1S Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé 2. Déterminer une équation de T1 . . Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé E 1 ( 4 points ) . correction Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier 9 T1 8 (aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée). 7 6 1. Étant donné deux nombres a et b , si cos (a) = cos (b) , alors cos (2a) = 5 cos (2b) . 4 3 14π −−→ −−→ 2. Étant donné des points A , B , C et D , si (AB ; CD ) = (2π) , alors 3 π −−→ −−→ (AB ; DC ) = − (2π) . 3 3. Étant donné deux nombres a et b , si sin (a) = sin (b) , alors sin (2a) = 3π −−→ −−→ 4. Étant donné des points A B , C , D , E et F , si (AB ; CD ) = (2π) et 4 5π −→ −−→ −−→ −→ (EF ; CD ) = (2π) , alors les vecteurs AB et EF sont colinéaires. 4 E 2 1 −4 −3 b −2 −1 0 −1 −2 sin (2b) . 2 ( 3 points ) . correction On considère la fonction f définie sur dont une partie de la courbe représentative Cf est donnée ci-contre. La fonction f est dérivable sur R R. Les droites T1 et T2 sont des tangentes à Cf . 1. Déterminer graphiquement f ′ (−3) et f ′ (0) : Page 1 T2 b −3 1 2 3 Cf 1S E Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé 3 où c est la vitesse de la lumière, v la vitesse du corps et m 0 la masse du corps ( 13 points ) . correction On considère l'intervalle I =] − 1; +∞[ . au repos. 1. On considère la fonction f définie sur I par : Lorsque la vitesse v est très petite devant c et que donc le rapport de 0 , expliquer comment on peut retrouver, à partir de la formule d'Einstein, la 1 f (x) = p 1+x (a) Montrer que pour tous réels positifs a et b , a − b = (b) Déterminer le taux d'accroissement, (p p ) (p p ) a+ b a− b . formule donnée dans théorie galiléenne : f (0 + h) − f (0) , de f en 0 . h (c) Montrer que f est dérivable en 0 et déterminer la valeur du nombre dérivé de f en 0 . (d) En déduire l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f en son point d'abscisse 0 . 2. (a) D'après le cours, dire qu'une fonction f est dérivable en a signifie qu'il existe un nombre que l'on note f ′ (a) tel que f (a + h) − f (a) = f ′ (a) . h→0 h lim Ainsi, on a, lorsque h est « petit », f (a + h) − f (a) ≈ f ′ (a) . h En déduire que, lorsque h est « petit », f (a + h) ≈ f (a) + h f ′ (a) . (b) Dans la théorie de la relativité d'Albert Einstein (1879 -- 1955), l'énergie cinétique d'un corps en mouvement est donnée par la formule : Ec = (γ − 1)m 0 c 2 avec v2 est proche c2 γ= √ 1 2 1 − vc 2 Page 2 1 Ec = m 0 v 2 2 1S Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé 2. La proposition est vraie. . Correction E 1 −−→ −−→ −−→ −−→ (AB ; DC ) = (AB ; −CD ) (2π) −−→ −−→ = π + (AB ; CD ) (2π) 17π = π+ (2π) 3 17π = (2π) 3 π = − (2π) 3 . énoncé 1. La proposition est vraie. a = b + 2kπ, k ∈ cos (a) = cos (b) =⇒ ou a = −b + 2kπ, k ∈ 3. La proposition est fausse. Avec a = Z 2a = 2b + 4kπ, k ∈ =⇒ π 5π et b = , sin (a) = sin (b) mais 6 ) 6 p p ( (π) 5π 3 3 sin (2a) = sin = et sin (2b) = sin =− . 3 2 3 2 Z 4. La proposition est fausse. ou 2a = −2b + 4kπ, k ∈ Z cos (2a) = cos (2b + 4kπ) , k ∈ =⇒ ou cos (2a) = cos (2b + 4kπ) , k ∈ Z Z cos (2a) = cos (2b) =⇒ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ (AB ; EF ) = (AB ; CD ) + (CD ; EF ) (2π) 3π −→ −−→ = − (EF ; CD ) (2π) 4 3π 5π − (2π) = 4 4 π = − (2π) 2 Z E 1. f ′ (−3) = . énoncé 5 1 et f ′ (0) = . 3 3 5 3 2. y = x + 4 . ou cos (2a) = cos (−2b) =⇒ cos (2a) = cos (2b) car ∀x ∈ 2 E R, cos (x) = cos (−x). 1. (a) Page 3 (p 3 . énoncé p ) (p p ) a+ b a − b = a −b . 1S Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé (b) Pour tout h ̸= 0 et h > −1 : est donc petit) on obtient : 1 f (0 + h) − f (0) h = = = = 1 −p p 1 1+h h p 1− 1+h p (h 1 ) p+ h ) ( p 1− 1+h 1+ 1+h ( ) p p h 1+h 1+ 1+h γ= √ 1 v2 1− 2 c ( 2) 1 v ≈ 1− × − 2 2 c . ≈ 1+ On a alors ( ) Ec = γ − 1 m 0 c ≈ ≈ 1−1−h ( ) p p h 1+h 1+ 1+h 1 ( ) = −p p 1+h 1+ 1+h p (c) On admet que lim 1 + h = 1 , on obtient alors h→0 f (0 + h) − f (0) 1 =− . h→0 h 2 1 f est donc dérivable en 0 et f ′ (0) = − . 2 lim 1 2 (d) y = − x + 1 . 2. f (a + h) ≈ f (a) + h f ′ (a) . 1 2 3. D'après ce qui précède pour a = 0 et h petit f (h) ≈ f (0) − h donc 1 1 ≈ 1 − h. p 2 1+h v2 En posant h = − 2 (lorsque v est petite par rapport à la vitesse de la lumière h c Page 4 ) 1 v2 − 1 m0 c 2 1+ 2 c2 1 m0 v 2 2 ( 2 1 v2 2 c2