p X =k =Nk pk 1− p n−k - gerard

LA LOI BINOMIALE
1) La loi de Bernoulli
On considère une expérience aléatoire à deux issues le succès S avec une probabilité p(S)=p
et l'échec S avec une probabilité 1-p; soit la variable aléatoire B qui prend la valeur 1 en
cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec .
On a : P( B=0)=1−p et p (B=1)= p
Cette variable aléatoire B suit la loi de Bernoulli de paramètre p .
Espérance de la loi de Bernoulli :
E( B)=p
Variance de la loi de Bernoulli : V (B)=p−p2=p (1−p)
Ecart type de la loi de Bernoulli : σ( B) =
 p− p2
=
 p 1− p
exemple 1 : une variable aléatoire B suit la loi de Bernoulli de paramètre
2
1
et P (B=1)= .
3
3
1
2
Son espérance est
; sa variance est
; son écart type est
3
9
Sa loi est :
1
.
3
P ( B=0)=
2 .
3
2) Loi Binomiale
On répète n fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire
qui suit la loi de Bernoulli B à deux issues : S (succès) avec une probabilité p et S
( échec ) avec une probabilité 1− p . X est la variable aléatoire correspondant au nombre
de succès obtenus .
C'est la loi binomiale de paramètres n et p notée B n ; p .
On remarque que : p  X =0  = 1− p  n
(une liste contenant 0 succès donc n échecs successifs)
n−1
( n listes contenant 1 succès et n-1 échecs) .
p  X =1 =n p  1− p 
n
p  X =n  = p
(une liste contenant n succès) .
Notons N k le nombre de listes contenant k succès , on a alors la loi de X qui est donné par :
p  X =k = N k p k  1− p n−k car il y a N k listes contenant k succès et n-k échecs.
Les n+1 nombres N 0 =1 , N 1=n , …. N k , …., N n−1 =n , N n =1 sont appelés coefficients
binomiaux . (Ils ont été calculé par Pascal : triangle de Pascal ; utilisés également par Newton
dans le développement du binôme : calcul de  x y n ) .
En BTSCGO , P(X=k) se détermine à la calculatrice dans le mode « distrib » (abréviation de
distribution) avec la fonction binomFdP (n,p,k) et P( X⩽k ) se détermine avec la fonction
binomFreP(n,p,k).
D'autre part , notant Y la loi de Bernoulli de paramètre p , X est la somme de n lois de Bernoulli
identiques à Y .
X=Y+Y+...+Y donc E(X)=E(Y)+E(Y) +...+E(Y)=n E(Y)=n p
et V(X)=V(Y)+V(Y)+...+V(Y) =n p(1-p).
En résumé : E(X)= n p et V(X)=n p(1-p)
2
;
3
1) La loi de X se trouve en utilisant dans f(x) Y1=binomFdP (4,2/3,x) et faire un tableau de
valeurs avec valeur initiale à 0 et un pas de 1 .
k
0
1
2
3
4
Exemple 1: la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n= 4 et p=
p(X=k)
0,0123
0,0988
0,2963
0,3951
0,1975
2) Espérance , variance , écart type
E ( X ) =4 ( 2 /3 ) =8/3≈2,67 ; V ( X ) = 4 ( 2/ 3)(1/3)=8 /9≈0,8889 donc σ( X )≈0,94 .
3) Quelle est la probabilité que X soit inférieure ou égale à 3 ?
P( X⩽3) = 0,8025 en utilisant binomFreP(4,2/3,3)
4) Quelle est la valeur de P ( X ⩾2 ) ?
P ( X ≥2)=1 − P(X⩽1) =1-0,1111=0,8889 en utilisant 1-binomFrep(4,2/3,1)
Exemple 2: Une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges . On tire successivement et avec
remise 3 boules de l'urne . Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules vertes
tirées .
Question 1 : démontrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres .
2
Chaque tirage d'une boule suit une loi de Bernoulli de paramètre
correspondant à la
5
probabilité d'obtenir une boule verte (succès).
Cette expérience aléatoire est répétée 3 fois de manière successive et indépendante car le tirage est
successif et avec remise .
2
On en déduit que X suit la loi binomiale de paramètres n=3 et p= .
5
Question 2 : Quelle est la probabilité d'obtenir une boule verte ?
La loi de X est :
k
0
1
2
3
p(X=k)
0,2160
0,4320
0,2880
0,0640
P(X=1)=0,432
Question 3: déterminer l'espérance de X , la variance et l'écart type de X
E ( X ) =3 ( 2/5 )=1,2 ; V ( X )=3 ( 2/5 ) ( 3/5 ) =0,72 ; σ( X )≈0,85
Question 4 : Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux boules vertes dans ce tirage ?
p ( X ≤2 ) =0,936
Question 5 : Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule verte ?
p ( X ≥2 ) =1−P ( X ≤1 )=1−0,648=0,352