EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES

EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES
CORRIGE
1. Préliminaire
∀ x ∈ IR , G (x) = du
u
ux
∫+
+−
1
02
22
1
))1(exp( et H (x) = ( )
∫−
xduu
0
2)exp( 2
a .Montrons que les fonctions G et H sont C1 sur IR .
♦ La fonction g : IR × [0, 1] → IR
(x, u) α2
22
1
))1(exp(
u
ux
+
+− est continue et admet une dérivée partielle x
g
∂
∂ : (x ,u)
− 2x exp(−xα2(1 + u2)) continue sur IR × [0, 1].
On en conclut que G est C1 sur IR et que :
∀ x ∈ IR , G '(x) = − 2x duux
∫+−
1
0
22 ))1(exp(
♦ La fonction u α exp(− u2) est continue sur IR ; on en déduit que la fonction
h : x est dérivable sur IR , de dérivée h ' : x α∫−exp(
xduu
0
2)
α
exp(− x2).
dans ces conditions, H : x (h (x))α2 est dérivable sur IR et :
∀ x ∈ IR , H '(x) = 2 h (x).h '(x) = 2 exp(− x2)
∫−
xduu
0
2)exp(
H '(x) = 2 exp(− x2) (chgt de var. u = x.t )
∫−
1
0
22 .).exp( dtxtx
H '(x) = 2x = − G '(x) duux
∫+−
1
0
22 ))1(exp(
♦ ∀ x ∈ IR , H '(x) + G '(x) = 0 ; on en déduit :
∀ x ∈ IR , H (x) + G(x) = H (0) + G (0) = ∫=
+
1
024
1
1
π
du
u.
b. ∀ x ∈ IR , G (x) = exp (−x2)∫∫
+
−≤
+
−
1
0
1
02
2
2
22
1
1
)exp(
1
)exp( du
u
xdu
u
ux < exp (−x2)4
π
On en déduit G (x) = 0 et H (x) =
+∞→xlim +∞→xlim 4
π
.
Or H (x) = ( )
+∞→xlim ∫+∞ −
0
2)exp( duu 2 (u exp(− uα2) intégrable sur [0, +∞ [ )
Ainsi on obtient : I = =
∫+∞ −
0
2)exp( duu 2
π
2. Premières propriétés de la transformée de Fourier F de f
a. ∀ x ∈ IR , ∀ t ∈ IR , | e-2i
π xt.f(t)| = |f(t)| et t
α
|f(t)| intégrable sur IR par hypothèse, donc
F (x) défini pour tout x de IR .
dttf
∫+∞
∞− )(
b. ∀ x ∈ IR , |F(x) | < , donc F bornée.
c. Théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre
• l'application (x, t) eα-2i
π xt.f(t) est continue sur IR × IR

• ∀ x ∈ IR , ∀ t ∈ IR , | e-2i
π xt.f(t)| < |f(t)|, avec |f| intégrable sur IR (hypothèse de domination)
Alors l'application F : x α est continue sur IR .
∫+∞
∞−
−dttfe xti )(
2 π
d. T est linéaire (immédiat) et T est 1-lipschitzienne :
soient g1, g2 deux fonctions de L1(IR ); alors :
∀ x ∈ IR , |Tg1(x) − Tg2(x)| < ∫+∞
∞−
−−dttgtge xti ))()(( 21
2
π
∫+∞
∞− −dttgtg ))()(( 21
<
ce qui implique ||Tg1 − Tg2||∞ < ||g1 − g2||1
3. Un premier exemple
x F(x) = ∫∞+
∞−
−
+dt t
e
xxti
2
2
1
π
= +∞→alim ∫+
−
−
+
a
a
xti dt
t
e
x2
2
1
π
∫+
−
−
+
a
a
xti dt
t
e
x2
2
1
π
=
a
a
xti
t
i
e
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−2
2
1
1
2
π
π
−
π i21∫−
−
+
a
a
xti dt
t
et 22
2
)1(
2
π
En faisant tendre a vers + ∞ dans l'expression précédente, on obtient l'égalité suivante :
x F(x) = ∫∞+
∞−
−
+dt t
e
xxti
2
2
1
π
=
π
i∫∞+
∞−
−
+dt t
et xti
22
2
)1(
π
ce qui s'écrit aussi :
π x F(x) = i.∫∞+
∞−
−
+dt t
et xti
22
2
)1(
π
On en déduit :
∀ x ∈ IR , |F(x)| < x
π
1∫∞+
∞−
−
+dt t
et xti
22
2
)1(
π
< x
π
1∫∞+
∞− +dt
t
t
22 )1( < x
π
1
car ∫∞+
∞− +dt
t
t
22 )1( = 2 ∫+∞
+
022 )1( dt
t
t =
+∞→alim a
t
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
0
2
1
1 = 1
ainsi F (x) tend vers 0 quand x tend vers ∞ . ±
b. Montrons que l'application x α ∫∞+
∞−
−
+dt
t
et xti
22
2
)1(
π
est C1 sur IR
Théorème de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre
• l'application g : (x, t)
α
22
2
)1( t
et xti
+
− π
est continue sur IR × IR
• l'application x
g
∂
∂ : (x, t) α22
22
)1(
2
t
eti xti
+
−−
π
π
est continue sur IR × IR
22 )1( t
t
+
• ∀ x ∈ IR , ∀ t ∈ IR , | 22
2
)1( t
et xti
+
− π
| < intégrable sur IR.
• ∀ x ∈ IR , ∀ t ∈ IR , | 22
22
)1(
2
t
eti xti
+
−−
π
π
| < 22
2
)1(
2
t
t
+
π
intégrable sur IR (équivalente à 1/t2 en ∞ ) ±

Alors l'application x α ∫∞+
∞−
−
+dt
t
et xti
22
2
)1(
π
est de classe C1 sur IR et :
∀ x ∈ IR , dx
d(∫∞+
∞−
−
+dt
t
et xti
22
2
)1(
π
) = ∫∞+
∞−
−
+
−dt
t
eti xti
22
22
)1(
2
π
π
La relation (1) permet de donner l'expression suivante de F (x) sur IR * :
∀ x ∈ IR , F (x) =
x
i
π
.∫∞+
∞−
−
+dt
t
et xti
22
2
)1(
π
F apparaît comme le produit de deux fonctions de classe C1 sur IR* donc F est C1 sur IR*.
En dérivant la relation précédente, on obtient :
∀ x ∈ IR * , F '(x) = −2
x
i
π
∫∞+
∞−
−
+dt
t
et xti
22
2
)1(
π
+
x
i
π
∫∞+
∞−
−
+
−dt
t
eti xti
22
22
)1(
2
π
π
xF '(x) = −F(x) + 2 ∫∞+
∞−
−
+dt
t
et xti
22
22
)1(
π
or
∫∞+
∞−
−
+dt
t
et xti
22
22
)1(
π
= ∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
)1( 2
2
π
− ∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
22
2
)1(
π
= F (x) − ∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
22
2
)1(
π
.
En reportant dans l'égalité précédente, on en déduit :
∀ x ∈ IR * , xF '(x) = F (x) − 2 ∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
22
2
)1(
π
ou F (x) − xF '(x) = 2 ∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
22
2
)1(
π
On peut ainsi donner l'expression suivante de F '(x) valable sur IR * :
∀ x ∈ IR * , F '(x) = x
1.(F (x) − 2∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
22
2
)1(
π
).
c. Exactement comme précédemment, on montre que la fonction x
α
∫∞+
∞−
−
+dt t
exti
22
2
)1(
π
est C1 sur IR * et que :
∀ x ∈ IR * , dx
d(∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
22
2
)1(
π
) = ∫∞+
∞−
−
+
−dt
t
eti xti
22
2
)1(
.2
π
π
= −2 π ( π x F(x)).
Ainsi on obtient :
∀ x ∈ IR * , F ''(x) = 2
1
x
−(F (x) − 2 ∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
22
2
)1(
π
) + x
1(F '(x) + 4
π
2 x F (x))
F ''(x) = 2
1
x
−(F (x) − x F '(x) − 2 ∫∞+
∞−
−
+dt
t
exti
22
2
)1(
π
) + 4 π
2 F (x)
F ''(x) = 4
π
2 F (x).
F (0) = ∫+∞
∞− +dt
t)1(
12 =
π
d. F est solution de l'équation différentielle y '' − 4
π
2 y = 0 sur IR +* et sur IR −* .
On en déduit :
• il existe deux constantes réelles A et B telles que : ∀ x ∈ IR +*, F (x) = A e2
π x + B e-2 π x
• il existe deux constantes réelles C et D telles que : ∀ x ∈ IR −*, F (x) = C e2
π x + D e-2 π x

Détermination des constantes :
F (0) =
π ⇒ A + B = π et C + D = π (car F continue en 0)
+∞→xlim F (x) = 0 ⇒ A = 0; F (x) = 0 ⇒ D = 0 −∞→xlim
Conclusion : ∀ x ∈ IR , F (x) =
π e-2
π |x|
4. Dérivée de la transformée de Fourier et transformée de Fourier de la dérivée
a. Montrons que F : x α est C
∫+∞
∞−
−dttfe xti )(
2 π
1 sur IR lorsque l'application t
α
t f (t) est intégrable sur IR .
Théorème de dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un paramètre
• l'application g : (x, t)
α
e−2i
π xt f (t) est continue sur IR × IR
• l'application x
g
∂
∂ : (x, t) − 2i
π teα−2i
π xt f (t) est continue sur IR × IR
• ∀ x ∈ IR , ∀ t ∈ IR , | e−2i
π xt f (t)| < |f (t)| intégrable sur IR
• ∀ x ∈ IR , ∀ t ∈ IR , | 2 i
π te−2i
π xt f (t)| < 2
π |t f (t)| intégrable sur IR
Alors l'application x α est de classe C
∫+∞
∞−
−dttfe xti )(
2 π
1 sur IR et :
∀ x ∈ IR , dx
d() = F '(x) = −2i
π
∫+∞
∞−
−dttfe xti )(
2 π
∫+∞
∞−
−dttfte xti )(
2 π
On peut généraliser ce résultat aux dérivées successives de F jusqu'à l'ordre n en supposant que la fonction t
α
t n f (t) est intégrable sur IR ; alors on a :
∀ k ∈ {1,2,…, n }, F (k)(x) = (−2i
π )k.
∫+∞
∞−
−dttfte kxti )(
2 π
b. f ' étant continue, on peut écrire : ∀ x ∈ IR , f (x) =
∫′
xdttf
0)(
La fonction f ' étant intégrable sur IR , on en déduit que f a une limite finie en + ∞ et en − ∞ .
Sachant que f est intégrable sur IR et que f admet une limite finie en + ∞ et en − ∞ , on déduit que f a pour limites
0 en ∞ . ±
∀ x ∈ IR , Tf ' (x) = = (
∫+∞
∞−
−′dttfe xti )(
2 π
+∞→alim
[
]
∫+
−
−
−
−+a
a
xti
a
a
xti dttfxeitfe )(2)( 22
ππ
π )
= 2i
π x. = 2i π x.Tf (x)
∫+∞
∞−
−dttfe xti )(
2 π
On peut généraliser ce résultat aux dérivées successives de f jusqu'à l'ordre n en supposant que les dérivées
successives de f jusqu'à l'ordre n sont toutes intégrables sur IR ;
alors on a :
∀ k ∈ {1,2,…, n }, Tf (k) (x) = (2i
π x)k. Tf (x).
5. Un deuxième exemple
∀ x ∈ IR , F (x) =
∫+∞
∞−
−− dtee txti 2
2 ππ
a. ∀ t ∈ IR , f '(t) = − 2
π t f (t); ainsi t
±∞→tlim 2f '(t) = 0 donc f ' est intégrable sur IR .
D'après la question précédente, on a le résultat suivant :
∀ x ∈ IR , F '(x) = −2i
π ∫ = i = i (2i π x.F (x)).
+∞
∞−
−dttfte xti )(
2 π
∫+∞
∞−
−′dttfe xti )(
2 π
Ainsi F vérifie l'équation différentielle suivante sur IR : y ' = − 2
π x.y.

b. On en déduit : ∀ x ∈ IR , F (x) = λ , avec λ = F (0) = = 1 d'après la première question.
( =
2
x
e
π −∫+∞
∞−
−dte t2
π
∫+∞
∞−
−dte t2
π
∫+∞
∞−
−
π
du
eu2 ).
En conclusion : ∀ x ∈ IR , F (x) = .
2
x
e
π −
6. Limites en ± ∞ de la transformée de Fourier
a. = =
∫−
−
A
A
xti dtte )(
2
ϕ
π
∑∫
−
=−
−
1
0
2
p
k
a
ak
xti
k
kdte
ϕ
π
)(
222
1
0
1kk xaixai
p
k
kee
xi
ππ
π
ϕ
−−
−
=
−
−+
∑
On en déduit () = 0
+∞→xlim ∫−
−
A
A
xti dtte )(
2
ϕ
π
b. |F (x) − | = | + |
∫−
−
A
A
xti dttfe )(
2 π
∫−
∞−
−
Axti dttfe )(
2 π
∫+∞ −
A
xti dttfe )(
2 π
< ∫−
∞−
Adttf )( + ∫+∞
Adttf )(
La fonction |f | étant intégrable sur IR , on en déduit qu'à tout
ε > 0 on peut associer un réel A tel que ∫−
∞−
Adttf )(
+ ∫+∞
Adttf )( <
ε , et donc :
∀ x ∈ IR , |F (x) − |
∫−
−
A
A
xti dttfe )(
2 π
< ε
c. Théorème
Toute fonction continue sur un segment peut être approchée uniformément par une suite de fonctions en escalier.
(conséquence de la continuité uniforme, non au programme en filière PC ou PT).
Cela signifie qu' à tout réel
ε > 0 on peut associer une fonction ϕ en escalier sur le segment
A2
ε
[− A, A] telle que : ∀ x ∈ [− A, A], |f (x) −
ϕ (x)| <
d. Montrons que F (x) tend vers 0 quand x tend vers +∞
Soit
ε > 0 fixé. Il s'agit de montrer qu'on peut associer un réel M à cet ε tel que :
∀ x ∈ IR , x > M ⇒ |F (x)| <
ε .
Quels que soient le réel A et la fonction
ϕ en escalier sur [− A, A], on peut écrire :
F (x) = F (x) − + − +
∫−
−
A
A
xti dttfe )(
2 π
∫−
−
A
A
xti dttfe )(
2 π
∫−
−
A
A
xti dtte )(
2
ϕ
π
∫−
−
A
A
xti dtte )(
2
ϕ
π
d'où l'inégalité suivante :
|F (x)| < |F (x) − | +
∫−
−
A
A
xti dttfe )(
2 π
∫−−
A
Adtttf )()(
ϕ + | |.
∫−
−
A
A
xti dtte )(
2
ϕ
π
Choisissons tout d'abord le réel A tel que |F (x) − |
∫−
−
A
A
xti dttfe )(
2 π
< ε /3
ce qui est possible d'après la question b.
A étant fixé, on choisit une fonction
ϕ en escalier sur le segment [− A, A] telle que :
∀ t ∈ [− A, A], |f (t) −
ϕ (t)| < ε /3 (ce qui est possible d'après la question c).
De l'inégalité précédente , on déduit alors l'inégalité suivante :
∀ x ∈ IR , |F (x)| < 2
ε /3 + | |.
∫−
−
A
A
xti dtte )(
2
ϕ
π