cos B cos C + sin B sin C cos a. On est ainsi conduit à un nouveau gr

TRIGONOMÉTRIE. 385
ou, en changeant les signes des deux membres,
cos A = — cos B cos C + sin B sin C cos a.
On est ainsi conduit à un nouveau groupe de trois formules
cos A = — cos B cos C -f- sin B sin C cos a,
cos B = — cos A cos C -t- sin A sin C cos b,
cos C = — cos A cos B + sin A sin B cos c.
66. Formules renfermant deux côtés et les deux angles op-
posés.
De la relation
cos a = cos b cos c -+• sin b sin c cos A
on déduit . cos a — cos b cosc
COS A = : ;—:
sin b sin c
Par suite,
.',. ,. (cos« — cos b cosc?
Sin'A = I — COS2 À = I — i : r—: '- ,
sin- b sin2 c
c'est-à-dire, en remplaçant au numérateur après réduction
sin2b sin2c par (i—cos26)(i— cos2c),
. B ï — cos-b—cos-c-h cos-b cosV— cos-a -t-9 costf cos 6 cosc — cos3 b cos-c
siirA= • . .,—— »
sin-o sm-c
OU
I —COS2ffl — COS2 6 COS2C -f- 2COS« COS 6 COS C
sin2 A = ..,,.,
On en déduit
sin2A 1 — cos'a — cos26 — cos2c 4- 2cos«cosè cosc
sin2 a sin2fl sin2è sin2c
Cette valeur du rapport \. ; ne change pas quand on per-
mute les angles A, B, C et les côtés a, b, c. On a donc
sin' A sin2 B sin2 C
sin2rt sin2 b sin'c
et, comme il s'agit d'angles et de côtés moindres que i8o°,
cette première série de rapports égaux entraîne la suivante :
sin A sinB sinC
sin« sinZ» sine
Ainsi, dans tout triangle sphérique, les sinus des angles sont
proportionnels aux sinus des côtés opposés.
II. ?-5