Vocabulaire et logique

Université de Provence
Licence MI
-
1ère année-S1
Mathématiques générales I
Fondements de logique et du raisonnement mathématiques
Table des matières
La première partie de ce cours est consacrée à la logique élémentaire. Par ”élémentaire”, on veut signifier qu’il
s’agit seulement de poser le vocabulaire et les raisonnements de base, que tout étudiant, puis scientifique,
utilisera tout le long de sa vie. Ce cours est illustré par des exercices qui permettront d’apprivoiser les
symboles et les techniques de base mathématiques.
La seconde partie concerne les fondements des raisonnements mathématiques, indispensables d’une part
à la rigueur des arguments, et d’autre part à tous les outils qui suivront.
1
Logique élémentaire
1.1
Assertions
On appelle assertion une phrase dont on peut affirmer qu’elle est vraie ou fausse. Une phrase mathématique
est formée de mots et de symboles. Exemples : (i) x < 2 et (ii) Le cheval est noir.
Négation. Soit A une assertion. On définit nonA (ou négation de A) par : nonA est vraie si et seulement
si A est fausse.
Disjonction. Soient A et B des assertions. On définit disjonction de A et B (noté A ∪ B ou 0 A ou B 0 ) par :
si une des deux assertion est vraie alors A ∪ B est vraie.
Conjonction. Soient A et B des assertions. On définit conjonction de A et B (noté A ∩ B ou 0 A et B 0 ) par :
0
A ∩ B 0 est vraie si et seulement si les deux assertions sont vraies.
Implication. Soient A et B des assertions. On définit A implique B (noté A ⇒ B ) par : 00 B ou nonA00 .
En d’autres terme, si A est vraie alors B est vraie (il ne peut en être autrement). Donc soit A et B sont
vrais, soit B n’est pas vrai (et A ne peut pas être vrai). Attention : B peut être vraie sans que A le soit ;
exemple : A : 0 x ∈ R et x > 40 et B : 0 x ∈ R et x ≥ 20 . On a bien A ⇒ B, mais B peut être vraie sans que A
le soit.
Equivalence. Soient A et B des assertions. On dit que A est équivalent à B (noté A ⇔ B) si et seulement
si A ⇒ B et B ⇒ A.
Proposition 1.1 Les équivalences suivantes sont toutes vraies.
1. A ⇔ non(non(A))
2. 0 A ⇒ B 0 ⇔ 0 non(B) ⇒ non(A)0 (contraposée)
3. (0 A ⇒ B 0 et 0 B ⇒ C 0 ) ⇒ 0 A ⇒ C 0 (transitivité de l’implication)
4. (0 A ∪ B 0 et 0 A ⇒ C 0 et 0 B ⇒ C 0 ) ⇒ 0 C 0 (raisonnement par disjonction des cas)
Le deuxième point s’appelle raisonnement par contraposée. Si B n’est pas vrai implique que A ne peut
être vraie, alors ce la signifie que si A est vraie alors B aussi.
Méthode : : Pour montrer une implication, on peut utiliser
– soit le raisonnement direct (voir exemple pour A ⇒ B),
– soit le raisonnement par contraposée,
– soit le raisonnement par absurde (où on suppose que l’on a 0 A et non(B)0 et on arrive à une contradiction
(c’est à dire soit non B est fausse soit A est fausse).
1.2
Quantificateurs
On va dans cette section introduire les symboles mathématiques qui permettent d’écrire les phrases d’une
manière rigoureuse et raccourcie. En effet le français (et toute autre langue) amène parfois à une certaine
1
LOGIQUE ÉLÉMENTAIRE
FONDEMENTS – 2
ambigüité due à la subtilité des mots. Or ici, on a besoin de rigueur, pour que les assertions soient vraies ou
fausse, on ne peut se contenter qu’elles soient 00 à peu près00 vraies.
Notations. Soit A une assertion. On la note A(x) quand elle dépend de x.
IL EXISTE
On note ”∃x, A(x)” pour dire que l’assertion est vraie pour au moins un ”x” (qu’on ne connait pas forcement). Ce symbole se lit Il existe.
Exemple : ∃x ∈ R tel que x2 + 1 > 0
POUR TOUT
On note ”∀x, A(x)” pour signifier que l’assertion est vraie pour tout les 0 x0 . Ce symbole se lit Pour tout.
Attention : Il est toujours important de vérifier dans quel ensemble (ou sous quelles conditions sur x)
l’assertion est estimée vraie.
Proposition 1.2 Soit A(x) une assertion qui dépend de x. Soit E un ensemble.
La négation de ∀x ∈ E, A(x) est vraie est ∃x ∈ E tel que A(x) est fausse.
La négation de ∃x ∈ E, A(x) est vraie est ∀x ∈ E tel que A(x) est fausse.
Cette phrase se lit : 00 non(il existe un x tel que A(x) est vraie)00 (cad 00 il n’existe pas de x tel que A(x) soit
vraie00 ) équivaut à dire que pour tout x , A(x) est fausse”.
Méthode : Pour montrer que ∀x ∈ E, A(x) est vraie, il faut montrer que A(x) est vraie, pour chaque x
dans E ; alors on en prend un quelconque, c’est à dire sans condition supplémentaire puis on montre que
A(x) est vraie.
On commence donc le raisonnement par :
Soit x ∈ E. On veut montrer A(x).
Pour montrer que l’assertion est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple (alors on contredira 00 pour
tout00 puisque A(x) est fausse pour au moins un x).
On commence donc le raisonnement par :
On veut trouver un x ∈ E tel que A(x) soit fausse.
Remarque 1.1 Les symboles ∃ et ∀ ne sont pas interchangeables :
• 00 ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y ≤ x00 est vraie
• 00 ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y ≤ x00 est fausse .
EXERCICE 1
Montrer les deux affirmations : 00 ∀x ∈ R, ∃y ∈ R : y ≤ x00 est vraie et 00 ∃x ∈ R, ∀y ∈ R : y ≤ x00 est fausse.
EXERCICE 2
Rédiger les négations des phrases suivantes.
1. Tous les lundi, je joue au foot.
2. Tous les lundi, je joue au squash et je me douche.
3. Quand il fait beau le dimanche, je fais des maths.
4. Tous les lundi, s’il fait beau, je ne fais pas des maths.
EXERCICE 3
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : si et seulement si , ⇐, ⇒ .
1. x ∈ R, x2 = 4 . . . . . . x = 2.
2. z ∈ C, z = z . . . . . . z ∈ R.
3. x ∈ R, x = π . . . . . . e2ix = 1.
Daniel Matignon, Camille Plénat et Elaine Pratt
Université de Marseille-Provence
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THÉORIE DES ENSEMBLES
FONDEMENTS – 3
EXERCICE 4
Préciser si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, puis donner leur négation.
1. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0.
2. ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y > 0.
3. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0.
4. ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x.
EXERCICE 5
Soient f, g deux fonctions de R dans R. Traduire avec les quantificateurs les expressions suivantes.
1. f est majorée ;
2. f est bornée ;
3. f est paire ;
4. f est impaire ;
5. f ne s’annule jamais ;
6. f est périodique ;
7. f est croissante.
2
Théorie des ensembles
La notion 00 d’ensemble00 est fondamentale en mathématiques, et ne peut être définie à partir d’autres notions.
La théorie des ensembles montre l’existence des ensembles finis et donc des nombres entiers ; cependant
l’ensemble de tous les entiers N est axiomatique, appelé axiome de l’infini. A partir de ces ensembles on
construit tous les ensembles connus.
2.1
Ensembles
Ensembles et éléments. On définit un ensemble comme étant une famille d’objets. On note les ensembles
par des accolades : {x/A(x)} ou {x, A(x)} ou {x : A(x)}, où A(x) est une assertion qui dépend de x. Cela
signifie : 00 l’ensemble des x tels que A(x) est vraie00 . Les objets x vérifiant A(x) sont appelés éléments de l’
ensemble. L’appartenance d’un élément x à un ensemble E se note x ∈ E. On peut noter aussi les ensembles
par leur nom, quand celui-ci est connu (comme l’ensemble des réels, noté R). Mais on peut donner aussi
toute la collection d’objets, sans en donner les propriétes (dans le cas où les ensembles sont finis biensur).
En général on note les ensembles par des lettres majuscules et les éléments par des minuscules : E1 = {a},
E2 = {1, 2, 3}, E3 = {x : x + 1 < 0} ; alors 2 ∈ E2 .
On appelle ensemble vide, l’ensemble qui ne contient aucun élément, et on le note ∅.
Sous-ensembles. Un sous-ensemble B d’un ensemble A est alors une famille d’objets déjà contenus dans
A. On note 00 B sous ensemble de A00 par le symbole : B ⊂ A. On dit que B est inclus dans A. Par définition
a ∈ A si et seulement si {a} ⊂ A, par exemple {1, 2} ⊂ {1, 2, 4} car 1 ∈ {1, 2, 4} et 2 ∈ {1, 2, 4}.
En pratique : Pour montrer l’inclusion de A dans B, il faut montrer que chaque éléments de A est dans B,
si A est non-vide. L’ensemble vide est inclu dans tout ensemble.
Notations : La non-inclusion et la non-appartenance se notent respectivement par les symboles 6⊂ et 6∈.
Attention : les notions
d’inclusion et d’appartenance sont des notions différentes ;
d’objets et d’ensembles,
par exemple, soit A = {1, 2}, {0, 1, 2} un ensemble formé d’ensemble, et B = {0, 1, 2}. Alors :
B est un élément de A.
0 ∈ B mais 0 ∈
/ A, donc B ∈ A mais B 6⊂ A.
B est l’ensemble formé des éléments 0, 1, 2 et {B} est l’ensemble formé de l’ensemble B.
Si C = {1, 2} alors A = {B, C}.
Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments. On note deux ensembles A et B
égaux par A = B et cela signifie que A ⊂ B et B ⊂ A.
Ensemble des parties. Comme dans l’exemple ci-dessus, on peut construire à partir d’un ensemble A,
l’ensemble de ses parties, noté P(A), formé de tous les sous-ensembles de A.
Complémentaire. Si B est un sous-ensemble de A, on définit, et on note A − B, le complémentaire de B
dans A par A − B = {x ∈ A : x 6∈ B}. Ce sont les éléments de A qui ne sont pas dans B. On le note aussi
B. On a ∅ = A et A = ∅.
EXERCICE 6
Daniel Matignon, Camille Plénat et Elaine Pratt
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THÉORIE DES ENSEMBLES
FONDEMENTS – 4
Donner l’ensemble des parties de A = {1, 2}{0, 1, 2} et B = {0, 1, 2}.
Notations et définitions.
Soient A, B des sous-ensembles d’un ensemble E.
• On définit l’union de A et B, et on la note A ∪ B, par A ∪ B = {x ∈ A ou x ∈ B}.
• On définit l’intersection de A et B, et on la note A ∩ B, par A ∩ B = {x ∈ A et x ∈ B}.
• Les sous-ensembles A et B de E sont dits disjoints si A ∩ B = ∅.
• On définit le produit cartésien de A et B, et on le note A × B par : A × B = {(a, b) : a ∈ A et b ∈ B}.
Méthode : Soient A et B deux sous-ensembles. Pour montrer A ⊂ B, il faut montrer que tous éléments de
A sont dans B. Donc, on en prend un (arbitrairement, cad quelconque) et on montre qu’il est dans B.
On commence donc le raisonnement par :
Soit x ∈ A. On veut montrer que x ∈ B.
Pour montrer que A = B, on montre les deux inclusions, cad d’abord on montre que A ⊂ B (avec la
méthode ci-dessus), puis on montre que B ⊂ A (toujours avec la même méthode).
On note que trivialement, si A, B, C sont des sous-ensembles d’un ensemble E, alors on a :
A ∩ B = B ∩ A (idem avec ∪) ;
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (idem avec ∪), et
A ∩ ∅ = ∅ et A ∪ ∅ = A. De manière moins triviale, on a aussi les propriétés ci-dessous.
Proposition 2.1 Soient A, B, C des parties d’un ensemble E. Les affirmations suivantes sont toutes vraies.
1. A ⊂ B ⇔ B ⊂ A.
2. A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.
3. A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.
4. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
5. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
6. A ∩ B = A ∪ B.
7. A ∪ B = A ∩ B.
EXERCICE 7
Montrer les affirmations de la Proposition 2.1.
2.2
Applications
Définitions et notations.
• On appelle application, que l’on note f , de E dans F une correspondance qui à tout élément x de E associe
un et un seul élément y de F , qu’on appelle image de x.
– E est appelé l’ensemble de définition ou de départ de f .
– F est appelé l’ensemble d’arrivée de f .
On note les applications f , d’ensemble de départ E et d’ensemble d’arrivée F , par une flèche de la manière
suivante :
f :E→F
et l’image d’un point x par y = f (x). On appelle dans ce cas x l’antécédent de y.
Remarque : Si tout élément de E a une image (et une seule), en revanche tous les éléments de F ne sont
pas toujours atteints par f (par ”atteint” on signifie qu’ il n’existe pas toujours pour z ∈ F un élément
x ∈ E tel que f (x) = z)
• Soit f : E → F une application. On appelle ensemble image de E par f (ou ensemble image de f tout
simplement) par
Im(f ) = {y ∈ F : ∃x ∈ E, f (x) = y}.
Daniel Matignon, Camille Plénat et Elaine Pratt
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THÉORIE DES ENSEMBLES
FONDEMENTS – 5
Donc
y ∈ Im(f ) si et seulement si ∃x ∈ E, y = f (x)
Remarques : On a bien entendu (par définition) Im(f ) ⊂ F mais pas toujours l’égalité. De plus, si
y ∈ Im(f ) ⊂ F , alors y n’a pas forcément un unique antécédent.
EXERCICE 8
1. Soit l’application définie par f : N → N telle que f (n) = 2n. Montrer que Im(f ) = 2N.
2. Soit l’application définie par f : R → R telle que f (x) = x2 . Montrer que Im(f ) = R+ . Existe-t-il des
éléments de l’ensemble d’arrivée qui ne sont pas des images de f ? . . . qui ont plusieurs antécédents ?
• On appelle graphe de f l’ensemble des points (x, y) dans E × F tels que y = f (x).
• L’ensemble des applications de E dans F est noté F(E, F )
Exemples : On note Id ou IdE l’application définie par Id : E → E telle que Id(x) = x, appelée identité.
Si E ⊂ F on définit l’inclusion de E dans F par i : E → F telle que i(x) = x.
• Soient E, F et G trois ensembles. Soient f : E → F et g : F → G deux applications. Alors il existe une
unique application h : E →
G, notée g ◦ f (on prononce g rond f) et appelée composée de f par g, définie
par ∀x ∈ E, h(x) = g f (x) .
• On dit que deux applications f, g : E → F sont égales si ∀x ∈ E, f (x) = g(x).
2.3
Propriétés des applications
Définitions.
• Soit f : E → F une application.
– f est dite injective si tout élément y ∈ F a au plus un antécédent (il peut ne pas y en avoir) ; cad :
∀x, x0 ∈ E (f (x) = f (x0 )) ⇒ (x = x0 )
– f est dite surjective si tout élément y ∈ F a au moins un antécédent ; cad :
Im(f ) = F i.e. ∀y ∈ F, ∃x ∈ E : f (x) = y
– f est dite bijective si tout élément y ∈ F a un unique antécédent. Cela équivaut à dire que f est à la
fois injective et bijective.
Méthodes : On va présenter les méthodes classiques autour des question d’injectivité et de surjectivité, en
passant par les calculs.
Non injectivité. Pour montrer que f n’est pas injective, on doit trouver deux éléments distincts x 6= x0
tels que f (x) = f (x0 ). Il suffit d’en trouver deux particuliers. Par exemple, la fonction f : R → R définie
par f (x) = x2 , ∀x ∈ R n’est pas injective car f (−1) = f (1). On a trouvé −1 et 1.
Non surjectivité. Pour montrer que f n’est pas surjective, on doit trouver un y ∈ F particulier tel que
y 6= f (x), ∀x ∈ E. Par exemple, la fonction f : R → R définie par f (x) = x2 , ∀x ∈ R n’est pas surjective
car f (x) 6= −1, ∀x ∈ R. On a trouvé y = −1 (on aurait pu prendre n’importe quel y < 0).
Injectivité. Pour montrer que f est injective, on doit prendre deux éléments arbitraires x et x0 et montrer
que si f (x) = f (x0 ) alors x = x0 . On commence le raisonnement par
Soient x et x0 dans E. Supposons que f (x) = f (x0 ). On veut montrer que x = x0 .
On utilise alors la définition de f . Par exemple si f (x) = 2x + 1, on a 2x + 1 = 2x0 + 1 donc x = x0 .
Surjectivité. Pour montrer que f est surjective, on doit prendre un élément arbitraire y et montrer qu’il
existe x ∈ E tel que y = f (x). On commence le raisonnement par
Soit y ∈ F . On doit trouver x ∈ E tel que y = f (x).
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THÉORIE DES ENSEMBLES
FONDEMENTS – 6
On utilise alors la définition de f . Par exemple si f (x) = 2x + 1, on a y = 2x + 1 donc x = (y − 1)/2
convient ; cad en prenant x = (y − 1)/2 alors y = f (x).
EXERCICE 9
1. Représenter graphiquement une courbe (dans R2 ) qui ne soit pas le graphe d’une application de R dans R.
2. Représenter le graphe d’une application croissante f définie partout sur ] − ∞, 4], à valeurs dans R, et
telle que f (4) = 2. Cette application est-elle injective ? Interpréter l’injectivité d’une application de R dans
R graphiquement.
3. Représenter le graphe d’une application non-monotone g définie partout sur ]4, +∞[, à valeurs dans R,
et telle que g(x) > 5, ∀x ∈]4, +∞[. Cette application est-elle surjective ? Interpréter la surjectivité d’une
application de R dans R graphiquement.
4. Soit h la ’réunion’ de f et g. Donner une définition de h, puis tracer son graphe. Cette application est-elle
continue en 4 ? Justifier graphiquement, puis avec les quantificateurs.
5. Interpréter la bijectivité d’une application de R dans R graphiquement.
√
6. La fonction sin est-elle injective ? Déterminer graphiquement l’image inverse de f −1 ({ 2/2}), puis en
donner la définition avec les quantificateurs.
7. Soit f la fonction de [−π/2, π/2] sur [−1, 1] définie par f (x) = sin(x), ∀x ∈ [−π/2, π/2]. Cette fonction
est-elle injective, surjective, bijective ?
Méthodes : On voit avec cet exercice une méthode graphique. Notons Gf le graphe de f une fonction
définie de R dans R.
Injectivité. La fonction f est injective si et seulement si chaque droite horizontale coupe Gf en au plus un
point. Donc, elle n’est pas injective si IL EXISTE une droite horizontale qui coupe plusieurs fois Gf .
Surjectivité. La fonction f est surjective si et seulement si chaque droite horizontale coupe Gf . Donc, elle
n’est pas surjective si IL EXISTE une droite horizontale qui ne coupe pas Gf .
• Soit f : E → F une application bijective. On définit l’application réciproque de f , notée f −1 , par f −1 :
F → E telle que f −1 (y) = x où x est l’unique antécédent de y par f . Comme cet antécédent est unique, f −1
est bien une application. On a donc la proposition suivante. Le théorème sera montré en exercice.
Proposition 2.2 Soit f : E → F une application bijective. Alors son application réciproque est unique. De
plus :
(i) ∀x ∈ E, f −1 ◦ f (x) = x, et
(ii) ∀y ∈ F, f ◦ f −1 (y) = y.
Théorème 2.1 Soient f : E → F et g : F → G deux applications. Alors
1. f et g injectives ⇒ gof est injective
2. f et g surjectives ⇒ gof est surjective
3. gof surjective ⇒ g est surjective
4. gof injective ⇒ f est injective
5. f et g bijectives ⇒ gof bijective, avec (gof )−1 = f −1 og −1 .
EXERCICE 10
Montrer le Théorème 2.1.
Méthode : Par conséquent, pour montrer qu’une application est bijective, il est souvent plus commode de
trouver sa réciproque, que de montrer qu’elle est injective et surjective. En effet si on trouve une application
g telle que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF alors f et g sont bijectives par les propriétés 3 et 4 ci-dessus (appliquées
à g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF ).
• Soit f : E → F une application. Soit A ∈ P(E) une partie de E. Soit B ∈ P(F ) une partie de F.
– On définit l’image directe de A par f , notée f (A), par f (A) = {y ∈ F : ∃x ∈ A, y = f (x)}.
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THÉORIE DES ENSEMBLES
FONDEMENTS – 7
– On définit l’image réciproque de B par f , noté f −1 (B), par : f −1 (B) = {x ∈ E : f (x) ∈ B}.
Attention : Dans ce cas précis f −1 ne désigne pas l’application réciproque (qui n’existe que si f est bijecive).
On écrit f −1 (B) en 00 termes ensemblistes00 et cette écriture n’a de signification que si l’on précise l’ensemble
B. De plus, dans ce cas, B doit-être un ensemble et non un élément.
Soient f : E → F une application, A ⊂ E et B ⊂ F . On a donc
y ∈ f (A) si et seulement si ∃x ∈ A, y = f (x).
et
x ∈ f −1 (B) si et seulement si f (x) ∈ B.
Ceci est très important,
et permet de montrer la proposition suivante. Par exemple, écrivons ce que signifie
x ∈ f −1 f (A). En posant B = f (A), on a :
x ∈ f −1 f (A) si et seulement si f (x) ∈ f (A)
si et seulement si ∃x0 ∈ A, f (x) = f (x0 )
Proposition 2.3 Soit f : E → F une application. Soient A, B ∈ P(E) des parties de E et A0 , B 0 ∈ P(F )
des parties de F. Les propriétés suivantes sont toutes vraies.
1. f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
2. f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B), et on a égalité ∀A, B si et seulement si f est injective.
3. f −1 (A0 ∪ B 0 ) = f −1 (A0 ) ∪ f −1 (B 0 ).
4. f −1 (A0 ∩ B 0 ) = f −1 (A0 ) ∩ f −1 (B 0 ).
5. f (f −1 (A0 )) ⊂ A0 , et on a égalité ∀A0 si et seulement si f est surjective.
6. A ⊂ f −1 (f (A)), et on a égalité ∀A si et seulement si f est injective.
EXERCICE 11
Montrer la Proposition 2.3.
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