Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch 2015/2016 Algèbre 10 – Groupe symétrique Exercice 1 – Montrer que Sn est engendré par les transpositions (1 i). Exercice 2 – Soit n > 4. Sn est-il engendré par les 4-cycles ? Exercice 3 – Soit n ∈ N∗ . Sn est-il engendré par les grands cycles ? Exercice 4 – Soit n > 3. Montrer que An est engendré par les 3-cycles. Exercice 5 – 1. Soit (i1 . . . ik ) un cycle de Sn . Déterminer σ ◦ (i1 . . . ik ) ◦ σ −1 , pour tout σ ∈ Sn . 2. Montrer que deux éléments de Sn sont conjugués si et seulement ils ont même type cyclique. Exercice 6 – (Générateurs de Sn et An ) 1. Montrer que les transpositions (1 i), i ∈ [[2, n]], engendent Sn . 2. Montrer que les 3-cycles (1 i j) engendrent An Exercice 7 – (Injection d’un groupe dans un groupe symétrique) Soit G un groupe. Construire un morphisme de groupe injectif de G dans S(G) (groupe des permutations de G). En déduire que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe symétrique. Exercice 8 – (Automorphismes intérieurs de Sn ) 1. Montrer que si n > 3, Z(Sn ) = {id} (Z(G) est le centre de G, donc l’ensemble des éléments g commutant avec tous les autres). 2. Montrer que pour n > 3, IntSn ≃ Sn , où IntG est le groupe des automorphismes intérieurs de G, c’est-à-dire du type h 7→ ghg −1 . Exercice 9 – (Automorphismes de Sn ) 1. On appelle automorphisme intérieur d’un groupe G un morphisme h 7→ ghg −1 . Montrer qu’il s’agit bien d’un automorphisme. 2. On note Int(G) l’ensemble des automorphismes intérieurs de G. Montrer que Int(G) est un groupe. 3. Soit ϕ ∈ AutSn . Montrer que si l’image par ϕ de toute transposition est une transposition, alors ϕ ∈ IntSn . 4. Soit σ ∈ Sn , de type cyclique 1k1 2k2 . . . nkn . Montrer que le cardinal du centralisateur de σ (ensemble des éléments commutant avec σ) est : n Y ki !iki . |c(s)| = i=1 5. Soit ϕ ∈ AutSn . Montrer que si τ est une transposition, ϕ(τ ) est un produit de transpositions à supports disjoints. 6. En déduire que si n 6= 6, AutSn = IntSn . On peut montrer que cette égalité est fausse pour n = 6. Exercice 10 – (Groupes dérivés de Sn et An ) Étant donné un groupe G, on note D(G) le groupe dérivé de G, défini comme le groupe engendré par les éléments xyx−1 y −1 pour (x, y) ∈ G2 (appelés commutateurs). Il s’agit donc du plus petit sous-groupe de G contenant tous ces éléments. On se fixe n > 5. 1. Montrer que D(An ) ⊂ D(Sn ) ⊂ An . 2. Montrer que les 3-cycles sont conjugués dans An . 3. En considérant σ et σ 2 , en déduire que tout 3-cycle σ est un commutateur 4. En déduire que D(Sn ) = D(An ) = An . 1