ex.11 et 14 du TD3 - IMJ-PRG

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
LM 371 (Algèbre 1) Automne 2012
Correction du TD n◦3.
Exercice 11 (sous-groupes caractéristiques).Un sous-groupe Hd’un groupe Gest dit caractéristique
si pour tout α∈Aut(G),α(H) = H(voir l’Exercice 4). On note cela HJG.
a) Montrer que le centre Z(G), le dérivé D(G)sont caractéristiques.
b) Montrer que si HJG, alors H  G. Donner un contre-exemple à la réciproque.
c) Montrer que si KJHJG, alors KJG. Montrer que c’est faux avec des .
d) Montrer que si KJH  G, alors K  G. A-t-on KJG?
e) On suppose KJGet K≤H. A-t-on KJH?
Solution.
a) – Le centre est caractéristique :
En effet soient z∈Z(G)et α∈Aut(G). On montre que α(z)∈Z(G). Si y∈Gest quelconque, il
existe x∈Gtel que y=α(x)(car αest surjectif). Comme z∈Z(G), on a xz =zx. Appliquant
le morphisme α, on trouve α(x)α(z) = α(z)α(x), c’est-à-dire que α(z)commute avec y. Comme
yest arbitraire, on a bien α(z)∈Z(G), et Z(G)est donc caractéristique dans G.
– Le dérivé est caractéristique :
Appelons commutateur tout élément de la forme xyx−1y−1(souvent noté [x, y]). Soit Cl’en-
semble des commutateurs de G. Par définition, D(G)est le sous-groupe de Gengendré par les
commutateurs : D(G) = hCi.
Soient alors z=xyx−1y−1∈Cun commutateur et α∈Aut(G). On a α(z) = α(xyx−1z−1) =
α(x)α(y)α(x)−1α(y)−1(commode à noter [α(x), α(y)]), et c’est encore un commutateur. Donc
si z∈C, alors α(z)∈C⊆ hCi=D(G). Ceci signifie que α(C)⊆D(G). Comme αest un
morphisme, on a α(D(G)) ≤D(G);D(G)est donc caractéristique dans G.
b) Il est clair que si HJG, alors H  G. En effet, si Hest caractéristique dans G, alors il est stable
par tout automorphisme de G. En particulier, pour tout g∈G,Hest stable par l’automorphisme
de conjugaison ϕg:x7→ gxg−1. Ceci signifie que pour tout g∈G,gHg−1=H, et c’est la définition
de H  G.
La réciproque est pourtant fausse. Partons du groupe de Klein G= (Z/2Z)2={0, a, b, a +b}. Il est
abélien, donc tout sous-groupe est distingué. Pourtant il existe un automorphisme de Gqui échange
aet b. Donc hai G, mais il n’est pourtant pas caractéristique.
c) On suppose KJHJG; montrons KJG.
Soit en effet α∈Aut(G)un automorphisme de G; on veut montrer que α(K) = K. Or comme H
est caractéristique dans G, on a déjà α(H) = H.αse restreint donc en un automorphisme de H
(classiquement noté α|H∈Aut(H)). Comme Kest caractéristique dans H, on a α|H(K) = K. Mais
comme on a juste pris une restriction, c’est aussi α(K) = K, ce qui signifie que Kest caractéristique
dans G.
Cette propriété de « transitivité » n’est pourtant pas vraie avec des sous-groupes distingués. Voici
un contre-exemple (le lecteur doit faire les calculs). On considère G=A4, qui contient H=
{Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}, qui contient K=h(12)(34)i={Id,(12)(34)}. Observons que K 
H  G. Pourtant, on peut voir que Kn’est pas distingué dans G, par exemple en conjuguant par
(123) ∈G.
d) On suppose à présent KJH  G ; montrons K  G.
C’est un peu comme précédemment. Soit g∈G; on veut montrer que gKg−1=K, ou en termes
plus abstraits que ϕg(K) = Kpour l’automorphisme de conjugaison par g. Or H  G, donc Hest
stable par ϕg;ϕgse restreint donc à Hen un automorphisme β∈Aut(H).
Attention, βn’est pas forcément un automorphisme « intérieur » à H, dans le sens qu’il
n’existe pas forcément de h∈Htel que β=ϕh. C’est précisément pour cela que « la
distinction n’est pas transitive ».
Comme Kest caractéristique dans H, on a quand même β(K) = K, c’est-à-dire que ϕg(K) = K:
Kest donc distingué dans G.
C’est en revanche faux avec « caractéristique » : je peux ne pas me fouler, et prendre n’importe
quel sous-groupe Hdistingué non caractéristique (cela existe, on l’a vu). Puis je prends K=H. . ..
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e) Plus technique ; faux. L’idée intuitive est que la structure H < G peut être moins rigide, et posséder
beaucoup plus d’automorphismes (en particulier, certains automorphismes de Hne se prolongeront
pas en automorphismes de G).
C’est le cas, par exemple, de G= GL2(C). Son centre est K={λId : λ∈C×}; on sait que KJG.
Mais aussi K < H ={matrices diagonales}. On voit que H=K⊕K2, où K2'K, et qu’il existe
des automorphismes de Héchangeant Ket K2. (Ne vous inquiétez pas, il m’a fallu 15 minutes pour
trouver cela.)
Naturellement, la propriété suggérée serait vraie en remplaçant partout « caractéristique » par
« distingué ».
Exercice 14. Soit f:G→G0un morphisme de groupes. Soit Hun sous-groupe distingué de G.
On suppose H≤ker f. Montrer que finduit un morphisme de groupes ¯ f:G/H →G0. Montrer la
réciproque : s’il existe un morphisme ¯ f:G/H →G0tel que ¯ f◦π=f, alors H≤ker f.
Solution. On désire construire un morphisme de groupes ¯ f:G/H →G0en lien avec la question. Quelle
doit être l’image d’une classe c∈G/H ? Si g∈c, on doit certainement avoir ¯ f=f(g); on voit mal ce
qu’on peut faire d’autre.
Soit donc ¯ f:G/H →G0qui à une classe c∈G/H associe f(g)pour n’importe quel g∈c.
– C’est bien défini car si g1, g2∈c, on a g−1
1g2∈H≤ker f, donc f(g−1 1g2)=1et f(g1) = f(g2). En
clair, notre construction de ¯ f(c)ne dépend pas du représentant choisi dans c:¯ fest bien définie.
– Il reste à montrer que ¯ fest un morphisme de groupes. En effet, soient c1, c2∈G/H deux classes et
g1∈c1, g2∈c2des représentants. On a :
¯
f(c1)·¯ f(c2) = f(g1)·f(g2) = f(g1g2)
Mais d’autre part, c1·c2=g1H·g2H=g1g2·H, donc g1g2∈c1c2. En particulier, ¯ f(c1·c2) = f(g1g2).
En conclusion : ¯
f(c1)·¯ f(c2) = ¯ f(c1·c2)
et ¯ fest un morphisme de groupes.
Réciproque. On suppose qu’il existe un morphisme ¯ f:G/H →G0tel que ¯ f◦π=f. Montrons que
H≤ker f.
C’est en fait immédiat. Si h∈H, alors π(h) = ¯ 1(classe de hmodulo H). Donc f(h) = ( ¯ f◦π)(h) =
¯
f(¯ 1) = 1 car ¯ fest un morphisme de groupes.
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