Groupe symétrique

Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2015/2016
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Algèbre 10 – Groupe symétrique
Exercice 1 – Montrer que Snest engendré par les transpositions (1 i).
Exercice 2 – Soit n>4.Snest-il engendré par les 4-cycles ?
Exercice 3 – Soit n∈N∗.Snest-il engendré par les grands cycles ?
Exercice 4 – Soit n>3. Montrer que Anest engendré par les 3-cycles.
Exercice 5 –
1. Soit (i1. . . ik)un cycle de Sn. Déterminer σ◦(i1. . . ik)◦σ−1, pour tout σ∈Sn.
2. Montrer que deux éléments de Snsont conjugués si et seulement ils ont même type cyclique.
Exercice 6 –(Générateurs de Snet An)
1. Montrer que les transpositions (1 i),i∈[[2, n]], engendent Sn.
2. Montrer que les 3-cycles (1 i j)engendrent An
Exercice 7 –(Injection d’un groupe dans un groupe symétrique)
Soit Gun groupe. Construire un morphisme de groupe injectif de Gdans S(G)(groupe des permutations de G). En déduire
que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe symétrique.
Exercice 8 –(Automorphismes intérieurs de Sn)
1. Montrer que si n>3,Z(Sn) = {id}(Z(G)est le centre de G, donc l’ensemble des éléments gcommutant avec tous
les autres).
2. Montrer que pour n>3,IntSn≃Sn, où IntGest le groupe des automorphismes intérieurs de G, c’est-à-dire du type
h7→ ghg−1.
Exercice 9 –(Automorphismes de Sn)
1. On appelle automorphisme intérieur d’un groupe Gun morphisme h7→ ghg−1. Montrer qu’il s’agit bien d’un auto-
morphisme.
2. On note Int(G)l’ensemble des automorphismes intérieurs de G. Montrer que Int(G)est un groupe.
3. Soit ϕ∈AutSn. Montrer que si l’image par ϕde toute transposition est une transposition, alors ϕ∈IntSn.
4. Soit σ∈ Sn, de type cyclique 1k12k2...nkn. Montrer que le cardinal du centralisateur de σ(ensemble des éléments
commutant avec σ) est :
|c(s)|=
n
Y
i=1
ki!iki.
5. Soit ϕ∈AutSn. Montrer que si τest une transposition, ϕ(τ)est un produit de transpositions à supports disjoints.
6. En déduire que si n6= 6,AutSn= IntSn. On peut montrer que cette égalité est fausse pour n= 6.
Exercice 10 –(Groupes dérivés de Snet An)
Étant donné un groupe G, on note D(G)le groupe dérivé de G, défini comme le groupe engendré par les éléments xyx−1y−1
pour (x, y)∈G2(appelés commutateurs). Il s’agit donc du plus petit sous-groupe de Gcontenant tous ces éléments. On se
fixe n>5.
1. Montrer que D(An)⊂D(Sn)⊂An.
2. Montrer que les 3-cycles sont conjugués dans An.
3. En considérant σet σ2, en déduire que tout 3-cycle σest un commutateur
4. En déduire que D(Sn) = D(An) = An.
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