Feuille n°5

Cohomologie des groupes
A. Touzé. 2011-2012.
Exercices sur les suites spectrales (feuille II)
Suite spectrale Lyndon Hochschild Serre
Exercice 1 : Suite exacte à 5 termes
Soit H un sous-groupe normal de G, et M ∈ kG-mod (k est un anneau commutatif). Montrez que l’on
a une suite exacte à 5 termes :
0 → H 1 (G/H, M H ) → H 1 (G, M ) → H 1 (H, M )G/H → H 2 (G/H, M H ) → H 2 (G, M ) .
(on pourra consulter l’exercice 1 de la feuille I)
Exercice 2 : Une suite exacte de Gysin
1. Soit H un sous-groupe normal de G, et soit M ∈ kG-mod. Montrez que l’action de g ∈ G sur H ∗ (H, M )
est induite par la paire (cg , ρg ), où cg : H → H désigne la conjugaison par g et ρg : M → M, m 7→ gm.
2. Montrez que si H est un sous-groupe central de G, alors l’action de G/H sur H ∗ (H, k) (cohomologie
à coefficients dans le k-module trivial) est trivial.
3. Soit C un groupe cyclique infini contenu dans le centre de G. Montrez qu’on a une suite exacte longue :
· · · → H p (G/C, k) → H p+2 (G/C, k) → H p+2 (G, k) → H p+1 (G/C, k) → H p+3 (G/C, k) → . . .
(on pourra consulter l’exercice 2 de la feuille I)
Suite spectrale de Serre
Si X est un espace topologique, on note H ∗ (X) sa cohomologie singulière à coefficients entiers.
Exercice 3 : Cohomologie des espaces de lacets des sphères.
1. Soit S n une sphère de dimension paire. On rappelle (cf. cours) que H i (ΩS n ) = Z si i est un multiple
de (n − 1), et zéro sinon. On note xi un générateur de H i(n−1) (ΩS n ). Montrez qu’on a les relations
suivantes dans l’algèbre H ∗ (ΩS n ) : (x1 )2 = 0, (x2 )k = k!x2k et x1 x2k = x2k+1 .
2. On définit l’algèbre à puissance divisée ΓZ (Z[d]) sur un Z-module libre Z[d] de rang un et de degré
d pair de la façon suivante. En tant que Z-module gradué, ΓZ (Z[d]) vaut Z en chaque degré multiple
de d et qui vaut zéro dans les autres degrés. Notons xi un générateur de la copie de Z en degré di.
∗
n
On définit le produit par : xi xj = (i+j)!
i!j! xi+j . Montrez que H (ΩS ) est isomorphe à l’algèbre graduée
ΛZ (Z[n − 1]) ⊗ ΓZ (Z[2n − 2]).
Exercice 4 : Cohomologie de CP n et CP ∞
1. Soit S 2n+1 ⊂ Cn+1 l’ensemble des (z0 , . . . , zn ) tels que |zi | = 1 pour tout i. Montrez que S 1 = {z ∈
C ; |z| = 1} agit continument sur S 2n+1 et que le quotient est CP n . Puis montrez que le morphisme
quotient S 2n+1 CP n est un fibré localement trivial de fibre S 1 .
2. Montrez que l’algèbre H ∗ (CP n ) est égale à Z[x]/(xn+1 ) où x est un générateur de degré 2.
3. Montrez que l’inclusion CP n ⊂ CP ∞ induit un morphisme surjectif H ∗ (CP ∞ ) H ∗ (CP n ) et déduisez
en l’algèbre de cohomologie de CP ∞ .
Exercice 5 : Morphismes de bord dans la suite spectrale de Serre
Soit F ,→ E B une fibration de base B un CW-complexe connexe par arcs, simplement connexe, et
de fibre F connexe. Soit (Erp,q )r≥2 la suite spectrale de Serre associée à cette fibration.
1
1. On appelle morphisme de bord (‘edge morphism’) vertical de la suite spectrale de Serre le morphisme
H ∗ (E) → H ∗ (F ) défini comme la composée :
0,i
H i (E) Gr0 H i (E) ' E∞
⊂ E20,i = H 0 (B, H i (F )) = H i (F ) .
A l’aide du morphisme de fibrations :
F _
/ F
_
/E
/B
F
{∗}
montrez que le morphisme de bord est égal à l’application induite par l’inclusion F ⊂ E.
2. On appelle morphisme de bord horizontal de la suite spectrale de Serre le morphisme H ∗ (B) → H ∗ (E)
défini comme la composée :
i,0
H i (B) = H i (B, H 0 (F )) = E2i,0 E∞
' Gri H i (E) = F i H i (E) ⊂ H i (E) .
Montrez que le morphisme de bord est égal à l’application induite par la projection E B.
Exercice 6 : Suite exacte de Gysin.
1. Soit E B une fibration de fibre S n , n ≥ 1. On suppose que B est un CW complexe connexe par
arcs et simplement connexe. Montrez que l’on a une suite exacte longue :
0 → H 0 (B) → H n+1 (B) → H n+1 (E) → H 1 (B) → H n+2 (B) → H n+2 (E) → H 2 (B) → . . .
2. Montrez que dans la suite exacte longue précédente, le morphisme H k (B) → H k (E) est induit par
l’application E B (on pourra consulter l’exercice 5), et que le morphisme H k (B) → H k+n+1 (B) est
donné par le cup produit par une classe de cohomologie c ∈ H n+1 (B), indépendante de k. Cette classe
s’appelle la classe d’Euler de la fibration.
3. Montrez que si l’application E B admet une section, la classe d’Euler de la fibration est nulle.
Exercice 7 : Suite spectrale de Lyndon Hochschild Serre revisitée.
Soit G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Montrez qu’il existe une fibration F ,→ Y X
avec X un espace de type K(G/H, 1), Y de type K(G, 1) et de fibre de type K(H, 1). Déduisez-en une suite
spectrale d’algèbres
E2p,q = H p (G/H, H q (H, k)) =⇒ H p+q (G, k) .
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