Mathématiques PCSI 2013-2014 Lycée Bertran de Born Programme de colle 15 : semaine du 20/01 au 24/01 • • Thèmes Réels et suites de nombres réels ; Complexes et géométrie plane. Chapitre 10. Nombres réels & suites de nombres réels BVous devez revoir le TD 0 sur le calcul numérique. 1. Les nombres réels 1. Rappels sur l’ensemble R des nombres réels : R est muni d’une valeur absolue (propriétés) ; intervalles dans R ; inégalités. 2. Définition d’une borne supérieure (et inférieure) d’une partie de R. Propriété : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. Définition de la droite achevée R = R ∪ {−∞, +∞}. 3. Partie entière d’un nombre réel : définition. Développement décimal. 2. Suites de nombres réels : généralités 1. Vocabulaire (suites monotones, bornées...) ; opérations sur les suites. 2. Suites arithmétiques et suites géométriques. Étude des suites arithmético-géométrique un+1 = aun + b et u0 ∈ C. Expression du terme un en fonction de n. Convergence. 3. Notions de limites 1. Limite d’une suite : définition quantifiée. On dit que (un )n converge vers une limite ` ∈ R lorsque : ∀ε > 0, ∃Nε ≥ 0 tel que n ≥ Nε ⇒ |un − `| < ε ? Conséquences : lim un = l ssi lim |un − l| = 0 ; unicité de la limite ; le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0, converge vers 0 ; toute suite convergente est bornée. ? Opérations algébriques sur les limites. ? Comparaison de suites convergentes (comparaison des limites). Théorème d’encadrement. 2. Limites infinies. ? Définitions quantifiée de lim un = +∞ et lim un = −∞. lim un = +∞ ⇔ ∀A ∈ R, ∃NA ∈ N tel que n ≥ NA ⇒ un ≥ A ? Règles de calcul (attention aux formes indéterminées). Comparaison. 3. Suites extraites. Définition. Propriété : toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite. 4. Théorèmes d’existence de limite 1. Théorèmes des suites monotones : « toute suite croissante et majorée est convergente » ; « toute suite croissante et non majorée diverge vers +∞ ». 2. Suites adjacentes : définition et théorème « deux suites adjacentes convergent vers la même limite ». 1 Mathématiques PCSI 2013-2014 Lycée Bertran de Born 5. Relations de comparaison 1. Relations « petit o » et « grand O ». Lorsque (vn )n ne s’annule pas à partir d’un certain rang, on dit que : est bornée. • un = O(vn ) lorsque uvnn n • un = o(vn ) lorsque lim uvnn = 0. Principales propriétés et règles de calcul (à déduire des définitions). 2. Relation d’équivalence. Lorsque (un )n et (vn )n ne s’annulent pas à partir d’un certain rang, on dit que : • un ∼ vn lorsque lim uvnn = 1. un ∼ vn ⇔ un = vn + o(vn ) Principales propriétés et règles de calcul (symétrie, transitivité, produit, exposants...). Si un ∼ vn et lim vn = ` alors lim un = `. α 3. Comparaisons des suites usuelles (croissances comparées) : 1, ln(n) , nβ , an a > 0, n!. Chapitre 11. Nombres complexes II : compléments BRevoir le chapitre 3 sur les nombres complexes. 0. Rappels Dictionnaire : plan euclidien muni d’un repère ON direct - ensemble C. Expression complexe pour une distance, un angle ; conditions d’alignement et d’orthogonalité. 1. Racines n-ièmes dans C 1. Soit n ∈ N∗ . Racines n-ièmes de l’unité. Définition et écriture trigonométrique : e Somme. Représentation dans le plan complexe. 2ikπ n , k = 0...n − 1. 2. Définition d’une racine n-ième. Théorème d’existence pour tout complexe non nul de n racines n-ièmes distinctes ; méthode de détermination pratique (passage en notation exponentielle). 2. Écriture complexe des transformations du plan Écriture complexe : d’une translation ; d’une homotéthie de centre O ; d’une rotation de centre O ; de la symétrie d’axe (Ox). 2