Sinus et Cosinus. Fonctions Seconde 3π 4 π 2 2π 3 π 3 De l’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique, on en déduit les positions sur le cercle de valeurs particulières comprises entre 0 et 2π (voir ci-contre). π 4 π 6 5π 6 2010-2011 + Exemple 1 : π 0 11π 6 7π 6 5π 4 4π 3 5π 3 3π 2 1. Déterminer le point M du cercle associé au réel 2. Même question avec le réel − 17π . 4 14π 3 7π 4 Soit x ∈] − π, π]. Au point A de la droite des réels d’abscisse x correspond un point M du cercle trigonométrique et un angle au centre \ tels que : OCM M A OA = |x| (en u.l) ; ⌢ OM = |x| (en u.l) ; \ = x (en rad) OCM sin x x − → j x x − → i O C cos x Définition 1 : Le cosinus du nombre réel x est l’abscisse du point M : il est noté cos x . Le sinus du nombre réel x est l’ordonnée du point M : il est noté sin x . Remarque 1 : Soit k ∈ Z. Si x n’est pas dans ] − π, π], il existe k tel que x + k × 2π ∈ ]− π, π] (enroulement) et les deux points correspondants du cercle sont confondus donc : cos(x + k × 2π) = cos x et sin(x + k × 2π) = sin x Propriété 1 : Pour tout nombre réel x. • • • sin2 x + cos2 x = 1 −1 6 sin x 6 1 et −1 6 cos x 6 1 sin(−x) = − sin x et cos(−x) = cos x x x sin x cos x − sin x My Maths Space −x −x 1 sur 3 Sinus et Cosinus. Fonctions Seconde 2010-2011 Remarque 2 : Avec la remarque 1 et le 3ème item de la propriété 1, la connaissance des valeurs de sinus et de cosinus entre 0 et π est suffisante pour connaître sin x et cos x , ∀x ∈ R. Des valeurs particulières à connaître : 0 x π 4 π 6 π 3 2π 3 π 2 3π 4 5π 6 π cos x sin x 2π 3 π 2 3π 4 √ 3 2 √ 2 2 b b 5π 6 −π √ √ 3 − 22 2 b b − 21 b π 4 1 2 b − π 3 0 7π 6 π 6 √ 2 2b 1 2b √ 3 2b 0 11π 6 b − 21 b √ 2 2 b √ − 23 − 5π 4 4π 3 3π 2 7π 4 5π 3 Équations trigonométriques : Soit α un réel donné. sin x = sin α ⇔ π − α + k × 2π x = α + k × 2π x = π − α + k × 2π sin x α + k × 2π α cos x = cos α ⇔ x = α + k × 2π x = −α + k × 2π α + k × 2π α cos x −α + k × 2π My Maths Space 2 sur 3 Sinus et Cosinus. Fonctions Seconde 2010-2011 Exemple 2 : 1 Résoudre cos x = dans l’intervalle ] − 2π; 2π]. 2 √ Résoudre 2 sin x + 1 = 0 dans l’intervalle ] − π; 3π]. Fonctions Sinus et Cosinus Définition 2 : Pour tout x réel, en associant à x la valeur sin x, on définit la fonction sin. sin : x 7−→ sin x 1 0 −1 π 2 π −2 Définition 3 : Pour tout x réel, en associant à x la valeur cos x, on définit la fonction cos. cos : x 7−→ cos x 1 0 −1 π 2 π −2 Courbes complètes des deux fonctions −2π −π − π 2 1 π 2 −1 π −2π 2π My Maths Space 3 sur 3