Groupe symétrique

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2015/2016
Algèbre 10 – Groupe symétrique
Exercice 1 – Montrer que Sn est engendré par les transpositions (1 i).
Exercice 2 – Soit n > 4. Sn est-il engendré par les 4-cycles ?
Exercice 3 – Soit n ∈ N∗ . Sn est-il engendré par les grands cycles ?
Exercice 4 – Soit n > 3. Montrer que An est engendré par les 3-cycles.
Exercice 5 –
1. Soit (i1 . . . ik ) un cycle de Sn . Déterminer σ ◦ (i1 . . . ik ) ◦ σ −1 , pour tout σ ∈ Sn .
2. Montrer que deux éléments de Sn sont conjugués si et seulement ils ont même type cyclique.
Exercice 6 – (Générateurs de Sn et An )
1. Montrer que les transpositions (1 i), i ∈ [[2, n]], engendent Sn .
2. Montrer que les 3-cycles (1 i j) engendrent An
Exercice 7 – (Injection d’un groupe dans un groupe symétrique)
Soit G un groupe. Construire un morphisme de groupe injectif de G dans S(G) (groupe des permutations de G). En déduire
que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe symétrique.
Exercice 8 – (Automorphismes intérieurs de Sn )
1. Montrer que si n > 3, Z(Sn ) = {id} (Z(G) est le centre de G, donc l’ensemble des éléments g commutant avec tous
les autres).
2. Montrer que pour n > 3, IntSn ≃ Sn , où IntG est le groupe des automorphismes intérieurs de G, c’est-à-dire du type
h 7→ ghg −1 .
Exercice 9 – (Automorphismes de Sn )
1. On appelle automorphisme intérieur d’un groupe G un morphisme h 7→ ghg −1 . Montrer qu’il s’agit bien d’un automorphisme.
2. On note Int(G) l’ensemble des automorphismes intérieurs de G. Montrer que Int(G) est un groupe.
3. Soit ϕ ∈ AutSn . Montrer que si l’image par ϕ de toute transposition est une transposition, alors ϕ ∈ IntSn .
4. Soit σ ∈ Sn , de type cyclique 1k1 2k2 . . . nkn . Montrer que le cardinal du centralisateur de σ (ensemble des éléments
commutant avec σ) est :
n
Y
ki !iki .
|c(s)| =
i=1
5. Soit ϕ ∈ AutSn . Montrer que si τ est une transposition, ϕ(τ ) est un produit de transpositions à supports disjoints.
6. En déduire que si n 6= 6, AutSn = IntSn . On peut montrer que cette égalité est fausse pour n = 6.
Exercice 10 – (Groupes dérivés de Sn et An )
Étant donné un groupe G, on note D(G) le groupe dérivé de G, défini comme le groupe engendré par les éléments xyx−1 y −1
pour (x, y) ∈ G2 (appelés commutateurs). Il s’agit donc du plus petit sous-groupe de G contenant tous ces éléments. On se
fixe n > 5.
1. Montrer que D(An ) ⊂ D(Sn ) ⊂ An .
2. Montrer que les 3-cycles sont conjugués dans An .
3. En considérant σ et σ 2 , en déduire que tout 3-cycle σ est un commutateur
4. En déduire que D(Sn ) = D(An ) = An .
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