Logique. Théorie des ensembles

R. Chill
Année 2006/07
Laboratoire de Mathématiques et
Applications de Metz
Logique. Théorie des ensembles
Examen du 22 janvier 2007, 10h30-12h30
(1) Montrer par un raisonnement de votre choix que les propositions suivantes sont
vraies:
(a) (p ∧ ¬(q ∧ p)) ↔ p. (1 point)
(b) Pour tout n ∈ N on a
n
X
n(n + 1) 2
k3 =
(2 points)
2
k=0
(c) ā, b̄ ∈ Z/nZ et ā · b̄ = 0̄ n’implique pas ā = 0̄ ou b̄ = 0̄. (1,5 points)
(2) Soient E et F deux ensembles. On note
F E := {f ⊂ E × F : f est application E → F }
l’ensemble de toutes les applications de E dans F .
(a) En supposant que E contient n éléments et que F contient m éléments,
combien d’éléments contient F E ? Justifier la réponse. (2 points)
(b) Trouver une bijection entre P (E) (l’ensembles des parties de E) et 2E . (2
points)
Rappel: 2 = {0, 1}.
(3) (a) Trouver une bijection entre N et Z. Justifier la réponse. (2 points)
(b) Trouver (sans justification) une application f : [0, 1] → [0, 1] qui est surjective mais pas injective. (1 point)
(4) Dans cet exercice on pose Z∗ := Z \ {0}. Sur le produit cartésien Z × Z∗ on définit
une relation ∼ par
∀(p, q), (r, s) ∈ Z × Z∗ :
(p, q) ∼ (r, s)
:⇔
p · s = r · q.
(a) Montrer que ∼ est reflexive et symétrique. (1,5 points)
(b) Montrer que si (p, q) ∼ (r, s), alors p = 0 ↔ r = 0. (1,5 points)
(c) Montrer que ∼ est transitive. On pourra utiliser (sans démonstration) le fait
que si l · m = n · m pour l, n, m ∈ Z, m 6= 0, alors l = n. (1,5 points)
(d) Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur Z × Z∗ . (1 point)
Remarque: Q = (Z × Z∗ )/ ∼.
(5) Décider si les inf et sup suivants existent, et s’ils existent, donner leur valeur:
(a) sup{x ∈ R : x2 ≤ 2} dans (R, ≤). (1 point)
(b) sup{x ∈ Q : x2 ≤ 2} dans (Q, ≤). (1 point)
(c) inf[0, 1[ et sup[0, 1[ dans (R, ≤). (1 point)