Devoir en temps libre 1 Le lemme de Schwarz 2 - e

UVSQ 2016/2017
Licence de sciences et technologie, santé
LSMA521 (analyse complexe)
A rendre le mercredi 2 novembre 2016 en cours
Deux étudiants par devoir, rédaction partagée
Devoir en temps libre
On note D = {z ∈ C, |z| < 1} le disque unité ouvert de C.
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Le lemme de Schwarz
Soit f une fonction holomorphe sur D telle que
f (0) = 0 et ∀z ∈ D, |f (z)| < 1.
f (z)
, définie sur D \{0}, se prolonge en une fonction holomorphe
1) Montrer que l’application z →
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z
sur D.
f (z) 1
< pour tout z tel que 0 < |z| ≤ r.
2) Soit r ∈]0, 1[. Montrer que z r
3) En déduire que |f (z)| ≤ |z| pour tout z ∈ D, et que |f 0 (0)| ≤ 1.
4) On suppose qu’il existe z0 ∈ D, non nul, tel que |f (z0 )| = |z0 |. Montrer qu’il existe un nombre
complexe λ de module 1 tel que f (z) = λz pour tout z ∈ D.
5) On suppose que |f 0 (0)| = 1. Montrer qu’il existe un nombre complexe λ de module 1 tel que
f (z) = λz pour tout z ∈ D.
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Automorphismes du disque
On appelle automorphisme de D toute application bijective et holomorphe D → D dont la
réciproque est également holomorphe1 . L’objet de cette partie est de déterminer tous les automorphismes de D.
1) Trouver tous les automorphismes de D qui fixent 0, en utilisant le lemme de Schwarz.
2) Pour tout a ∈ D, on définit la fonction ϕa par
ϕa (z) =
z−a
.
1 − az
Calculer les nombres ϕa (a), ϕ0a (0) et ϕ0a (a). Montrer que pour tout a ∈ D, ϕa est un automorphisme
de D dont la réciproque est ϕ−a .
1 La réciproque d’une bijection holomorphe est automatiquement holomorphe, on le verra en TD, c’est une
conséquence du théorème de l’application ouverte.
B. Chauvin et N. Pouyanne, UVSQ 2017, LSMA521
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3) Montrer que f : D → D est un automorphisme de D si, et seulement s’il existe a ∈ U et λ ∈ C,
|λ| = 1, tels que
z−a
∀z ∈ D, f (z) = λ
.
1 − az
4) Facultatif, pour aller plus loin
Trouver une application homographique (i.e., de la forme z 7→
D et le demi-plan de Poincaré
H = {z ∈ C, =(z) > 0}
az+b
cz+d )
qui soit une bijection entre
(le symbole = désigne la partie imaginaire). En déduire tous les automorphismes de H .
B. Chauvin et N. Pouyanne, UVSQ 2017, LSMA521
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