MP Janson Formulaire de trigonométrie 2016/2017 Formulaire de

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MP Janson
Formulaire de trigonométrie
Formulaire de trigonométrie
1. Identités fondamentales : D’après la formule d’Euler, pour tout t P R,
eit “ cosptq ` i sinptq et
cosptq “
eit ` e´it
eit ´ e´it
“ <peit q et sinptq “
“ =peit q
2
2i
De plus,
@ t P R, cos2 ptq ` sin2 ptq “ 1.
Réciproquement, pour tout pa, bq P R2 vérifiant a2 ` b2 “ 1, il existe un
unique réel t P r0, 2πr tel que a “ cosptq et b “ sinptq.
2. Valeurs particulières
t
0
cosptq
1
sinptq
0
tanptq 0
π
6
?
3
2
1
2
?
3
3
3. Périodicité et invariance
Pour tout x P R,
cospx ` πq
“ ´ cospxq
cospx ` kπq “ p´1qk cospxq
cospπ
´ ´ xqπ ¯ “ ´ cospxq
“ ´ sinpxq
cos x `
´π 2 ¯
cos
´x
“ sinpxq
2
!π
Pour tout x P D “ R ´
` kπ, k
2
π
4
?
2
2
?
2
2
1
π
3
1
2
?
3
2
?
3
π
2
π
0
´1
1
0
2016/2017
tanpx ` kπq “ tanpxq, k P Z,
tanpπ ´ xq “ ´ tanpxq
´π
¯
1
tan
´x
“
2
tanpxq
On peut “retrouver” ces relations sur le cercle trigonométrique. Elles permettent de compléter le tableau de valeurs particulières ci-dessus (avec les
2π
¨ ¨ ¨ ).
valeurs en
3
4. Dérivabilité
Les fonctions sinus et cosinus sont infiniment dérivables sur R et elles vérifient : sin1 “ cos et cos1 “ ´ sin.
´
$
π¯
’
cos1 pxq “ cos x `
’
&
2
Ainsi pour tout x P R,
´
¯.
’
’
%sin1 pxq “ sin x ` π
2
On
en
déduit
donc
que
pour
tout
k
P
N, pour tout x P R,
´
¯
$
π
pkq
’
cos
pxq
“
cos
x
`
k
’
&
2
.
´
’
π¯
’ pkq
%
sin pxq “ sin x ` k
2
1
La fonction tan est infiniment dérivable sur D et tan1 “ 1 ` tan2 “
.
cos2
5. Formules d’addition et produit
n.d.
sinpx ` πq
sinpx ` kπq
sinpπ
´ ´ xqπ ¯
sin x `
´π 2 ¯
sin
´x
)2
PZ ,
0
“ ´ sinpxq
“ p´1qk sinpxq, k P Z
“ sinpxq
“ cospxq
“ cospxq
(a) Sinus, Cosinus et Tangente d’une somme
@pa, bq P R2 , cospa ` bq “ cospaq cospbq ´ sinpaq sinpbq,
sinpa ` bq “ sinpaq cospbq ` sinpbq cospaq,
cospa ´ bq “ cospaq cospbq ` sinpaq sinpbq,
sinpa ´ bq “ sinpaq cospbq ´ sinpbq cospaq
@pa, bq P R2 { ta, b, a ` bu Ă D, tanpa ` bq “
tanpaq ` tanpbq
.
1 ´ tanpaq tanpbq
tanpaq ´ tanpbq
.
1 ` tanpaq tanpbq
En particulier on en déduit les formules de l’angle double :
@pa, bq P R2 { ta, b, a ´ bu Ă D, tanpa ´ bq “
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Formulaire de trigonométrie
sinp2aq “ 2 cospaq sinpaq
cosp2aq “ cos2 paq ´ sin2 paq
cosp2aq “ 2 cos2 paq ´ 1
cosp2aq “ 1 ´ 2 sin2 paq.
2 tanpaq
tanp2aq “
1 ´ tan2 paq
2016/2017
x
Soit x P R, tel que
P D, i.e. x P R ´ tπ ` 2kπ, k P Zu. En posant
2
´x¯
, on a les expressions :
t “ tan
2
cospxq “
1 ´ t2
2t
et sinpxq “
2
1`t
1 ` t2
Si de plus, x P D, alors,
On utilisera souvent les conséquences suivantes :
tanpxq “
cos2 paq
“
sin2 paq
“
cosp2aq ` 1
2
1 ´ cosp2aq
2
(b) Sommes et Produits de Sinus et Cosinus
Les formules précédentes permettent d’établir, pour a et b réels quelconques :
cospaq cospbq
“
1
pcospa ` bq ` cospa ´ bqq
2
sinpaq sinpbq
“
1
pcospa ´ bq ´ cospa ` bqq
2
sinpaq cospbq
“
1
psinpa ` bq ` sinpa ´ bqq
2
En conséquence :
ˆ
˙
ˆ
˙
a`b
a´b
cos
ˆ2
˙
ˆ 2
˙
a`b
a´b
cospaq ´ cospbq “ ´2 sin
sin
2˙
2˙
ˆ
ˆ
a´b
a`b
cos
sinpaq ` sinpbq “ 2 sin
ˆ 2 ˙
ˆ 2 ˙
a`b
a´b
sinpaq ´ sinpbq “ 2 cos
sin
2
2
´x¯
6. Transformation t “ tan
2
cospaq ` cospbq
“ 2 cos
2t
1 ´ t2
7. Équations trigonométriques
Soient x et y des réels.
— sinpxq “ sinpyq si et seulement si x ” y r2πs ou x ” π ´ y r2πs
— cospxq “ cospyq si et seulement si x ” y r2πs ou x ” ´y r2πs
π
π
— cospxq “ sinpyq si et seulement si x ” ´ y r2πs ou x ” y ´ r2πs
2
2
— tanpxq “ tanpyq si et seulement si x ” y rπs
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