Devoir en temps libre 1 Le lemme de Schwarz 2 - e

UVSQ 2016/2017
Licence de sciences et technologie, sant´e
LSMA521 (analyse complexe)
A rendre le mercredi 2 novembre 2016 en cours
Deux ´etudiants par devoir, r´edaction partag´ee
Devoir en temps libre
On note D={z∈C,|z|<1}le disque unit´e ouvert de C.
1 Le lemme de Schwarz
Soit fune fonction holomorphe sur Dtelle que
f(0) = 0 et ∀z∈D, |f(z)|<1.
1) Montrer que l’application z7→ f(z)
z, d´efinie sur D\{0}, se prolonge en une fonction holomorphe
sur D.
2) Soit r∈]0,1[. Montrer que
f(z)
z
<1
rpour tout ztel que 0 <|z| ≤ r.
3) En d´eduire que |f(z)|≤|z|pour tout z∈D, et que |f0(0)| ≤ 1.
4) On suppose qu’il existe z0∈D, non nul, tel que |f(z0)|=|z0|. Montrer qu’il existe un nombre
complexe λde module 1 tel que f(z) = λz pour tout z∈D.
5) On suppose que |f0(0)|= 1. Montrer qu’il existe un nombre complexe λde module 1 tel que
f(z) = λz pour tout z∈D.
2 Automorphismes du disque
On appelle automorphisme de Dtoute application bijective et holomorphe D→Ddont la
r´eciproque est ´egalement holomorphe1. L’objet de cette partie est de d´eterminer tous les au-
tomorphismes de D.
1) Trouver tous les automorphismes de Dqui fixent 0, en utilisant le lemme de Schwarz.
2) Pour tout a∈D, on d´efinit la fonction ϕapar
ϕa(z) = z−a
1−az .
Calculer les nombres ϕa(a), ϕ0
a(0) et ϕ0 a(a). Montrer que pour tout a∈D,ϕaest un automorphisme
de Ddont la r´eciproque est ϕ−a.
1La r´eciproque d’une bijection holomorphe est automatiquement holomorphe, on le verra en TD, c’est une
cons´equence du th´eor`eme de l’application ouverte.
B. Chauvin et N. Pouyanne, UVSQ 2017, LSMA521 1/2

3) Montrer que f:D→Dest un automorphisme de Dsi, et seulement s’il existe a∈Uet λ∈C,
|λ|= 1, tels que
∀z∈D, f(z) = λz−a
1−az .
4) Facultatif, pour aller plus loin
Trouver une application homographique (i.e., de la forme z7→ az+b
cz+d) qui soit une bijection entre
Det le demi-plan de Poincar´e
H={z∈C,=(z)>0}
(le symbole =d´esigne la partie imaginaire). En d´eduire tous les automorphismes de H.
B. Chauvin et N. Pouyanne, UVSQ 2017, LSMA521 2/2