Feuille n°5

Cohomologie des groupes
A. Touz´e. 2011-2012.
Exercices sur les suites spectrales (feuille II)
Suite spectrale Lyndon Hochschild Serre
Exercice 1 : Suite exacte `a 5 termes
Soit Hun sous-groupe normal de G, et M∈kG-mod (kest un anneau commutatif). Montrez que l’on
a une suite exacte `a 5 termes :
0→H1(G/H, MH)→H1(G, M)→H1(H, M)G/H →H2(G/H, MH)→H2(G, M).
(on pourra consulter l’exercice 1 de la feuille I)
Exercice 2 : Une suite exacte de Gysin
1. Soit Hun sous-groupe normal de G, et soit M∈kG-mod. Montrez que l’action de g∈Gsur H∗(H, M)
est induite par la paire (cg, ρg), o`u cg:H→Hd´esigne la conjugaison par get ρg:M→M, m 7→ gm.
2. Montrez que si Hest un sous-groupe central de G, alors l’action de G/H sur H∗(H, k) (cohomologie
`a coefficients dans le k-module trivial) est trivial.
3. Soit Cun groupe cyclique infini contenu dans le centre de G. Montrez qu’on a une suite exacte longue :
· · · → Hp(G/C, k)→Hp+2(G/C, k)→Hp+2(G, k)→Hp+1(G/C, k)→Hp+3(G/C, k)→. . .
(on pourra consulter l’exercice 2 de la feuille I)
Suite spectrale de Serre
Si Xest un espace topologique, on note H∗(X) sa cohomologie singuli`ere `a coefficients entiers.
Exercice 3 : Cohomologie des espaces de lacets des sph`eres.
1. Soit Snune sph`ere de dimension paire. On rappelle (cf. cours) que Hi(ΩSn) = Zsi iest un multiple
de (n−1), et z´ero sinon. On note xiun g´en´erateur de Hi(n−1)(ΩSn). Montrez qu’on a les relations
suivantes dans l’alg`ebre H∗(ΩSn) : (x1)2= 0, (x2)k=k!x2ket x1x2k=x2k+1.
2. On d´efinit l’alg`ebre `a puissance divis´ee ΓZ(Z[d]) sur un Z-module libre Z[d] de rang un et de degr´e
dpair de la fa¸con suivante. En tant que Z-module gradu´e, ΓZ(Z[d]) vaut Zen chaque degr´e multiple
de det qui vaut z´ero dans les autres degr´es. Notons xiun g´en´erateur de la copie de Zen degr´e di.
On d´efinit le produit par : xixj=(i+j)!
i!j!xi+j. Montrez que H∗(ΩSn) est isomorphe `a l’alg`ebre gradu´ee
ΛZ(Z[n−1]) ⊗ΓZ(Z[2n−2]).
Exercice 4 : Cohomologie de CPnet CP∞
1. Soit S2n+1 ⊂Cn+1 l’ensemble des (z0, . . . , zn) tels que |zi|= 1 pour tout i. Montrez que S1={z∈
C;|z|= 1}agit continument sur S2n+1 et que le quotient est CPn. Puis montrez que le morphisme
quotient S2n+1 CPnest un fibr´e localement trivial de fibre S1.
2. Montrez que l’alg`ebre H∗(CPn) est ´egale `a Z[x]/(xn+1) o`u xest un g´en´erateur de degr´e 2.
3. Montrez que l’inclusion CPn⊂CP∞induit un morphisme surjectif H∗(CP∞)H∗(CPn) et d´eduisez
en l’alg`ebre de cohomologie de CP∞.
Exercice 5 : Morphismes de bord dans la suite spectrale de Serre
Soit F →EBune fibration de base Bun CW-complexe connexe par arcs, simplement connexe, et
de fibre Fconnexe. Soit (Ep,q
r)r≥2la suite spectrale de Serre associ´ee `a cette fibration.
1

1. On appelle morphisme de bord (‘edge morphism’) vertical de la suite spectrale de Serre le morphisme
H∗(E)→H∗(F) d´efini comme la compos´ee :
Hi(E)Gr0Hi(E)'E0,i
∞⊂E0,i
2=H0(B, Hi(F)) = Hi(F).
A l’aide du morphisme de fibrations :
F//
_
F_
F// E
{∗} //B
montrez que le morphisme de bord est ´egal `a l’application induite par l’inclusion F⊂E.
2. On appelle morphisme de bord horizontal de la suite spectrale de Serre le morphisme H∗(B)→H∗(E)
d´efini comme la compos´ee :
Hi(B) = Hi(B, H0(F)) = Ei,0
2Ei,0
∞'GriHi(E) = FiHi(E)⊂Hi(E).
Montrez que le morphisme de bord est ´egal `a l’application induite par la projection EB.
Exercice 6 : Suite exacte de Gysin.
1. Soit EBune fibration de fibre Sn,n≥1. On suppose que Best un CW complexe connexe par
arcs et simplement connexe. Montrez que l’on a une suite exacte longue :
0→H0(B)→Hn+1(B)→Hn+1(E)→H1(B)→Hn+2(B)→Hn+2(E)→H2(B)→. . .
2. Montrez que dans la suite exacte longue pr´ec´edente, le morphisme Hk(B)→Hk(E) est induit par
l’application EB(on pourra consulter l’exercice 5), et que le morphisme Hk(B)→Hk+n+1(B) est
donn´e par le cup produit par une classe de cohomologie c∈Hn+1(B), ind´ependante de k. Cette classe
s’appelle la classe d’Euler de la fibration.
3. Montrez que si l’application EBadmet une section, la classe d’Euler de la fibration est nulle.
Exercice 7 : Suite spectrale de Lyndon Hochschild Serre revisit´ee.
Soit Gun groupe et Hun sous-groupe normal de G. Montrez qu’il existe une fibration F →YX
avec Xun espace de type K(G/H, 1), Yde type K(G, 1) et de fibre de type K(H, 1). D´eduisez-en une suite
spectrale d’alg`ebres
Ep,q
2=Hp(G/H, Hq(H, k)) =⇒Hp+q(G, k).
2