Algèbre linéaire: généralités 1. E = C(R,R) . Pour tout entier n, on dé

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Algèbre linéaire: généralités
2014 − 2015
1. E = C(R, R) . Pour tout entier n, on dénit : fn : x 7→ cos(2x + n). Étudier,
pour N xé, la liberté de la famille (f0 , ..., fN ).
2. F1 etF2 sont deux sev d'un même K-ev E . Montrer que : F1 ∪ F2 est un sev
ssi F1 ⊂ F2 ou F2 ⊂ F1 et F1 ∩ F2 = F1 + F2 ssi F1 = F2 .
3. E = F (R, C)..Étudier la liberté de la famille de fonctions suivante :
ep : x 7→ exp(ipx) pour p ∈ Z.
4. E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 / − x − 2y + 2z + t = 0}, D = V ect((1, 2, 1, 1)) . E1 et
D sont-ils en somme directe ? De même étudier
F1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 /2x − y + z = y − 2z + t = 0} et
F2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x + 2y − t = x + 2z − t = 0}.
Base et dimension de F1 , F2 .Sont-ils en somme directe ? Dans le cas où les
espaces précédents sont en somme directe, déterminer l'expression des projections associées.
5. On dénit une famille de polynômes de R[X] par B0 = 1 et, pour tout entier
strictement positif p, Bp = X(X − 1)...(X − p + 1). Montrer que la famille
(Bp )p∈N est une base de R[X]. Déterminer alors tous les polynômes à coecients réels qui prennent une valeur entière en tout point de Z.
6. E = C([0, 2], R), F est le sev de E formé des fonctions f de E dont la restriction
à chacun des intervalles [0,1] et [1,2 ] est un polynôme de degré au plus 2.
Montrer que F est un sev de dimension nie dont on déterminera le dimension.
7. E est un K-ev de dimension n, n > 0 , et (e1 , ..., en ) est une base de E .
(λ1 , λ2 , ..., λn ) est un élément de K n . Pour tout i, i = 1..n, on note ui = u + ei
où u est le vecteur u =
n
∑
λi ei .
i=1
Montrer que (u1 , ..., un ) est une base de E ssi
n
∑
λ1 ̸= −1 .
i=1
8. Soit E, F deux K-ev et f ∈ L(E, F ). Soit G un supplémentaire dans E de
ker f et f˜ la restriction de f à G. Montrer que f˜ dénit une bijection de G
dans Im f .
9. E est un K-ev de dimension nie et f ∈ L(E). Montrer que Im(f ) admet un
−
→
supplémentaire dans E stable par f si et seulement si Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0E }.
Montrer que, dans ces conditions, Kerf est l'unique supplémentaire de Imf
stable par f .
10. E est un K-ev de dimension nie et f ∈ L(E) Montrer que les deux propriétés
suivantes sont équivalentes :
(i) : f 2 = O et
(ii) : ∃(g, h) ∈ (L(E))2 /g ◦ h = f et h ◦ g = O
11. E est un K -ev de dimension nie n > 0. f1 , ..., fn sont n formes linéaires. On
suppose qu'il existe un vecteur x ∈ E tel que , ∀i ∈ {1, ..., n}, fi (x) = 0.
Montrer que les n formes sont liées.
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12. Peut-on déterminer deux éléments non nuls de E ∗ , f et g , tels que ∀x ∈ E ,
f (x)g(x) = 0 ?
13. E = {suites réelles convergentes }.
(a) Pour tout i ∈ N , on note φi :
E
→ R
. Vérier que φi ∈ E ∗ .
(un )n∈N 7→ ui
Montrer que la famille (φi )i∈N est libre.
E
→
R
. La forme linéaire ψ est-elle combinaison
(un )n∈N 7→ lim un
linéaire des φi ?
(b) Soit ψ :
14. E = R3 . Soit P1 : 3x − 2y + z = 0 et P2 : x + 3y − z = 0. On note D = P1 ∩ P2 .
Déterminer par leur équation dans la base canonique tous les plans P qui
contiennent D.
15. E = R3 [X], a et b sont deux réels. On dénit quatre formes linéaires : φ1 :
P 7→ P (a) φ1 : P 7→ P ′ (a) φ1 : P 7→ P (b) φ1 : P 7→ P ′ (b).
Montrer que la famille forme une base de E ∗ .
Déterminer une base (e1 , e2 , e3 , e4 ) de E telle que, pour tout i, tout j :
φi (ej ) = δi,j .
16. E est un espace vectoriel de dimension n, F, G deux sev de E . On note Φ
l'application qui à tout u ∈ L(E) associe (u/F , u/G ) dans L(F, E) × L(G, E).
A quelle condition l'application Φ est-elle surjective ?
17. Soit E = R[X] et L qui à tout P de E associe
L(P ) = P (X + 1) + P (X − 1) − 2P (X). Montrer que L est linéaire et non
injective. Déterminer le degré de L(P ) quand deg(P ) = n > 1. En déduire le
noyau de L. Montrer que L est surjective.
18. E, F, G sont trois K -ev de dimension nie. u ∈ L(E, F ), v ∈ L(F, G).
(a) Montrer que rg(v ◦ u) ≤ inf(rg(u), rg(v))
(b) En utilisant v ′ = v/u(E) , montrer que rg(u) + rg(v) − dim(F ) ≤ rg(v ◦ u).
19. p et n sont deux entiers avec p ≤ n. On considère f ∈ L(Rn , Rp ) et g ∈
L(Rp , Rn ) tels que f ◦ g = IdRp . Déterminer le rang et la nature de g ◦ f .
20. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension nie, et f ∈ L(E, F ).
(a) On suppose que f est un isomorphisme. Montrer que, pour tout g ∈
L(F, E), rg(f ◦ g) = rg(g ◦ f ) (où rg désigne le rang).
(b) On suppose que, pour tout g ∈ L(F, E), rg(f ◦ g) = rg(g ◦ f ), et que
f ̸= 0. Soit x0 ∈ E un vecteur tel que f (x0 ) ̸= 0.
i. On suppose que Im(f ) ̸= F . Construire g ∈ L(F, E) tel que g ◦ f = 0
et f ◦ g ̸= 0. En déduire que f est surjective.
ii. Déduire de i) que rg(f ◦g) = rg(g) pour tout g ∈ L(F, E), et montrer
nalement que f est un isomorphisme.