Sommes d`automorphismes 1. Cas particulier, f est un

#45
Sommes d'automorphismes
Khôlles - Classes prépa
Proposition. Soit
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
E
un
K-ev
où
K est
E.
un corps ayant au moins trois éléments et
f ∈ L(E).
Alors
f
est somme de deux automorphismes de
1. Cas particulier,
f
est un automorphisme de
E.
Soit a un scalaire autre que 0 et 1. Alors f = af + (1 − a)f .
2. Cas particulier,
f
est localement nilpotente.
C'est-à-dire que pour tout x ∈ E , il existe k ∈ N tel que f k (x) = 0. Alors f = id + (f − id) et f − id est
un automorphisme de E : injectif car 1 n'est pas valeur propre de f et surjectif car si x ∈ E et k est tel que
f k (x) = 0 alors x = (f − id)(−x − f (x) − · · · − f k−1 (x)).
3. Cas particulier, il existe
a∈E
tel que
(f k (a))k∈N
est une base de
E.
Soit (an ) la suite de E dénie par a0 = a, a1 = f (a) − a et an = f (an−1 ) − an−2 si n ≥ 2. an = Pn (f )(a)
pour un certain polynôme Pn ∈ Z[X] unitaire de degré n, donc (an ) est une base de E . Soient g, h les
automorphismes de E dénis par leur eet sur cette base : g xe a0 et transpose tous les couples (a2k−1 , a2k ),
h transpose tous les couples (a2k , a2k+1 ). Alors pour tout n on a f (an ) = g(an ) + h(an ), donc f = g + h.
4. Cas particulier, il existe une base
est stable par
B
de
E
contenant une base de Ker f telle que
B ∪ {0}
f.
Soit C l'ensemble des éléments x de B tels qu'il existe k ∈ N avec f k (x) = 0 et D l'ensemble des
éléments x de B tels que f k (x) ∈ B pour tout k ∈ N. Comme B contient une base de Ker(f ), cette base est
incluse dans C et la restriction de f à D est une injection de D dans lui-même. On note E = D \ f (D) et
F = ∩k∈N f k (D) = D \ ∪k∈N f k (E). Donc f induit une permutation de F et D est l'union disjointe de F et
des ensembles Ea = {f k (a), k ∈ N} lorsque a décrit E . La décomposition : B = F ∪ C ∪ (∪a∈E Ea ) induit une
décomposition de E en sous-espaces stables par f relevant des trois cas particuliers précédents et fournit
une décomposition de f en somme de deux automorphismes de E par prolongement des décompositions sur
chaque sous-espace.
5. Cas général
Soit B0 une base de Ker(f ) que l'on complète en B = B0 ∪ B00 , base de E . f (B00 ) est une base de Im(f ) que
l'on peut compléter en C , base de E . B et C sont équipotentes donc il existe ϕ, automorphisme de E , tel que
ϕ(C) = B . Enn, f 0 = ϕ◦f a même noyau que f et stabilise B ∪{0} donc on peut écrire f 0 = g 0 +h0 avec g 0 , h0
automorphismes de E , ce qui fournit une décomposition de f = ϕ−1 ◦ f 0 en somme de deux automorphismes
de E .
Proposition. Soit
E
deux automorphismes de
un
E
F2 -ev où F2 est le corps à deux éléments et
sauf dans le cas dim(E) = 1 et f = id.
f ∈ L(E).
Alors
f
est somme de
Il sut de prouver que l'identité est somme de deux automorphismes lorsque dim(E) 6= 1 et de traiter à
part le cas où F est un singleton dans 4.
1'. Cas
f = id.
14 septembre 2015
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Thierry Sageaux
Sommes d'automorphismes
Si E = {0}, on a f = id + id. Si E est de dimension nie n > 1, alors il existe g endomorphisme de E
tel que g n = g + id (g peut être déni par sa matrice, compagne du polynôme X n − X − 1, dans une base
de E ). Comme le polynôme X n − X − 1 n'a pas de racine dans F2 , g n'a pas de valeur propre donc g et id − g
sont sont des automorphismes de E . Si E est de dimension innie alors il existe une base B de E , union
disjointe de deux ensembles C et D équipotents (car B est équipotente à l'union disjointe de deux copies
de B). Soit ϕ une involution de B échangeant C et D et g, h les endomorphismes de E dénis par leur eet
sur B : g(x) = ϕ(x) et h(x) = x + ϕ(x) si x ∈ C , g(x) = x + ϕ(x) et h(x) = ϕ(x) si x ∈ D. On vérie que
pour tout x ∈ B on a g ◦ h(x) = h ◦ g(x) = x et g(x) + h(x) = x, donc g et h sont deux automorphismes
réciproques tels que g + h = id.
4'. Cas où
F
est un singleton
{e}.
Donc f (e) = e. Soit a un élément de B diérent de e et ϕ l'automorphisme de E qui échange a et e et
qui xe tous les autres éléments de B. Alors f 0 = f ◦ ϕ stabilise B ∪ {0}, B contient une base de Ker(f 0 ) et
f 0 n'a pas de point xe dans B donc l'ensemble F 0 associé à f 0 n'est pas un singleton. Ainsi f 0 est somme
de deux automorphismes de E et f = f 0 ◦ ϕ aussi.
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Thierry Sageaux