Loi binomiale - S. Tummarello

Loi binomiale
Objectifs
X Simuler un schéma de Bernoulli.
X Reconnaître et justifier qu’une situation relève de la loi binomiale.
X Représenter graphiquement la loi binomiale à l’aide d’un logiciel.
X Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale à l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel.
X Interpréter l’espérance et l’écart type d’une loi binomiale dans le cadre d’un grand nombre de
répétitions.
1 – Loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire comportant deux issues : le succès et l’échec.
La situation est résumée par l’arbre ci-dessous.
p
succès (X = 1)
q = 1− p
échec (X = 0)
Définition
Soit X la variable aléatoire égale à 1 en cas de succès et à 0 en cas d’échec lors d’une épreuve de Bernoulli.
On note p la probabilité du succès et q = 1 − p la probabilité de l’échec.
Alors X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, donnée par le tableau suivant :
xi
0
1
P ( X = xi )
q = 1− p
p
Exemples
Le jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre p =
en appelant par exemple succès le fait qu’elle tombe côté « pile ».
1
2
Le tirage d’une boule au hasard dans une urne comptant 2 boules gagnantes parmi 10 est une épreuve
de Bernoulli de paramètre p = 51 si l’on désigne comme succès le fait de tirer une boule gagnante.
Le stock d’une entreprise contient 99,2% de pièces conformes. On prélève au hasard une pièce dans ce
stock et on note X la variable aléatoire égale à 1 si la pièce n’est pas conforme, 0 sinon. Alors X suit une
loi de Bernoulli de paramètre p = 0, 008.
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017
1
Lycée Fresnel - Paris
Propriétés
Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors :
• l’espérance de X vaut E( X ) = p.
• la variance de X vaut V ( X ) = p(1 − p) = pq.
p
p
√
• l’écart-type de X vaut σ( X ) = V ( X ) = p(1 − p) = pq.
Démonstration
Les calculs sont directs :
E( X ) =
∑ pi xi = p × 1 + q × 0 = p ,
et
V (X ) =
∑ pi ( xi − E(X ))
2
= p × (1 − p)2 + q × (0 − p)2 = pq2 + p2 q = pq(q + p) = pq .
2 – Loi binomiale
On répète de manière indépendante n épreuves de Bernoulli identiques et de même paramètre p et l’on compte
le nombre de succès. L’arbre pondéré ci-dessous résume la situation dans le cas où n = 3.
p
SSS
p3
q
SSE
p2 q
p
SES
p2 q
q
SEE
pq2
k
0
1
2
3
p
ESS
p2 q
P ( X = k)
q3
3 pq2
3 p2 q
p3
q
ESE
pq2
p
EES
pq2
q
EEE
q3
p
p
q
q
p
q
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès : le tableau à droite indique la loi de probabilité de X,
c’est-à-dire les probabilités d’obtenir k succès. On remarquera en particulier que :
P (X = k) est égale à pk qn−k fois le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves.
n
Ce nombre de chemins est appelé coefficient binomial, noté
(lire « k parmi n »).
k
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017
2
Lycée Fresnel - Paris
Définition (hors programme)
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p si :
n k n−k
P (X = k) =
p q
pour tout entier k tel que 0 6 k 6 n .
k
n
•
est le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves.
k
• pk est la probabilité du succès « puissance » le nombre de succès.
• qn−k est la probabilité de l’échec « puissance » le nombre d’échecs.
Si X1 , X2 , . . ., Xn désignent n variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes une loi de Bernoulli
de même paramètre p et si l’on note X = X1 + X2 + · · · + Xn la variable aléatoire qui compte le nombre
de succès, alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Calcul instrumenté
Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, la calculatrice permet de calculer P( X = k) :
La calculatrice permet aussi de calculer P( X 6 k) :
Propriétés
Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors :
• l’espérance de X vaut
.
• la variance de X vaut V ( X ) = np(1 − p) = npq.
• l’écart-type de X vaut
.
Démonstration
On sait que X = X1 + · · · + Xn où les variables aléatoires X1 , . . . , Xn sont indépendantes, de même loi de
Bernoulli de paramètre p. En particulier : E ( Xi ) = p et V ( Xi ) = p(1 − p).
Comme l’espérance est linéaire, on obtient :
E( X ) = E ( X1 + · · · + Xn ) = E ( X1 ) + · · · + E ( Xn ) = np .
De plus, puisque les variables X1 , . . . , Xn sont indépendantes,
V ( X ) = V ( X1 + · · · + Xn ) = V ( X1 ) + · · · + V ( Xn ) = np(1 − p) .
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017
3
Lycée Fresnel - Paris
Représentations graphiques
• Loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 5
0,4
P ( X = k)
0,2
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
• Loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 2
0,4
P ( X = k)
0,2
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
• Loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 8
0,4
P ( X = k)
0,2
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
• Loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0, 5
0,2
P ( X = k)
0,1
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• Loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0, 8
0,2
P ( X = k)
0,1
k
1
2
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017
3
4
5
6
7
8
9
4
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Lycée Fresnel - Paris
Théorème
Si X compte le nombre de succès de n épreuves de Bernoulli, indépendantes
et de même paramètre p alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Exercice corrigé
On prélève, au hasard, un échantillon de 50 lentilles dans une chaîne de production. On considère ce prélèvement comme un prélèvement avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type,
associe le nombre de lentilles qui présentent au moins un défaut de traitement. On admet, que la probabilité
qu’une lentille présente un défaut est : p = 0, 02.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et en donner une interprétation.
Correction
1. On considère l’épreuve de Bernoulli qui consiste à prélever au hasard une lentille et à appeler « succès »
le fait qu’elle présente un défaut.
X compte ainsi le nombre de succès de 50 épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes (le prélèvement étant assimilé à un tirage avec remise), et de même paramètre, donc X suit une loi binomiale de
paramètres n = 50 et p = 0, 02.
2. L’espérance de X vaut E( X ) = np = 50 × 0, 02 = 1.
Interprétation de l’espérance : si l’on répète un tel prélèvement un grand nombre de fois, le nombre
moyen de lentilles présentant un défaut se rapproche de 1.
3 – Compléments : le triangle de Pascal
Les coefficiens binomiaux se calculent à l’aide du triangle de Pascal.
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
n↓ 8
1
8
28
56
70
56
28
8
7
On lit que
= 35
3
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017
obtenu par le calcul :
5
35 = 20 + 15
8
9
k
−→
1
15 + 20
q
35
Lycée Fresnel - Paris
Exercices
Exercice 1
1. On lance deux dés équilibrés : quelle est la probabilité d’obtenir un « double-six » ?
2. On lance quatre fois une pièce non truquée :
(a) quelle est la probabilité qu’elle tombe quatre fois côté « pile » ?
(b) quelle est la probabilité qu’elle tombe deux fois côté « pile » et deux fois côté « face » ?
3. Calculer la probabilité de ne pas obtenir un seul six en 10 lancers d’un dé équilibré.
Exercice 2
X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0, 2.
1. Quelle est l’espérance de X ?
2. Calculer :
•
•
•
•
•
P( X
P( X
P( X
P( X
P( X
= 0) =
= 10) =
= 25) =
6 10) =
> 0) =
Exercice 3
Une entreprise effectue des contrôles pour détecter si un produit satisfait aux normes prévues. Le produit
est conditionné en boîtes. Les contrôles montrent que la probabilité qu’une boîte prélevée au hasard dans la
production soit défectueuse est égale à 0, 006.
On note X la variable aléatoire qui à chaque lot de 1000 boîtes du produit tirées au hasard et avec remise dans
la production associe le nombre de boîtes défectueuses dans ce lot.
1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale. Donner l’espérance mathématique de X et en
donner une interprétation.
2. Déterminer la probabilité qu’il n’y ait aucune boîte défectueuse dans le lot.
3. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins une boîte défectueuse dans le lot.
Exercice 4
On prélève, au hasard, un échantillon de 50 lentilles dans la production d’une entreprise. On considère ce
prélèvement comme un prélèvement avec remise.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de lentilles qui présentent
un défaut.
On admet, que la probabilité qu’une lentille présente un défaut est : p = 0, 25.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
2. Déterminer l’espérance mathématique et l’écart type de la variable aléatoire X.
3. Calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, 12 lentilles qui présentent un défaut. Arrondir le
résultat à 10−4 .
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017
6
Lycée Fresnel - Paris
Exercice 5
Une entreprise fabrique des pièces. Ces pièces sont considérées comme conformes si leur longueur est comprise
entre 79, 8 mm et 80, 2 mm.
On admet que si on prélève, au hasard, une pièce dans la production, la probabilité que cette pièce ne soit pas
conforme, est p = 0, 035.
On note X, la variable aléatoire représentant le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 100 pièces. Les
pièces sont prélevées au hasard et le tirage est assimilé à un tirage avec remise.
1. Justifier que X suit une loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0, 035.
2. On considère les évènements :
A : « le nombre de pièces défectueuses du lot est égal à 2 » ;
B : « le nombre de pièces défectueuses du lot est au moins égal à 2 ».
Calculer P( A) au dix millième près, puis P( B) au millième près.
3. Un lot de 100 pièces est envoyé à un client, le lot est accepté s’il contient au plus 4 pièces défectueuses.
Déterminer au millième près, la probabilité que le client refuse ce lot.
4. Déterminer la plus petite valeur entière n telle que : P( X > n) < 0, 03
Exercice 6
Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils.
Les appareils sont conditionnés par lots de 100 pour l’expédition aux distributeurs de pièces détachées. On
prélève au hasard un échantillon de 100 appareils dans la production d’une journée. La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 appareils.
Pour cette partie, on considère que, à chaque prélèvement, la probabilité que l’appareil soit défectueux est 0, 05.
On considère la variable aléatoire X1 qui, à tout prélèvement de 100 appareils, associe le nombre d’appareils
défectueux.
1. Justifier que la variable aléatoire X1 suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire X1 .
3. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus deux appareils défectueux dans un lot.
Exercice 7
Une entreprise fabrique des verres ophtalmiques à partir de verres semi-finis.
On prélève au hasard n verres semi-finis dans un stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu’un
verre semi-fini prélevé au hasard dans ce stock soit défectueux est égale à 0, 016. Le stock est suffisamment
important pour assimiler un prélèvement de n verres semi-finis à un tirage avec remise de n verres.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de n verres semi-finis dans ce stock, associe le
nombre de verres semi-finis défectueux.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
2. Dans cette question n = 250.
(a)
(b)
(c)
(d)
Calculer l’espérance mathématique E( X ). Interpréter le résultat.
Calculer la probabilité qu’aucun verre ne soit défectueux.
En déduire la probabilité qu’au moins un verre soit défectueux.
Calculer P( X > 1).
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017
7
Lycée Fresnel - Paris
Exercice 8
Un magasin d’optique dispose d’un répertoire informatique contenant un grand nombre de fichiers de clients
ayant acheté des verres.
On s’intéresse à un type de traitement des verres : le traitement anti-rayure.
Dans le répertoire, 45 % des fichiers correspondent à des clients ayant demandé le traitement anti-rayure. On
prélève au hasard et avec remise 100 fichiers dans le répertoire. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout
prélèvement de 100 fichiers, associe le nombre de fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure
de leurs verres.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. On donne ci-dessous un extrait du tableau obtenu à l’aide d’un tableur fournissant des probabilités
P( X = k) et P( X 6 k), où k désigne un entier naturel compris entre 0 et 100.
A
B
C
1
k
P ( X = k)
P ( X 6 k)
2
45
0,079988
0,541316
3
46
0,078249
0,619565
4
47
0,073557
0,693122
5
48
0,066452
0,759573
6
49
0,057698
0,817272
7
50
0,048152
0,866424
8
51
0,038625
0,904048
9
52
0,029779
0,933827
10
53
0,022066
0,955893
11
54
0,015714
0,911607
12
55
0,010153
0,982359
13
56
0,007070
0,989429
D
(a) Déterminer à l’aide de ce tableau la probabilité qu’il y ait, dans un prélèvement de 100 fichiers,
exactement 50 fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure de leurs verres.
(b) Déterminer à l’aide de ce tableau le plus petit entier a tel que P( X 6 a) > 0, 975.
3. On admet que la loi de la variable aléatoire X peut être approchée par la loi normale de moyenne 45 et
d’écart type 4, 975.
(a) Justifier ces paramètres par le calcul.
(b) On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 45 et d’écart type 4, 975.
Calculer, à l’aide de cette approximation, la probabilité qu’il y ait, dans un prélèvement de 100
fichiers, au moins 50 fichiers de clients ayant demandé le traitement anti-rayure de leurs verres,
c’est-à-dire calculer P( Z > 49, 5).
TS2 Systèmes Photoniques – 2016 / 2017
8
Lycée Fresnel - Paris