Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé E 1 E 2

1S Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé
..
Contrôle : trigonométrie, nombre dérivé
E 1 .. correction ( 4 points )
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier
(aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée).
1. Étant donné deux nombres aet b, si cos(a)=cos(b), alors cos(2a)=
cos(2b).
2. Étant donné des points A,B,Cet D, si (−−→ AB ; −−→ CD ) =14π
3(2π), alors
(−−→ AB ; −−→ DC ) =−π
3(2π).
3. Étant donné deux nombres aet b, si sin (a)=sin(b), alors sin(2a)=
sin(2b).
4. Étant donné des points A B ,C,D,Eet F, si (−−→ AB ; −−→ CD ) =3π
4(2π)et
(−→ EF ; −−→ CD ) =5π
4(2π), alors les vecteurs −−→
AB et −→ EF sont colinéaires.
E 2 .. correction ( 3 points )
On considère la fonction fdéfinie sur dont une partie de la courbe représen-
tative Cfest donnée ci-contre.
La fonction fest dérivable sur .
Les droites T1et T2sont des tangentes à Cf.
1. Déterminer graphiquement f′(−3) et f′(0) :
2. Déterminer une équation de T1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3−40
T1
T2
Cf
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E 3 .. correction ( 13 points )
On considère l'intervalle I=]−1; +∞[.
1. On considère la fonction fdéfinie sur Ipar :
f(x)=1
p1+x
(a) Montrer que pour tous réels positifs aet b,a−b=pa+pbpa−pb.
(b) Déterminer le taux d'accroissement, f(0+h)−f(0)
h, de fen 0.
(c) Montrer que fest dérivable en 0et déterminer la valeur du nombre dérivé
de fen 0.
(d) En déduire l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f
en son point d'abscisse 0.
2. (a) D'après le cours, dire qu'une fonction fest dérivable en asignifie qu'il
existe un nombre que l'on note f′(a)tel que
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=f′(a).
Ainsi, on a, lorsque hest « petit »,
f(a+h)−f(a)
h≈f′(a).
En déduire que, lorsque hest « petit », f(a+h)≈f(a)+h f ′(a).
(b) Dans la théorie de la relativité d'Albert Einstein (1879 -- 1955), l'énergie
cinétique d'un corps en mouvement est donnée par la formule :
Ec=(γ−1)m0c2avec γ=1
1−v2
c2
où cest la vitesse de la lumière, vla vitesse du corps et m0la masse du corps
au repos.
Lorsque la vitesse vest très petite devant cet que donc le rapport v2
c2est proche
de 0, expliquer comment on peut retrouver, à partir de la formule d'Einstein, la
formule donnée dans théorie galiléenne :
Ec=1
2m0v2
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..
Correction
E 1 .. énoncé
1. La proposition est vraie.
cos(a)=cos (b)=⇒
a=b+2kπ,k∈
ou
a=−b+2kπ,k∈
=⇒
2a=2b+4kπ,k∈
ou
2a=−2b+4kπ,k∈
=⇒
cos(2a)=cos (2b+4kπ),k∈
ou
cos(2a)=cos (2b+4kπ),k∈
=⇒
cos(2a)=cos (2b)
ou
cos(2a)=cos (−2b)
=⇒ cos(2a)=cos (2b)car ∀x∈,cos(x)=cos (−x).
2. La proposition est vraie.
(−−→ AB ; −−→ DC ) =(−−→ AB ; −−−→ CD ) (2π)
=π+(−−→ AB ; −−→ CD ) (2π)
=π+17π
3(2π)
=17π
3(2π)
= −π
3(2π)
3. La proposition est fausse. Avec a=π
6et b=5π 6,sin(a)=sin (b)mais
sin(2a)=sin π
3=p3 2et sin(2b)=sin 5π 3=−p3 2.
4. La proposition est fausse.
(−−→ AB ; −→ EF ) =(−−→ AB ; −−→ CD ) +(−−→ CD ; −→ EF ) (2π)
=3π
4−(−→
EF ; −−→ CD ) (2π)
=3π
4−5π 4(2π)
= −π
2(2π)
E 2 .. énoncé
1. f′(−3)=5
3et f′(0)=1 3.
2. y=5
3x+4.
E 3 .. énoncé
1. (a) pa+pbpa−pb=a−b.
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(b) Pour tout h̸=0et h>−1:
f(0+h)−f(0)
h=
1
p1+h−1 p1
h
=1−p1+h
hp1+h
=1−p1+h1+p1+h
hp1+h1+p1+h
=1−1−h
hp1+h1+p1+h
= − 1
p1+h1+p1+h
(c) On admet que lim
h→0
p1+h=1, on obtient alors
lim
h→0
f(0+h)−f(0)
h=−1 2.
fest donc dérivable en 0et f′(0)=−1
2.
(d) y=−1
2x+1.
2. f(a+h)≈f(a)+h f ′(a).
3. D'après ce qui précède pour a=0et hpetit f(h)≈f(0)−1
2hdonc
1
p1+h≈1−1
2h.
En posant h= −v2
c2(lorsque vest petite par rapport à la vitesse de la lumière h
est donc petit) on obtient :
γ=1
1−v2
c2
≈1−1
2×−v2 c2
≈1+1
2
v2
c2
.
On a alors
Ec=γ−1m0c2≈1+1
2
v2
c2−1m0c2
≈1
2m0v2
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