Vocabulaire et logique

Universit´e de Provence -
Licence MI 1`ere ann´ee-S1
Math´ematiques g´en´erales I
Fondements de logique et du raisonnement math´ematiques
Table des mati`eres
La premi`ere partie de ce cours est consacr´ee `a la logique ´el´ementaire. Par ”´el´ementaire”, on veut signifier qu’il
s’agit seulement de poser le vocabulaire et les raisonnements de base, que tout ´etudiant, puis scientifique,
utilisera tout le long de sa vie. Ce cours est illustr´e par des exercices qui permettront d’apprivoiser les
symboles et les techniques de base math´ematiques.
La seconde partie concerne les fondements des raisonnements math´ematiques, indispensables d’une part
`a la rigueur des arguments, et d’autre part `a tous les outils qui suivront.
1 Logique ´el´ementaire
1.1 Assertions
On appelle assertion une phrase dont on peut affirmer qu’elle est vraie ou fausse. Une phrase math´ematique
est form´ee de mots et de symboles. Exemples : (i) x < 2 et (ii) Le cheval est noir.
N´egation. Soit Aune assertion. On d´efinit nonA (ou n´egation de A) par : nonA est vraie si et seulement
si Aest fausse.
Disjonction. Soient Aet Bdes assertions. On d´efinit disjonction de A et B (not´e A∪Bou 0Aou B0) par :
si une des deux assertion est vraie alors A∪Best vraie.
Conjonction. Soient Aet Bdes assertions. On d´efinit conjonction de A et B (not´e A∩Bou 0Aet B0) par :
0A∩B0est vraie si et seulement si les deux assertions sont vraies.
Implication. Soient Aet Bdes assertions. On d´efinit A implique B (not´e A⇒B) par : 00 Bou nonA00 .
En d’autres terme, si Aest vraie alors Best vraie (il ne peut en ˆetre autrement). Donc soit Aet Bsont
vrais, soit Bn’est pas vrai (et Ane peut pas ˆetre vrai). Attention : Bpeut ˆetre vraie sans que Ale soit ;
exemple : A : 0x∈Ret x > 40et B : 0x∈Ret x≥20. On a bien A⇒B, mais B peut ˆetre vraie sans que A
le soit.
Equivalence. Soient Aet Bdes assertions. On dit que A est ´equivalent `a B (not´e A⇔B) si et seulement
si A⇒Bet B⇒A.
Proposition 1.1 Les ´equivalences suivantes sont toutes vraies.
1. A⇔non(non(A))
2. 0A⇒B0⇔0non(B)⇒non(A)0(contrapos´ee)
3. (0A⇒B0et 0B⇒C0)⇒0A⇒C0(transitivit´e de l’implication)
4. (0A∪B0et 0A⇒C0et 0B⇒C0)⇒0C0(raisonnement par disjonction des cas)
Le deuxi`eme point s’appelle raisonnement par contrapos´ee. Si B n’est pas vrai implique que A ne peut
ˆetre vraie, alors ce la signifie que si A est vraie alors B aussi.
M´ethode : : Pour montrer une implication, on peut utiliser
– soit le raisonnement direct (voir exemple pour A⇒B),
– soit le raisonnement par contrapos´ee,
– soit le raisonnement par absurde (o`u on suppose que l’on a 0A et non(B)0et on arrive `a une contradiction
(c’est `a dire soit non B est fausse soit A est fausse).
1.2 Quantificateurs
On va dans cette section introduire les symboles math´ematiques qui permettent d’´ecrire les phrases d’une
mani`ere rigoureuse et raccourcie. En effet le fran¸cais (et toute autre langue) am`ene parfois `a une certaine

1 LOGIQUE ´ EL ´ EMENTAIRE FONDEMENTS – 2
ambig¨uit´e due `a la subtilit´e des mots. Or ici, on a besoin de rigueur, pour que les assertions soient vraies ou
fausse, on ne peut se contenter qu’elles soient 00 `a peu pr`es00 vraies.
Notations. Soit Aune assertion. On la note A(x) quand elle d´epend de x.
IL EXISTE
On note ”∃x, A(x)” pour dire que l’assertion est vraie pour au moins un ”x” (qu’on ne connait pas force-
ment). Ce symbole se lit Il existe.
Exemple :∃x∈Rtel que x2+ 1 >0
POUR TOUT
On note ”∀x, A(x)” pour signifier que l’assertion est vraie pour tout les 0x0. Ce symbole se lit Pour tout.
Attention : Il est toujours important de v´erifier dans quel ensemble (ou sous quelles conditions sur x)
l’assertion est estim´ee vraie.
Proposition 1.2 Soit A(x)une assertion qui d´epend de x. Soit Eun ensemble.
La n´egation de ∀x∈E, A(x)est vraie est ∃x∈Etel que A(x)est fausse.
La n´egation de ∃x∈E, A(x)est vraie est ∀x∈Etel que A(x)est fausse.
Cette phrase se lit : 00 non(il existe un x tel que A(x) est vraie)00 (cad 00 il n’existe pas de x tel que A(x) soit
vraie00 ) ´equivaut `a dire que pour tout x , A(x) est fausse”.
M´ethode : Pour montrer que ∀x∈E, A(x) est vraie, il faut montrer que A(x) est vraie, pour chaque x
dans E; alors on en prend un quelconque, c’est `a dire sans condition suppl´ementaire puis on montre que
A(x) est vraie.
On commence donc le raisonnement par :
Soit x∈E. On veut montrer A(x).
Pour montrer que l’assertion est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple (alors on contredira 00 pour
tout00 puisque A(x) est fausse pour au moins un x).
On commence donc le raisonnement par :
On veut trouver un x∈Etel que A(x) soit fausse.
Remarque 1.1 Les symboles ∃et ∀ne sont pas interchangeables :
•00 ∀x∈R,∃y∈R:y≤x00 est vraie
•00 ∃x∈R,∀y∈R:y≤x00 est fausse .
EXERCICE 1
Montrer les deux affirmations : 00 ∀x∈R,∃y∈R:y≤x00 est vraie et 00 ∃x∈R,∀y∈R:y≤x00 est fausse.
EXERCICE 2
R´ediger les n´egations des phrases suivantes.
1. Tous les lundi, je joue au foot.
2. Tous les lundi, je joue au squash et je me douche.
3. Quand il fait beau le dimanche, je fais des maths.
4. Tous les lundi, s’il fait beau, je ne fais pas des maths.
EXERCICE 3
Compl´eter les pointill´es par le connecteur logique qui s’impose : si et seulement si , ⇐,⇒.
1. x∈R, x2= 4 . . . . . . x = 2.
2. z∈C, z =z . . . . . . z ∈R.
3. x∈R, x =π . . . . . . e2ix = 1.
Daniel Matignon, Camille Pl´enat et Elaine Pratt Universit´e de Marseille-Provence

2 TH ´ EORIE DES ENSEMBLES FONDEMENTS – 3
EXERCICE 4
Pr´eciser si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, puis donner leur n´egation.
1. ∃x∈R,∀y∈R, x +y > 0.
2. ∀x∈R,∃y∈R, x +y > 0.
3. ∀x∈R,∀y∈R, x +y > 0.
4. ∃x∈R,∀y∈R, y2> x.
EXERCICE 5
Soient f, g deux fonctions de Rdans R. Traduire avec les quantificateurs les expressions suivantes.
1. fest major´ee ;
2. fest born´ee ;
3. fest paire ;
4. fest impaire ;
5. fne s’annule jamais ;
6. fest p´eriodique ;
7. fest croissante.
2 Th´eorie des ensembles
La notion 00 d’ensemble00 est fondamentale en math´ematiques, et ne peut ˆetre d´efinie `a partir d’autres notions.
La th´eorie des ensembles montre l’existence des ensembles finis et donc des nombres entiers ; cependant
l’ensemble de tous les entiers Nest axiomatique, appel´e axiome de l’infini. A partir de ces ensembles on
construit tous les ensembles connus.
2.1 Ensembles
Ensembles et ´el´ements. On d´efinit un ensemble comme ´etant une famille d’objets. On note les ensembles
par des accolades : {x/A(x)}ou {x, A(x)}ou {x:A(x)}, o`u A(x) est une assertion qui d´epend de x. Cela
signifie : 00 l’ensemble des xtels que A(x) est vraie00 . Les objets xv´erifiant A(x) sont appel´es ´el´ements de l’
ensemble. L’appartenance d’un ´el´ement x`a un ensemble Ese note x∈E. On peut noter aussi les ensembles
par leur nom, quand celui-ci est connu (comme l’ensemble des r´eels, not´e R). Mais on peut donner aussi
toute la collection d’objets, sans en donner les propri´etes (dans le cas o`u les ensembles sont finis biensur).
En g´en´eral on note les ensembles par des lettres majuscules et les ´el´ements par des minuscules : E1={a},
E2={1,2,3},E3={x:x+ 1 <0}; alors 2 ∈E2.
On appelle ensemble vide, l’ensemble qui ne contient aucun ´el´ement, et on le note ∅.
Sous-ensembles. Un sous-ensemble Bd’un ensemble Aest alors une famille d’objets d´ej`a contenus dans
A. On note 00 B sous ensemble de A00 par le symbole : B⊂A. On dit que Best inclus dans A. Par d´efinition
a∈Asi et seulement si {a} ⊂ A, par exemple {1,2}⊂{1,2,4}car 1 ∈ {1,2,4}et 2 ∈ {1,2,4}.
En pratique : Pour montrer l’inclusion de A dans B, il faut montrer que chaque ´el´ements de A est dans B,
si Aest non-vide. L’ensemble vide est inclu dans tout ensemble.
Notations : La non-inclusion et la non-appartenance se notent respectivement par les symboles 6⊂ et 6∈.
Attention : les notions d’objets et d’ensembles, d’inclusion et d’appartenance sont des notions diff´erentes ;
par exemple, soit A={1,2},{0,1,2}un ensemble form´e d’ensemble, et B={0,1,2}. Alors :
B est un ´el´ement de A.
0∈Bmais 0 /∈A, donc B∈Amais B6⊂ A.
B est l’ensemble form´e des ´el´ements 0,1,2 et {B}est l’ensemble form´e de l’ensemble B.
Si C={1,2}alors A={B, C}.
Deux ensembles sont ´egaux si et seulement si ils ont les mˆemes ´el´ements. On note deux ensembles Aet B
´egaux par A=Bet cela signifie que A⊂Bet B⊂A.
Ensemble des parties. Comme dans l’exemple ci-dessus, on peut construire `a partir d’un ensemble A,
l’ensemble de ses parties, not´e P(A), form´e de tous les sous-ensembles de A.
Compl´ementaire. Si Best un sous-ensemble de A, on d´efinit, et on note A−B, le compl´ementaire de B
dans Apar A−B={x∈A:x6∈ B}. Ce sont les ´el´ements de Aqui ne sont pas dans B. On le note aussi
B. On a ∅=Aet A=∅.
EXERCICE 6
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2 TH ´ EORIE DES ENSEMBLES FONDEMENTS – 4
Donner l’ensemble des parties de A={1,2}{0,1,2}et B={0,1,2}.
Notations et d´efinitions.
Soient A, B des sous-ensembles d’un ensemble E.
•On d´efinit l’union de Aet B, et on la note A∪B, par A∪B={x∈Aou x∈B}.
•On d´efinit l’intersection de Aet B, et on la note A∩B, par A∩B={x∈Aet x∈B}.
•Les sous-ensembles Aet Bde Esont dits disjoints si A∩B=∅.
•On d´efinit le produit cart´esien de Aet B, et on le note A×Bpar : A×B={(a, b) : a∈Aet b∈B}.
M´ethode : Soient Aet Bdeux sous-ensembles. Pour montrer A⊂B, il faut montrer que tous ´el´ements de
Asont dans B. Donc, on en prend un (arbitrairement, cad quelconque) et on montre qu’il est dans B.
On commence donc le raisonnement par :
Soit x∈A. On veut montrer que x∈B.
Pour montrer que A=B, on montre les deux inclusions, cad d’abord on montre que A⊂B(avec la
m´ethode ci-dessus), puis on montre que B⊂A(toujours avec la mˆeme m´ethode).
On note que trivialement, si A, B, C sont des sous-ensembles d’un ensemble E, alors on a :
A∩B=B∩A(idem avec ∪) ;
(A∩B)∩C=A∩(B∩C) (idem avec ∪), et
A∩ ∅ =∅et A∪ ∅ =A. De mani`ere moins triviale, on a aussi les propri´et´es ci-dessous.
Proposition 2.1 Soient A, B, C des parties d’un ensemble E. Les affirmations suivantes sont toutes vraies.
1. A⊂B⇔B⊂A.
2. A⊂B⇔A∩B=A.
3. A⊂B⇔A∪B=B.
4. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
5. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
6. A∩B=A∪B.
7. A∪B=A∩B.
EXERCICE 7
Montrer les affirmations de la Proposition 2.1.
2.2 Applications
D´efinitions et notations.
•On appelle application, que l’on note f, de Edans Fune correspondance qui `a tout ´el´ement xde Eassocie
un et un seul ´el´ement yde F, qu’on appelle image de x.
–Eest appel´e l’ensemble de d´efinition ou de d´epart de f.
–Fest appel´e l’ensemble d’arriv´ee de f.
On note les applications f, d’ensemble de d´epart Eet d’ensemble d’arriv´ee F, par une fl`eche de la mani`ere
suivante :
f:E→F
et l’image d’un point xpar y=f(x). On appelle dans ce cas xl’ant´ec´edent de y.
Remarque : Si tout ´el´ement de Ea une image (et une seule), en revanche tous les ´el´ements de Fne sont
pas toujours atteints par f(par ”atteint” on signifie qu’ il n’existe pas toujours pour z∈Fun ´el´ement
x∈Etel que f(x) = z)
•Soit f:E→Fune application. On appelle ensemble image de Epar f(ou ensemble image de ftout
simplement) par
Im(f) = {y∈F:∃x∈E, f (x) = y}.
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2 TH ´ EORIE DES ENSEMBLES FONDEMENTS – 5
Donc
y∈Im(f) si et seulement si ∃x∈E, y =f(x)
Remarques : On a bien entendu (par d´efinition) Im(f)⊂Fmais pas toujours l’´egalit´e. De plus, si
y∈Im(f)⊂F, alors yn’a pas forc´ement un unique ant´ec´edent.
EXERCICE 8
1. Soit l’application d´efinie par f:N→Ntelle que f(n)=2n. Montrer que Im(f) = 2N.
2. Soit l’application d´efinie par f:R→Rtelle que f(x) = x2. Montrer que Im(f) = R+. Existe-t-il des
´el´ements de l’ensemble d’arriv´ee qui ne sont pas des images de f?. . . qui ont plusieurs ant´ec´edents ?
•On appelle graphe de fl’ensemble des points (x, y) dans E×Ftels que y=f(x).
•L’ensemble des applications de Edans Fest not´e F(E, F )
Exemples : On note Id ou IdEl’application d´efinie par Id :E→Etelle que Id(x) = x, appel´ee identit´e.
Si E⊂Fon d´efinit l’inclusion de Edans Fpar i:E→Ftelle que i(x) = x.
•Soient E, F et Gtrois ensembles. Soient f:E→Fet g:F→Gdeux applications. Alors il existe une
unique application h:E→G, not´ee g◦f(on prononce g rond f) et appel´ee compos´ee de fpar g, d´efinie
par ∀x∈E, h(x) = gf(x).
•On dit que deux applications f, g :E→Fsont ´egales si ∀x∈E, f (x) = g(x).
2.3 Propri´et´es des applications
D´efinitions.
•Soit f:E→Fune application.
–fest dite injective si tout ´el´ement y∈Fa au plus un ant´ec´edent (il peut ne pas y en avoir) ; cad :
∀x, x0∈E(f(x) = f(x0)) ⇒(x=x0)
–fest dite surjective si tout ´el´ement y∈Fa au moins un ant´ec´edent ; cad :
Im(f) = Fi.e. ∀y∈F, ∃x∈E:f(x) = y
–fest dite bijective si tout ´el´ement y∈Fa un unique ant´ec´edent. Cela ´equivaut `a dire que fest `a la
fois injective et bijective.
M´ethodes : On va pr´esenter les m´ethodes classiques autour des question d’injectivit´e et de surjectivit´e, en
passant par les calculs.
Non injectivit´e. Pour montrer que fn’est pas injective, on doit trouver deux ´el´ements distincts x6=x0
tels que f(x) = f(x0). Il suffit d’en trouver deux particuliers. Par exemple, la fonction f:R→Rd´efinie
par f(x) = x2,∀x∈Rn’est pas injective car f(−1) = f(1). On a trouv´e −1 et 1.
Non surjectivit´e. Pour montrer que fn’est pas surjective, on doit trouver un y∈Fparticulier tel que
y6=f(x),∀x∈E. Par exemple, la fonction f:R→Rd´efinie par f(x) = x2,∀x∈Rn’est pas surjective
car f(x)6=−1,∀x∈R. On a trouv´e y=−1 (on aurait pu prendre n’importe quel y < 0).
Injectivit´e. Pour montrer que fest injective, on doit prendre deux ´el´ements arbitraires xet x0et montrer
que si f(x) = f(x0) alors x=x0. On commence le raisonnement par
Soient xet x0dans E. Supposons que f(x) = f(x0). On veut montrer que x=x0.
On utilise alors la d´efinition de f. Par exemple si f(x)=2x+ 1, on a 2x+ 1 = 2x0+ 1 donc x=x0.
Surjectivit´e. Pour montrer que fest surjective, on doit prendre un ´el´ement arbitraire yet montrer qu’il
existe x∈Etel que y=f(x). On commence le raisonnement par
Soit y∈F. On doit trouver x∈Etel que y=f(x).
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