[PDF]

Université “François Rabelais” de Tours
L2 Sciences de la Matière
Modélisation, Simulations, Outils Informatiques
2015–2016
TD2 : Récurrences et chaos : Equations dfférentielles
La résolution des équations différentielles conduit naturellement à l’étude des propriétés
des récurrences.
1. Un exemple est celui d’une particule chargée dans un champ électrique et magnétique uniformes :
dv
= qv ∧ B + qE
(1)
m
dt
OPTIONNELLE : Comme autre exemple on va traiter le problème d’une particule chargée dans un
champ électrique et magnétique–en incluant les effets des champs produits par la
charge elle-même dans le passé :
2 q 2 d2 v
dv
= qv ∧ B + qE +
m
dt
3 4π dt2
(2)
Dans les deux cas la trajectoire, x(t) est obtenue par l’équation
dx(t)
= v(t)
(3)
dt
Pour résoudre les équations on va employer la méthode de Störmer–Verlet (écrite dans le
cas scalaire) :
∆t
vn+ 1 = vn +
a(xn )
2
2
xn+1 = xn + ∆tvn+ 1
(4)
2
∆t
vn+1 = vn+ 1 +
a(xn+1 )
2
2
qui fournissent une discrétisation cohérente des équations de Newton
dx
= v(t)
dt
(5)
dv
= a(x)
dt
On cherche à afficher la trajectoire pour différents configurations du champ magnétique
et électrique–et discuter l’analogie avec la force de Coriolis.
1