Interrogation du 7 novembre 2013

Universit´es Paris 6 et Paris 7
M1 MEEF
Analyse (UE 3)
2013-2014
Interrogation du 7 novembre 2013
Dur´ee : 1 heure.
Bar`eme indicatif : 4 + 12 + 8
Question de cours
Soit (un)n∈Nune suite r´eelle convergente. Montrer que la suite (un)n∈Nest born´ee.
Exercice 1
Soient aet bdeux nombres r´eels tels que a>b>0 .
a) Montrer qu’on peut d´efinir deux suites r´eelles (an)n∈Net (bn)n∈Npar a0=a,b0=bet :
an+1 =an+bn
2et bn+1 =panbnpour tout n∈N.
b) D´emontrer que pour n∈N, on a :
06bn6bn+1 6an+1 6an.
c) D´emontrer que pour n∈N, on a :
an+1 −bn+1 61
2(an−bn).
d) D´emontrer que les suites (an)n∈Net (bn)n∈Nsont toutes les deux convergentes et qu’elles
ont la mˆeme limite.
Exercice 2
Soit f:R→Rla fonction d´efinie par :
f(x) = xsin(x) pour tout x∈R.
a) Montrer qu’il existe une suite (xn)n∈Ntendant vers +∞telle que la suite f(xn)n∈Ntend
vers +∞et qu’il existe une suite (yn)n∈Ntendant vers +∞telle que la suite f(yn)n∈Ntend
vers −∞ .
b) La fonction fadmet-elle une limite en +∞?
c) Soit c∈R. D´emontrer qu’il existe une suite (zn)n∈Ntendant vers +∞v´erifiant : f(zn) = c
`a partir d’un certain rang.
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