Logique. Théorie des ensembles

Laboratoire de Math´ematiques et
Applications de Metz
R. Chill
Ann´ee 2006/07
Logique. Th´eorie des ensembles
Examen du 22 janvier 2007, 10h30-12h30
(1) Montrer par un raisonnement de votre choix que les propositions suivantes sont
vraies:
(a) (p∧ ¬(q∧p)) ↔p.(1 point)
(b) Pour tout n∈Non a
n
X
k=0
k3=n(n+ 1)
22(2 points)
(c) ¯a,¯ b∈Z/nZet ¯a·¯ b=¯ 0 n’implique pas ¯a=¯ 0 ou ¯ b=¯ 0. (1,5 points)
(2) Soient Eet Fdeux ensembles. On note
FE:= {f⊂E×F:fest application E→F}
l’ensemble de toutes les applications de Edans F.
(a) En supposant que Econtient n´el´ements et que Fcontient m´el´ements,
combien d’´el´ements contient FE? Justifier la r´eponse. (2 points)
(b) Trouver une bijection entre P(E) (l’ensembles des parties de E) et 2E.(2
points)
Rappel: 2 = {0,1}.
(3) (a) Trouver une bijection entre Net Z. Justifier la r´eponse. (2 points)
(b) Trouver (sans justification) une application f: [0,1] →[0,1] qui est surjec-
tive mais pas injective. (1 point)
(4) Dans cet exercice on pose Z∗:= Z\{0}. Sur le produit cart´esien Z×Z∗on d´efinit
une relation ∼par
∀(p, q),(r, s)∈Z×Z∗: (p, q)∼(r, s) :⇔p·s=r·q.
(a) Montrer que ∼est reflexive et sym´etrique. (1,5 points)
(b) Montrer que si (p, q)∼(r, s), alors p= 0 ↔r= 0. (1,5 points)
(c) Montrer que ∼est transitive. On pourra utiliser (sans d´emonstration) le fait
que si l·m=n·mpour l,n,m∈Z,m6= 0, alors l=n.(1,5 points)
(d) Montrer que ∼est une relation d’´equivalence sur Z×Z∗.(1 point)
Remarque: Q= (Z×Z∗)/∼.
(5) D´ecider si les inf et sup suivants existent, et s’ils existent, donner leur valeur:
(a) sup{x∈R:x2≤2}dans (R,≤). (1 point)
(b) sup{x∈Q:x2≤2}dans (Q,≤). (1 point)
(c) inf[0,1[ et sup[0,1[ dans (R,≤). (1 point)