Sinus et Cosinus. Fonctions + 0 π 6 π 4 π 3 π 2 5π 6 3π 4 2π 3 π 7π

Seconde Sinus et Cosinus. Fonctions 2010-2011
+
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
π
7π
6
5π
44π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
De l’enroulement de la droite des réels sur le cercle
trigonométrique, on en déduit les positions sur le cercle de
valeurs particulières comprises entre 0 et 2π(voir ci-contre).
Exemple 1 :
1. Déterminer le point Mdu cercle associé au réel 17π
4.
2. Même question avec le réel −14π
3
M
x
cos x
sin x
C
−→
j
−→
i
xx
O
A
Soit x∈]−π, π].
Au point Ade la droite des réels d’abscisse xcorrespond
un point Mdu cercle trigonométrique et un angle au centre
\
OCM tels que :
OA =|x|(en u.l) ;
⌢
OM =|x|(en u.l) ;
\
OCM =x(en rad)
Définition 1 :
Le cosinus du nombre réel xest l’abscisse du point M: il
est noté cos x.
Le sinus du nombre réel xest l’ordonnée du point M: il
est noté sin x.
Remarque 1 : Soit k∈Z.
Si xn’est pas dans ] −π, π], il existe ktel que x+k×2π∈
]−π, π] (enroulement) et les deux points correspondants du
cercle sont confondus donc :
cos(x+k×2π) = cos xet sin(x+k×2π) = sin x
Propriété 1 : Pour tout nombre réel x.
•sin2x+ cos2x= 1
• −16sin x61 et −16cos x61
•sin(−x) = −sin xet cos(−x) = cos x
x
−x
sin x
−sin x
x
−x
cos x
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Seconde Sinus et Cosinus. Fonctions 2010-2011
Remarque 2 : Avec la remarque 1 et le 3ème item de la propriété 1, la connaissance des valeurs de sinus et de cosinus
entre 0 et πest suffisante pour connaître sin xet cos x , ∀x∈R.
Des valeurs particulières à connaître :
x0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
cos x
sin x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
−π
7π
6
5π
4
4π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
1
2
√2
2
√3
2
0
−1
2
−√2
2
−√3
2
1
2
√2
2
√3
2
−1
2
−√2
2
−√3
2
Équations trigonométriques :
Soit αun réel donné.
sin x= sin α⇔
x=α+k×2π
x=π−α+k×2π
α
α+k×2ππ −α+k×2π
sin x
cos x= cos α⇔
x=α+k×2π
x=−α+k×2π
α
α+k×2π
−α+k×2π
cos x
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Seconde Sinus et Cosinus. Fonctions 2010-2011
Exemple 2 :
Résoudre cos x=1
2dans l’intervalle ] −2π; 2π].
Résoudre √2 sin x+ 1 = 0 dans l’intervalle ] −π; 3π].
Fonctions Sinus et Cosinus
Définition 2 : Pour tout xréel, en associant à xla valeur sin x, on définit la fonction sin.
sin : x7−→ sin x
1
−1
−2
0π
2
π
Définition 3 : Pour tout xréel, en associant à xla valeur cos x, on définit la fonction cos.
cos : x7−→ cos x
1
−1
−2
0π
2
π
Courbes complètes des deux fonctions
1
−1
π
2
π
−π
2
−π
−2π
−2π
2π
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