Dérivations et automorphismes des algèbres d`opérateurs

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
G EORGES Z ELLER -M EIER
Dérivations et automorphismes des algèbres d’opérateurs
Séminaire N. Bourbaki, 1966-1968, exp. no 324, p. 179-188
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1966-1968__10__179_0>
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Séminaire BOURBAKI
1966/67,
19e année,
n°
DÉRIVATIONS
324
Février 1 967
AUTOMORPHISMES
ET
(D’après
KAPLANSKY
a
montré
montré
a
[8~
[5] )
Georges ZELLER-MEIER
[6 ] , [7 ] que
bre laissant fixe le centre d’une
SAKAI
D’OPÉRATEURS
ALGEBRES
R. V. KADISON et J. R. RINGROSE
par
1.
DES
toute dérivation et tout
AW*-algèbre
de
sont intérieurs.
I
type
automorphisme d’algè-
que toute dérivation d’une
est continue.
Puis,
Enfin,
KADISON, RINGROSE, SAKAI ont montré [3] , [ 4 ] , [9] :.
THÉORÈME
1.- Toute dérivation d’une
Hilbert
H
se
prolonge
C*-algèbre d’opérateurs
En
rable admet
une
représentation?
topologie forte,y dans
limage
(l’automorphisme
continue pour la
le groupe des
désignera
C*-algèbre
sous-groupe
Si
Neumann est intérieure,
A
par
A
les
topologie
Aut(A)
des
simple
II1,
le groupe
[5] .
métrique complet
la
des
automorphismes d’une
uniforme, par Int(A) le
topologie de la convergence
automorphismes intérieurs (*) de A et par
d’unité,
phisme intérieur de
de la convergence
automorphismes d’un facteur de type
pour la
distingué
n’a pas
sur
identique excepté) étant formée d’automorphismes extérieurs.
20 Notations et énoncé des résultats de
(*)
von
ce
pour la
On
espace de
automorphismes, d’algèbres
qui suit? ne se prolonge pas à certains facteurs de type
a montré C1.] que tout groupe localement
BLATTNER
particulier
compact sépa-
involutives dans tout
0
un
e
On sait par contre que le résultat de KAPLANSKY
II1.
dans
dérivation intérieure de 1°adhérence faible de A
en une
particulier toute dérivation d’une algèbre de
En
1
ce
sont les
C~~a.lgèbre
automorphismes
avec
179
unité 1
se
prolongeant
associée à A .
0
T((A)
en
le
automor-
G. ZELLER-MEIER
distingué
des
automorphismes de A qui, pour toute concrétisation de
A dans un espace de Hilbert, se prolongent en automorphisme intérieur de l’adhérence faible de A. On rappelle que tout automorphisme d’une
C*-algèbre est isométrique et on renvoie à [2] pour les propriétés de ces algèbres. Les résultats
sous-groupe
principaux de [ 5 J sont :
THÉORÈME 2.alors
A
Si
est
appartient à
a
C*-algèbre
une
un
sous-groupe à
topologie uniforme.
La
ouvert engendré
ces
sous-groupes à
est
une
par
COROLLAIRE.- Si A
et si
un
algèbre
(en
D’où le résultat suivant
de
von
contraste
E
Aut(A)
paramètre
composante neutre 1
un
ce
(A)
paramètre.
avec
Aut(A)
Aut(A)
de
Neumann,
de
Enfin
2,
continu pour la
est
un
sous-groupe
C
on a
alors Int(A) = (A) =
BLATTNER) :
celui de
dnun groupe
topologique connexe, continue pour la
le groupe des automorphismes d’une algèbre de von Neumann
morphismes intérieurs.
tation
~03B1 - 1 I( C
est tel que
représentopologie uniforme, dans
a son
toute
image formée d’auto-
3. Esquisses des démonstrations.
Pour le Th. 1
KAPI.ANSKY que
l’algèbre L(H)
rence
dans
premier temps, en utilisant le résultat de
toute dérivation de A se prolonge en une dérivation intérieure de
des opérateurs bornés dans H ; puis on étudie les cas où l’adhé-
faible de
montre p
on
A
un
est soit semi-finie soit de
type III.
dérivation d’une algèbre
suffirait de démontrer que toute
On
peut remarquer qu’il
de
von
Neumann
envelop-
pante est intérieure.
Donnons plus de détails
On sait
de Banach
a
est
qu’un
L
un
sous-groupe à
est de la forme
sous-groupe à
morphismes de
mitienne
sur
A
(i.e.
Supposons
un
la démonstration du Th. 2 :
un
continu pour la
t ~ R
exp
paramètre,
si et seulement si
~ (a*) = ( S (a) )~’
A
paramètre
at
et
continu pour la
=
exp t
pour tout
a
concrète dans l’espace de Hilbert H
dans
une
algèbre
03B4 ~ L . On en déduit
que
topologie uniforme, d’auto-
S où 6
dans
norme
1)
est
une
de
1 .
et soit
S
dérivation her-
une
dérivation
ALGÈBRES D’OPÉRATEURS
hermitienne de
par le Th. 1
A ;
hermitien de l’adhérence faible
A définie
de
y EÂ
et
;
il
ex E. Aut(A)
LEMME 1.- Si
t ad
S
(A où
est
x
élément anti-
un
est la dérivation intérieure
x
x)(y) = (exp tx)y(exp - tx)
prolonge
se
pour
automorphisme
en un
E
bitransposé
est le
A
de
de
de
assertion du théorème 2.
il¿.( 2 ,
alors pour toute
représentation
prolonge
se
(par
A
automorphisme à
en
fonctorialité
ou
1
de
bitransposition). Puisque
Comme
on
,
l’algèbre
de
1 j) = ~~à - 1 )j .
1
d’une
morphisme
C*-algèbre abélienne est tel que )) a - 1 fi
prète a comme un homéomorphisme du spectre), si y a - 1))~. 2, à
a -
de
c~
(~).
quasi-équivalente
est
automorphisme a
Neumann enveloppante
à - 1
x
ad
exp t
première
et ii a - 1
Tout
von
et
(exp
résulte que
en
Il suffit donc de montrer la
a
A
de
ad
=
A.
intérieur de
o
Â
On vérifie que
x.
par
a S
on
=
un
(on
2
auto-
inter-
induit l’auto-
morphisme identique du centre de E. Or l’ensemble des classes
de
représentations 03C6
classe
de 03C6 correspond
s’identifie à l’ensemble des
A
de
où
e
représentation normale (p de
induit l’application e t2014~ â
LEMME
2.- Si
H
est
un
Soient
v
un
H y
le
projecteur
e
E
est le
e
-
plus grand projecteur du noyau de la
prolongeant
1(e) ,
et
un
opérateur
opérateur
unitaire
unitaire dans
sur
l’application 03C6 ~ 03C6
o
a
d’où le lemme.
espace de Hilbert et si
)) a - 11) ~ 2 , il existe
de
1
dedquasi-équivalence
centre
projecteurs/de E (à la
H
le sous-espace
ce
u
(H) )
E
dans
H
induisant
est tel que
induisant
$
a ,
entendre par 03BE .
un
a
et tel que :
vecteur unitaire
on a :
1
2(1-)(v~~)~)~
._
(*)
En
fait, grâce
au
Th.
2,
on
-
-
_
_
~
voit que
~
~p
~
o
~
ce
~
r
r
est
r
r
r
r
r
r
r
équivalente à
r
r
~p .
r
r
r
r
r
r
r
Or
puisque
est normal l’adhérence de l’ensemble des
v
taire dans
à l’enveloppe
égale
est
H ,
K
convexe
(v~~) ,
Sp(v) .
de
est uni-
t
Donc si
est
J~
la
u
projection de
| |-1
=
LEMME 3.-
et si
a
est
Aut(A)
alors
f
C
(d’où a =.
~
exp ad
sous-groupe à
un
un
x)
opérateur
et
Sp
L(x) - R(x) et 03B1
dre les valeurs
de
opérateur
>
dans
espace de Hilbert
un
unitaire
dans
u
~(~(B))
paramètre,
sur
sur
ad
o~(H)
=
défini par
dans
x
~ (H)
et droite de
L(u)R(u*)
Pour avoir
0
L(x)
H
x ...
ad
()
En
(*)),
de même
L
=
x
exp
et
R
On
les
a
il suffit de pren-
x
sous-algèbre abélienne
maximale
d’où
on
5
fait,
B~
a, pour
==
on
servent les
holomorphe
exp ad
x
2
y
dans
et
sait que les
spectres.
Log03BB
exp t
=
Sp
gt(exp
une
ad
que
on a :
= {03BB ~ C jB
gt(03BB)
cul fonctionnel
comme
u
o~ ( ~ (H) ) .
dans
Sp
l’hypothèse
tel que
R(x) (qui commutent) ;
et
~ {03B |03B , ~ Sp u} ~ 03A9
pour
et,
Vu
u .
S.’B . Soient
C
x
des caractères d’une
x
contenant
Sp
il ;
topologie
(remarquer
Sp
Soit,
tel que:
continu pour la
Sp ad x
Sp 03B1
H
H
0 ~.
un
anti-hermitien
représentations régulières gauche
==
U~)~> 0 . D’où
1
Aut(A) .
u ~ il existe
x
un
a l’automorphisme intérieur de
Soit
ad
(l - -
C*-algèbre d’opérateurs
une
appartient à
uniforme, de
sur
~~
on a
est induit par
Sp(u)
a
K ~
sur
convient.
v
Si A
6
0
x
X)
algèbre
la
=
réel
négatif} .
03BBt
détermination principale de
exp
de
non
t ’X . Par les propriétés du
Banach,
on a
on
peut donc définir
g+(S) gt(exp ad x)
représentations régulières
=
d’une
algèbre
=
avec
cal-
g (S)
exp t ad
unité
x .
con-
ALGÈBRES D’OPÉRATEURS
étant
dérivation hermitienne,
D’où,
ad
mètre,
continu pour la topologie uniforme? de
x
est limite
Rünge, gt(03BB)
en n ;
mes
une
gt (a)
donc
uniforme,
est limite
stable le sous-espace fermé
Démonstration de la
tout
en norme
1,
sous-groupe à
un
compact contenu dans
polynômes
de
polynô-
à . Puisque S
en
para-
par le théorème de
Or,
de
un
A
laisse
convient.
assertion du Th. 20
avec son
représentation fidèle somme directe
inéquivalentes. L’adhérence faible A
image par
une
représentations irréductibles deux à deux
de A s’identifie à un produit d’algèbres de
me
est
de À (H),
A
en norme
première
A
On identifie
sur
gt(a)
von
Neumann
de
Par le lem-
prolonge en un automorphisme à de â et laisse fixe son centre.
KAPLANSKY, S est intérieur. Grâce au lemme 2, on montre que
induit par un unitaire u de A tel que Sp u C
se
a
Par le résultat de
à est
{03BB ~ C| Re 03BB > 0} .
D’où le résultat par le lemme 30
Remarque
1.- Par unicité du
miale
voit que,
on
générateur infinitésimal
hypothèses du lemme 3 et
les
sous
et par
approximation polynô-
si
a
Sp
Log a (où
dérivation
détermination principale du logarithme sur.Q ) est une
hermitienne (égale à ad xIA ) de A s Il en va donc de même pour tout
Log est
la
tel que lia - 111
ment que (la -
HallI
=
~03B1-1~I
2 . Une démonstration naturelle consisterait à montrer directe-
111~.2
entraîne que
Log
1~I 2
=1
a
(qui
impliquent
est bien
=
1
Remarque
von
(donc
Remarque
soit
une
tel que
Sp
2.- On trouve dans
Neumann
es t
une
construire
dériva-
un
auto-
type II1 qui soit extérieur (donc n’admettant pas
dérivation hermitienne par le Th. 2) et tel que
d’un facteur de
morphisme
de logarithme qui
a3
Sp a
l’on peut
car
que
tion hermitienne. Il convient ici de remarquer que
a
défini
a
[5]
une
généralisation
du lemme 2
algèbres
aux
de
quelconques.
3.- Pour
a
E Aut(A)
soit
à
le
l’ensemble des
a
tels que
a
l’ensemble des
a
tels que
à laisse fixe
prolongement à E . Alors
soit intérieur dans
E ; c’est
le centre de
E. Si
un
A
est
sous-groupe de
est de
type
1
Aut(A)
automorphismes d’algèbre de A ).
ces
deux sous-groupes de
[5]
4. On trouve enfin dans
relatives des sous-groupes
’~ (A)
a)
C
?t(A) (Th. 2)
A
Si
et
= LC(H)
une
A
est
est
un
C*-algèbre
est la
Hy
On remarque
abélienne
b)
de
Un
type
sans
111’
=
engendré
Aut(A)
=
ce
dans
H
et
est
une
espace de Hilbert
un
M
par
automorphismes extérieurs
et LC(H) ;
idéal bilatère fermé de L
automorphisme
(H) )
et
A
se
prolonge
1C(A) .
spatial
car
M
En
A
M n
on a
par la
+
c)
=
m
en
en
général (prendre
de
A
(où
m E M
représentation fidèle
exemple le facteur
considère A
on
l’espace
C*-algèbre ( LC(H) est
~ ~’(H) _ (0). Puisque deux re-
d’une
si 03B2
est standard et
la
(par
C*-algèbre
sont
équivalentes,
automorphisme intérieur de A w
effet,
A ; d’autre part, si 03C6 est
définie par
a
de
on a
est
de
représentation irréductible
qui est faux
présentations irréductibles traçables fidèles
a
espace
=
et toute
Aut(A)
admettant des
vectoriel
Pourtant
un
exemple où A n’est pas postliminaire. On prend M facteur standard
continu),
tout
dans
unité...).
byperfini
un
opérateurs compacts
des
que
représentation identique.
la
qu’ici
prenant les
on a :
idéal bilatère
équivalente à
en
de Aut(A) . Rappelons
Int(A) , ~(A) ,
que Int(A) C 1t(A) (trivial).
’~ (A) A
est aussi vrai
série d’exemples illustrant les diverses positions
de Hilbert de dimension infinie
car
(ceci
coïncident
se
est
un
idA ~ 03C6
prolonge donc
en un
automorphisme
factorielle de
alors si
on
~(H) ~
automorphisme extérieur de
représentation
et
=
n’obtient pas
un
on
type
II1
transporte
automorphisme
prolongeant
se
sont
~
induit par
paramètre,
un
m’
tout
de
D’autre
unitaire
un
type
outre que si
en
u
dans
II)
a
M’
d’où
part,
u
Une série
=
E M n M’ = C
d’exemples où
A
Soit
morphismes de
A
non
dégénérée
de
où
est
l’algèbre
une
de
sont
C*-algèbre
des
m ~ M
a
et
1 M
c
E
a
a
.
non
espace
n 2,
y
est
a
alors
est induit
X
une
dégénérée
A
de type I
et le groupe
B
C*-algèbre
la
prend A
B ~
M.
on
=
de
C . En effet toute
B ;
est
(voir
de la
on en
représentation
forme ~ ® idy
déduit que le centre de
égal à l’adhérence
Rem.
métrique
En
faible de
=
ya(m))(x)
C ,
3).
des
applications continues de
effet,
on
identifie
on
( (z))(m)
des
s’identifie à l’ensemble des auto-
applications continues f de X dans M ;
définie par
abé-
C*-algèbre
la
àa
a
x
correspond s
facteur
donc
n
canoniquement isomorphes.
dans
fortiori
donc pour
(0) ( M’
Aut(M) fait correspondre l’automorphisme
par
(03B1(f))(x) = 03B2(x)(f(x)) pour tout dans X ; inversement, à
continue de
a
on a
compact X ,y
7I:(A)
A,
enveloppante de
A
un sous-
Aut(A) ;
LC(H) ;
M’ =
1 On
=
de
idM ,
=
représentation
Neumann
dans
et si
est limi.na,ire. Soient
équivalente à
représentation
von
topologie uniforme,
A
Le groupe métrique
la
et
est
ce
appartient à
a
sur
est
alors
=
qui induisent 1 t identi té
d’où l’assertion puisque
X
( idA
X M
Int(A) ~ %(A) .
sur un
le centre de
03B1|M
um’ - m’u
et
matrices carrées complexes d’ordre
=
M ; donc
de
et
lienne des fonctions continues
C
M’
où
MI
de
cm’ - m’c
:
et si
Int(A)
03B1 ~
si
m + c
=
Aut(A)
continu pour la
Int(A) ~ ’0 (A)
c)
E
unitaire du commutant
un
(A) .
par
cp)(A) _ oe(H)
de
disjointes).
On remarque
groupe à
automorphisme intérieur
en
pour tout
x
dans
A
avec
application
de
A défini
03B1 ~ 03C0(A)
X
et tout
dans
m
M ,
car
m EMet m ~ 0
c’est
un
homomorphisme injectif puisque
entraîne que l’idéal bilatère engendré par
a(m)
A
dans
est
égala A ).
Comme
avec
Aut(Mn)
isomorphe à
est
le groupe
topologique
des
Int(A)
s’identifie
au
Ainsi
U(n)/U(1)
sur
Comme
Tf(A)
dans
U(n)~U(1) .
Une
groupe des
s’identifie
au
C
connexe
X
le fibre F ) de
-
Si
X
D’autre
U(n)fu(1)
[10]
SU(n)
(par
est
part,
est
dans
cano-
%(A) ,
on
voit
étant relevable
on
déduit du
~’(A) .
On
a
que
donc
étant isomorphe
continues
exemple X
=
[0,)] )
=
est
dans
(resp.
au
et relevables dans
dans
est contractile
Poincaré) qui
de1
(resp.
cation relevable donc est relevable dans
de
arcs
ô (A) _ Int(A) =
1
si X S alors ~’ (A) ~t Int(A) = ~t(A) .
toute application continue de S1 dans
-
car
par
d’homotopie d’applications
X
X
applications continues inessentielles de X
dans
?~(A) ,
groupe des classes
U(n)/U(1) .
défini par la projection
F
principal
groupe des
application constante de
Tnt(A)
dans
applications continues de
2ème théorème de relèvement des homotopies
C
X
U(n)/U(l) .
est la composante
que
identifierons désormais
applications continues de
relevables dans le fibre
U(n)
nique de
nous
F
isomorphe à
isomorphe à
Z/(n) ,
( Z~(n)
identifié
au
simplement
connexe ;
a
(les
En
on a
donc
effet,
on a
est
fibres sont
U(n)/U(1 )
groupe des racines
fortiori
homotope à
connexes
?i~ (U(n)~tT( 1 ) )
puisque
Int(A) = 1t(A)
appli-
par
arcs).
étant le groupe
est
n-iémes de
~’(A) ~ Int(A) .
une
isomorphe à
l’unité)
et que
ALGÈBRES D’OPÉRATEURS
-
Si
X
Int(A) ~ ~G(A) .
alors
=
Int(A)~ J((A)
le fibre
car
F
relevable) puisque
à
( N.Z )
~t~(U(n)~U(1)) (^_’ Z~(n) ).
l’application
possède
ne
uun
ne
pas de section
peut contenir
dans
effet,
on a
(d’où
car on
lui-même, qui
n’est pas
idx
de sous-groupe
(A)
D’autre part
U(n)ju(1)
de
En
isomorphe
aontre que
est relevable dans
F ,
est essentielle.
-
Enfin, si
n
2
=
X
et si
U(2)/U(1) (homéomorphe
à
p3)
est le
on
2-squelette
d’une
triangulation de
montre que
~’(A) - Int(A) ~
RÉFÉRENCES
[1]
R. BLATTNER p.
Automorphic
group
J. DIXMIER - Les
[3]
R. KADISON - Derivations of
[4]
C*-algèbres
représentations. Gauthier-Villars, 1964.
operator algebras. Ann. of Math. 83
R. KADISON and J. RINGROSE - Derivations of
(1966),
p.
[6]
I. KAPLANSKY -
[7]
I. KAPLANSKY p.
(1966),
operator group algebras. Amer.
562-576.
R. KADISON and J. RINGROSE - Derivations and
bras. Comm. Math.
[8]
et leurs
280-293.
J. Math. 88
[5]
(1958),
8
665-677.
[2]
p.
representations. Pac. J. Math.
Phys. 4
(1967),
p.
automorphisms
32-63.
Algebras of type I. Ann. Math. 56
Modules
over
of operator alge-
(1952),
p.
460-472.
operator algebras. Amer. J. Math. 75
(1953),
839-859.
S. SAKAI - On
a
conjecture of Kaplansky. Tôhoku Math. J. 12
(1960),
p. 31-33.
G. ZELLER-MEIER
[9]
[10]
S. SAKAI - Derivations of
W*-algebras.
N. STEENROD - Fibre Bundles.
Ann. of Math.
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