la fonction exponentielle

LA FONCTION EXPONENTIELLE
A.ET L’HOMME CRÉA L’EXPONENTIELLE...
A-1 : Une équation différentielle
On considère un circuit électrique comprenant une résistance ret une bobine d’inductance L. Soit ula tension
aux bornes de la bobine et soit i(t)le courant qui la parcourt. On suppose qu’au temps t= 0, on coupe la tension.
Expérimentalement, on peut vérifier à l’aide d’un ampèremètre que
∆i(t)' − r
Li(t) ∆t
en considérant des intervalles de temps ∆tassez petits.
Cela s’écrit encore
i(t+ ∆t)−i(t)
∆t=−r Li(t)
On reconnaît dans le membre de gauche le taux d’accroissement de la fonction ientre les temps tet t+ ∆t. En
supposant que la fonction iest dérivable sur IR+, on obtient donc, en faisant tendre ∆tvers 0
i0(t) = −r
Li(t)
Vous apprendrez bientôt qu’il s’agit d’un cas particulier de la première loi de Kirchhoff.
Il s’agit maintenant de déterminer i(t)pour tout t∈IR+.
L’équation différentielle f0=k f se retrouve dans de nombreux problèmes : désintégration des noyaux des atomes
d’un corps radioactif, datation au carbone 14, évolution d’une population où la croissance est proportionnelle au
nombre d’habitants, etc. Le problème est de trouver une fonction la satisfaisant.
Par exemple, certains phénomènes en mécanique conduisent à étudier l’équation différentielle f00 =−f. Nous
connaissons au moins deux fonctions la satisfaisant : cosinus et sinus.
Le problème avec f0=kf, c’est que nous ne connaissons aucune fonction solution.
A-2 : Construction approchée du graphe d’une solution par la méthode
d’Euler
Soit fune fonction dérivable sur IR vérifiant f(0) = 1 et, pour tout x,f0(x) = f(x).
1) Soit hun réel voisin de zéro. Montrez que, pour tout réel a, l’approximation affine donnée par le calcul des
dérivées s’écrit
f(a+h)'(1 + h)×f(a)
2) On prend h= 0,001. On note (an)la suite définie par a0= 0 et an+1 =an+h. Donnez une approximation
de f(an+1)en fonction de f(an).
Déduisez-en que la suite des approximations de f(an)est une suite géométrique que vous caractériserez.
3) Faîtes de même avec h=−0,001.

2LA FONCTION EXPONENTIELLE
4) Imaginez alors, à l’aide d’un tableur, une construction point par point de la représentation graphique d’une
approximation de fsur l’intervalle [−2,2].
5) Montrez que f(1) '1 + 1
nn
et calculez la valeur approchée correspondante de f(1) pour n= 10 000.
Pensez-vous que « 1∞» soit une forme indéterminée?
A-3 : Analyse : étude des propriétés mathématiques d’une solution
Soit fkune fonction dérivable sur IR vérifiant fk(0) = 1 et, pour tout x,f0
k(x) = k fk(x), avec k6= 0.
1) Montrez que f0
k(0) = k.
2) Soit aun réel fixé et gala fonction définie par
ga(x) = fk(x+a)fk(−x)
a) Montrez que gaest dérivable sur IR et calculez g0
a(x).
b) Calculez ga(0) et déduisez-en que pour tous xet aréels,
fk(x+a)fk(−x) = fk(a) (1)
3) Montrez alors successivement que
a) pour tout réel x,fk(x)fk(−x) = 1
b) fkne s’annule pas sur IR
c) pour tous réels xet a
fk(x+a) = fk(x)fk(a)
A-4 : Unicité de la fonction solution
Peut-on trouver une autre fonction, gk, distincte de fk, et vérifiant les mêmes propriétés que fk, à savoir : gkest
une fonction dérivable sur IR, vérifiant gk(0) = 1 et, pour tout x,g0
k(x) = k gk(x), avec k6= 0?
Comme fkne s’annule pas sur IR, on peut définir la fonction ϕk=gk/fk.
Vérifiez que ϕkest dérivable sur IR, calculez sa dérivée. Que peut-on en déduire pour ϕk? Montrez alors que
fk=gk.
A-5 : Synthèse
Nous avons cherché des solutions au problème
fkune fonction dérivable sur IR vérifiant fk(0) = 1 et, pour tout x,f0
k(x) = k fk(x), avec k6= 0.
Nous avons montré que, si une telle fonction existe (ce que nous prouverons dans un prochain chapitre), alors elle
est unique et elle vérifie nécessairement la relation
f(x+y) = f(x)f(y) (2)
Il reste à vérifier que, réciproquement, une fonction dérivable, non nulle, vérifiant la relation (2) est nécessairement
telle que f(0) = 1 et vérifie pour tout réel x f0(x) = kf(x), avec kun réel non nul.
Cette vérification n’est pas anodine et conclut notre raisonnement d’analyse-synthèse.
1) Montrez que fne s’annule pas et que fest à valeurs strictement positives.

LES AVENTURES DE TÉHESSIX 3
2) Montrez que, comme fn’est pas la fonction nulle, alors f(0) = 1 en utilisant la relation (2).
3) Soit aun réel fixé. On définit la fonction ϕ:x7→ f(x+a)et la fonction ψ:x7→ f(x)×f(a).
Montrez que f0(x+a) = f(a)×f0(x), puis que, pour tout réel a,f0(a) = k f(a), où kest un réel que vous
déterminerez.
A-6 : Le bébé est prêt
Théorème et définition
Il existe une unique fonction f, dérivable sur IR, telle que f0=fet f(0) = 1.
On la nomme fonction exponentielle et on la note exp.
L’exponentielle est à valeurs strictement positives et vérifie la relation
exp(x+y) = exp(x)×exp(y)
A-7 : Conséquences immédiates
Vous pouvez démontrer aisément que
exp(0) = 1
exp est dérivable sur IR et exp0(x) = exp(x)
Pour tout réel x,exp(x)>0
La fonction exp est strictement croissante sur IR
exp(a−b) = exp(a)
exp(b)
exp(−b) = 1
exp(b)
exp(ka) = [exp(a)]k, avec k∈IN
exp a
n=n
pexp(a)=[exp(a)]
1
n, avec n∈IN∗
A-8 : La notation ex
On pose e= exp(1). Nous avons obtenu grâce à la méthode d’Euler une approximation de e, car e= lim
n→+∞1 + 1
nn
e'2,718 281 828
Nous avons obtenu précédemment que pour tout entier k,
exp(k) = exp(k×1) = (exp(1))k=ek
Nous noterons alors, par convention, que
exp(x) = ex
Vous vérifierez que les propriétés vues précédemment sont conformes à l’usage de la notation puissance.
A-9 : Propriétés analytiques de l’exponentielle

4LA FONCTION EXPONENTIELLE
Prouvez que
lim
x→+∞ex= +∞
en étudiant la fonction ϕ:x7→ ex−x
Déduisez-en que
lim
x→−∞ ex= 0
Comparez ex/2et x/2. Déduisez-en que
lim
x→+∞
ex
x= +∞
B.EXERCICES - « L’EXPONENTIELLE À TRAVERS LES SCIENCES »
Exercice I
La fonction de croissance de von Bertanlanffy donne approximativement la masse W(t)(en kg) à l’âge t(en
années) des éléphants africains femelles. Son expression est
W(t) = 2600 1−0,51e−0,075 t3
1) Évaluez la masse et le taux de croissance d’un nouveau-né (le taux de croissance à l’instant test évidemment
W0(t)).
2) Calculez et interprétez lim
t→+∞W(t).
Exercice II
Les molécules d’un gaz enfermé dans un récipient à la température Tsont animées d’une vitesse de vcm.s−1. Cet
état d’équilibre est caractérisé par la fonction de distribution de vitesse de Maxwell-Boltzmann
F(v) = cv2e−mv2/(2kT )
où Test la température (en K), mla masse d’une molécule et cet kdes constantes positives.
Montrez que la valeur maximale de Fa lieu en v=p2kT /m.
Exercice III
Un modèle de densité urbaine est une formule qui lie la densité de la population (en nombre de personnes par
unité de surface) à la distance r(en unité de longueur) du centre ville. La formule
D=a e−br+cr2
où a,bet csont des constantes positives (aest la densité au centre, ble coefficient de décroissance), convient pour
certaines villes des États-Unis
Déterminez l’allure de la courbe représentative de ce modèle.
Exercice IV
En statistiques, la distribution normale est définie par la fonction de densité de probabilité
f(x) = 1
σ√2πe−z2/2où z=x−µ
σ
µest la moyenne de cette distribution et σ2la variance. L’étude de cette fonction est utilisée dans des domaines
qui vont de la mécanique quantique à la répartition des notes du baccalauréat.
Étudiez cette fonction (sens de variation, limites) et tracez la courbe représentative de f.

LES AVENTURES DE TÉHESSIX 5
Exercice V
On considère un circuit électrique composé d’une force électromotrice U, d’une résistance Ret d’une inductance
L. L’intensité du courant Ivarie en fonction du temps tselon la formule
I=U
R1−e−Rt/L
On considère que Rest la seule variable indépendante, i.e. U,Let tsont considérés comme des constantes et R
comme une variable. Calculez lim
R→0R>0I.
C.UN PROBLÈME DE BAC
On considère la fonction fdéfinie sur IR par f(x) = (2x+ 1)e−2xet sa courbe représentative (C)dans le repère
orthonormal (O,−→ i ,−→ j).
Partie A - Étude de la fonction f
1) a) Déterminer la limite de fen +∞. Que peut-on en déduire pour (C)?
b) Déterminer la limite de fen −∞.
2) Calculer f0(x)et étudier le signe de f0sur IR.
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) a) Déterminer les coordonnées du point Ad’intersection de (C)avec l’axe des abscisses.
b) Étudier le signe de f(x)suivant les valeurs de x.
Partie B - Étude d’une tangente
1) On rappelle que f00 désigne la dérivée seconde de f.
a) Montrer que, pour tout réel x,f00 (x) = 4(2x−1)e−2x.
b) Résoudre l’équation f00 (x) = 0.
2) Soit Ble point d’abscisse 1/2 de la courbe (C). Déterminer une équation de la tangente (T)à(C)en B.
3) On veut étudier la position relative de (C)et (T): pour cela on considère la fonction gdéfinie sur IR par
g(x) = f(x)−−2
ex+3 e
a) Déterminer g0(x)et g00 (x).
b) Étudier le signe de g00 (x)suivant les valeurs x. En déduire le sens de variation de g0sur IR.
c) Calculer g0(1/2) et en déduire le signe de g0(x)puis le sens de variation de gsur IR.
d) Calculer g(1/2) et déterminer alors le signe de g(x)suivant les valeurs de x. Que peut-on en conclure
sur la position relative de (C)et (T)?
(Bac 2001)