramètres n=10 et p=0, 8
0,2
0,4
12345678910
k
P(X=k)
•Loi binomiale de paramètres n=20 et p=0, 5
0,1
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
P(X=k)
•Loi binomiale de paramètres n=20 et p=0, 8
0,1
0,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k
P(X=k)
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Théorème
Si Xcompte le nombre de succès de népreuves de Bernoulli, indépendantes
et de même paramètre palors Xsuit une loi binomiale de paramètres net p.
Exercice corrigé
On prélève, au hasard, un échantillon de 50 lentilles dans une chaîne de production. On considère ce prélève-
ment comme un prélèvement avec remise. On note Xla variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type,
associe le nombre de lentilles qui présentent au moins un défaut de traitement. On admet, que la probabilité
qu’une lentille présente un défaut est : p=0, 02.
1. Justifier que la variable aléatoire Xsuit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire Xet en donner une interprétation.
Correction
1. On considère l’épreuve de Bernoulli qui consiste à prélever au hasard une lentille et à appeler « succès »
le fait qu’elle présente un défaut.
Xcompte ainsi le nombre de succès de 50 épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes (le prélève-
ment étant assimilé à un tirage avec remise), et de même paramètre, donc Xsuit une loi binomiale de
paramètres n=50 et p=0, 02.
2. L’espérance de Xvaut E(X) = np =50 ×0, 02 =1.
Interprétation de l’espérance : si l’on répète un tel prélèvement un grand nombre de fois, le nombre
moyen de lentilles présentant un défaut se rapproche de 1.
3 – Compléments : le triangle de Pascal
Les coefficiens binomiaux se calculent à l’aide du triangle de Pascal.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k
−→
01
11 1
21 2 1
31 3 3 1
41 4 6 4 1
51 5 10 10 5 1
61 6 15 20 15 6 1
71 7 21 35 35 21 7 1
n↓81 8 28 56 70 56 28 8 1
On lit que 7
3=35 obtenu par le calcul : 35 =20 +15
15 +20
q
35
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