Algèbre linéaire: généralités PC* 2015 − 2016 1. E est un K-ev de dimension n, n > 0 et f ∈ L(E) est de rang 1. (a) Montrer qu'il existe a ∈ E , non nul, et ϕ,application linéaire de E dans K (forme linéaire) vériant : ∀x ∈ E, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. f (x) = ϕ(x).a (b) Soit g = IdE + tf , t ∈ K . Etudier si g est inversible. E = C(R, R) . Pour tout entier n, on dénit : fn : x 7→ cos(2x + n). Étudier, pour N xé, la liberté de la famille (f0 , ..., fN ). F1 etF2 sont deux sev d'un même K-ev E . Montrer que : F1 ∪ F2 est un sev ssi F1 ⊂ F2 ou F2 ⊂ F1 et F1 ∩ F2 = F1 + F2 ssi F1 = F2 . E, F, G sont trois K -ev de dimension nie. u ∈ L(E, F ), v ∈ L(F, G). (a) Montrer que rg(v ◦ u) ≤ inf(rg(u), rg(v)) (b) En utilisant v 0 = v/u(E) , montrer que rg(u) + rg(v) − dim(F ) ≤ rg(v ◦ u). E = F (R, C).Etudier la liberté de la famille de fonctions suivante : ep : x 7→ exp(ipx) pour p ∈ Z. f, g sont deux endomorphismes d'un espace E de dimension nie qui vérient : E = Im(f ) + Im(g) = Ker(f ) + Ker(g). Montrer que ces deux sommes sont directes. E1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 / − x − 2y + 2z + t = 0}, D = V ect((1, 2, 1, 1)) . E1 et D sont-ils en somme directe ? De même étudier F1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 /2x − y + z = y − 2z + t = 0} et F2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x + 2y − t = x + 2z − t = 0}. Base et dimension de F1 , F2 .Sont-ils en somme directe ? Dans le cas où les espaces précédents sont en somme directe, déterminer l'expression des projections associées. On dénit une famille de polynômes de R[X] par B0 = 1 et, pour tout entier strictement positif p, Bp = X(X − 1)...(X − p + 1). Montrer que la famille (Bp )p∈N est une base de R[X]. Déterminer alors tous les polynômes à coecients réels qui prennent une valeur entière en tout point de Z. E, F sont deux K-ev de dimension nie et W un sev de E . Soit A = {u ∈ L(E, F )/W ⊂ Ker(u)}. Montrer que A est un sev de L(E, F ) dont on déterminera la dimension. E = C([0, 2], R), F est le sev de E formé des fonctions f de E dont la restriction à chacun des intervalles [0,1] et [1,2 ] est une fonction ane. Montrer que F est un sev de dimension nie dont on déterminera le dimension. E est un K-ev de dimension n, n > 0 , et (e1 , ..., en ) est une base de E . (λ1 , λ2 , ..., λn ) est un élément de Kn . Pour tout i, i = 1..n, on note ui = u + ei où u est le vecteur u = n X λi ei . i=1 Montrer que (u1 , ..., un ) est une base de E ssi n X i=1 λ1 6= −1 . Algèbre linéaire: généralités PC* 2015 − 2016 12. E, F sont deux K-ev et f ∈ L(E, F ). Existe-t-il toujours g ∈ L(F, E) telle que f ◦ g = IdF ? 13. E = C([0, 1], R). A tout f ∈ E on Zassocie la fonction T (f ) dénie de [0, 1] x dans R par : ∀x ∈ [0, 1], T (f )(x) = f (4(t − t2 ))dt. Montrer qu'on dénit 0 14. 15. 16. 17. ainsi un endomorphisme T de E . T est-il surjectif ? injectif ? E est un K-ev de dimension nie et f ∈ L(E). Montrer que Im(f ) admet un − → supplémentaire dans E stable par f si et seulement si Im(f ) ∩ Ker(f ) = {0E }. Montrer que, dans ces conditions, Kerf est l'unique supplémentaire de Imf stable par f . p, q sont deux projecteurs de E . Montrer que p + q est un projecteur ssi p ◦ q = q ◦ p = O. Dans le cas où p + q est un projecteur, déterminer Im(p + q) et Ker(p + q). E est un K-ev de dimension nie et f ∈ L(E) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i) : f 2 = O et (ii) : ∃(g, h) ∈ (L(E))2 /g ◦ h = f et h ◦ g = O E = R4 , B est une base donnée de E , f ∈ L(E) est de matrice A dans B avec : 2 −3 A= −4 −5 3 −1 0 1 0 2 5 −1 4 9 −2 6 Déterminer Im(f ) et Ker(f ). Déterminer toutes les formes linéaires ϕ telles que Ker(ϕ) ⊂ Im(f ). Montrer que l'ensemble de ces formes linéaires dénit un sous-espace vectoriel de E ∗ = L(E, R) dont on déterminera la dimension. 18. Soit n ∈ N∗ et a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn 2n réels vériant a1 < b1 < a2 < b2 < · · · < an < bn . (a) Soit a, b deux réels avec a < b et P ∈ R[X] tel que Z b P (t)dt = 0. En a utilisant le théorème de Rolle montrer que P possède au moins une racine dans ]a, b[. n (b) Soit ϕ l'application de Rn−1Z[X] dans R Z qui à tout polynôme P associe bn b1 ϕ(P ) = P (t)dt, . . . , a1 P (t)dt . Vérier rapidement que ϕ est an linéaire et déterminer son noyau. (c) Montrer que ∀(α1 , . . . , αn ) ∈ Rn , il existe un unique élément P de Rn−1 [X] tel que Z bi ∀i ∈ {1, . . . , n}, P (t)dt = αi . ai