Programme de colle 15 : semaine du 20/01 au 24/01 Chapitre 10

PCSI 2013-2014 Mathématiques Lycée Bertran de Born
Programme de colle 15 : semaine du 20/01 au 24/01
Thèmes
•Réels et suites de nombres réels ;
•Complexes et géométrie plane.
Chapitre 10. Nombres réels & suites de nombres réels
BVous devez revoir le TD 0 sur le calcul numérique.
1. Les nombres réels
1. Rappels sur l’ensemble Rdes nombres réels : Rest muni d’une valeur absolue (propriétés) ; intervalles
dans R; inégalités.
2. Définition d’une borne supérieure (et inférieure) d’une partie de R. Propriété : toute partie non vide
et majorée de Radmet une borne supérieure. Définition de la droite achevée R=R∪ {−∞,+∞}.
3. Partie entière d’un nombre réel : définition. Développement décimal.
2. Suites de nombres réels : généralités
1. Vocabulaire (suites monotones, bornées...) ; opérations sur les suites.
2. Suites arithmétiques et suites géométriques. Étude des suites arithmético-géométrique un+1 =aun+
bet u0∈C. Expression du terme unen fonction de n. Convergence.
3. Notions de limites
1. Limite d’une suite : définition quantifiée. On dit que (un)nconverge vers une limite `∈Rlorsque :
∀ε > 0,∃Nε≥0tel que n≥Nε⇒ |un−`|< ε
?Conséquences :lim un=lssi lim |un−l|= 0 ; unicité de la limite ; le produit d’une suite bornée
par une suite qui converge vers 0, converge vers 0; toute suite convergente est bornée.
?Opérations algébriques sur les limites.
?Comparaison de suites convergentes (comparaison des limites). Théorème d’encadrement.
2. Limites infinies.
?Définitions quantifiée de lim un= +∞et lim un=−∞.
lim un= +∞⇔∀A∈R,∃NA∈Ntel que n≥NA⇒un≥A
?Règles de calcul (attention aux formes indéterminées). Comparaison.
3. Suites extraites. Définition. Propriété : toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la
même limite.
4. Théorèmes d’existence de limite
1. Théorèmes des suites monotones : « toute suite croissante et majorée est convergente » ; « toute suite
croissante et non majorée diverge vers +∞».
2. Suites adjacentes : définition et théorème « deux suites adjacentes convergent vers la même limite ».
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5. Relations de comparaison
1. Relations « petit o » et « grand O ». Lorsque (vn)nne s’annule pas à partir d’un certain rang, on
dit que :
•un=O(vn)lorsque un
vnnest bornée.
•un=o(vn)lorsque lim un
vn= 0.
Principales propriétés et règles de calcul (à déduire des définitions).
2. Relation d’équivalence. Lorsque (un)net (vn)nne s’annulent pas à partir d’un certain rang, on dit
que :
•un∼vnlorsque lim un
vn= 1.
un∼vn⇔un=vn+o(vn)
Principales propriétés et règles de calcul (symétrie, transitivité, produit, exposants...).
Si un∼vnet lim vn=`alors lim un=`.
3. Comparaisons des suites usuelles (croissances comparées) : 1,ln(n)α,nβ,ana > 0,n!.
Chapitre 11. Nombres complexes II : compléments
BRevoir le chapitre 3 sur les nombres complexes.
0. Rappels
Dictionnaire : plan euclidien muni d’un repère ON direct - ensemble C. Expression complexe pour une distance,
un angle ; conditions d’alignement et d’orthogonalité.
1. Racines n-ièmes dans C
1. Soit n∈N∗. Racines n-ièmes de l’unité. Définition et écriture trigonométrique : e2ikπ
n, k = 0...n −1.
Somme. Représentation dans le plan complexe.
2. Définition d’une racine n-ième. Théorème d’existence pour tout complexe non nul de nracines n-ièmes
distinctes ; méthode de détermination pratique (passage en notation exponentielle).
2. Écriture complexe des transformations du plan
Écriture complexe : d’une translation ; d’une homotéthie de centre O; d’une rotation de centre O; de la symétrie
d’axe (Ox).
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