TD 1 Arithmétique : logique, ensembles

TD 1 Arithm´etique : logique, ensembles
Exercice 1. Soit Iun intervalle non vide de Ret f:I→Rune fonction d´efinie sur I. Exprimer les
n´egations des assertions suivantes :
1) ∀x∈I, f(x)6= 0
2) ∀y∈R,∃x∈I, f(x) = y
3) ∃M∈R,∀x∈I, |f(x)| ≤ M
4) ∀x, y ∈I, x ≤y⇒f(x)≤f(y)
5) ∀x, y ∈I, f(x) = f(y)⇒x=y
6) ∀x∈I, f(x)>0⇒x≤0
Exercice 2. Mˆeme contexte que l’exercice pr´ec´edent : soit f:I→R. Exprimer `a l’aide de quantifica-
teurs, les assertions suivantes :
1) La fonction fs’annule
2) fn’est pas une fonction constante
3) fne prend jamais deux fois la mˆeme valeur
4) fne peut s’annuler qu’une fois
5) fadmet un minimum
Exercice 3. Soient A, B deux parties d’un ensemble E. D´eterminer une condition n´ecessaire et suffi-
sante sur A, B pour que l’´equation
A∩X=B
admette une solution X∈ P(X).
Mˆeme question pour l’´equation A∪X=B, et A4X=B.
Exercice 4. Fonctions caract´eristiques :
Rappel. Soit Eun ensemble, A∈ P(E). La fonction caract´eristique de Aest la fonction
χA:
E→ {0,1}
x7→ 1 si x∈A
x7→ 0 si x6∈ A
Soient A, B deux parties de E. On note χAet χBleurs fonctions caract´eristiques respectives. Montrer
que : 1−χA;χAχB;χA+χB−χAχB; sont les fonctions caract´eristiques de trois ensembles (d´ependant
de Aet B) que l’on d´eterminera.
Indication : On pourra montrer d’abord que si fest une fonction d´efinie sur E`a valeurs dans {0,1},
il existe un ensemble D={x∈E, f(x) = 1} ⊂ Edont fest la fonction caract´eristique.
Exercice 5. Un peu de topologie :
B(a, r) est le disque dans le plan R2de centre aet de rayon r. 0 est (bien sˆur) le point (0,0) de R2.
D´ecrire les ensembles suivants :
A=\
r>0
B(0, r) et B=[
r>0
B(0, r)
Exercice 6. D´ecrire P(P({a})), o`u aest un ´el´ement.
Exercice 7. Soit E, F deux ensembles et f:E→Fune application. Montrer :
1

1) fest injective ⇔ ∃g:F→E, g ◦f=IdE
2) (tr`es, tr`es difficile) fest surjective ⇔ ∃g:F→E, f ◦g=IdF
3) Soit h:F→Etelle que f◦h=IdF; montrer qu’alors fest surjective et hest injective.
Exercice 8. Soit E, F deux ensembles, f:E→Fune application. Soit
Φf:P(F)→ P(E)
B7→ f−1(B) = {x∈E, f(x)∈B}
1) V´erifier que Φfest bien une application
2) Que vaut Φf(F) ? Φf(∅) ?
3) Montrer que si fest injective, alors Φfest surjective.
Indication : on pourra (pour montrer 3) remarquer qu’on a toujours B⊂f−1(f(B)), et que
fest injective ⇔ ∀B⊂F, B =f−1(f(B))
Exercice 9. Soit Eun ensemble, A, B ⊂Edeux sous-ensembles de E, et Φ : P(E)→ P(A)× P(B)
X7→ (X∩A, X ∩B).
Montrer que Φ est injective si et seulement si A∪B=E.
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