Série 10

Introduction à la théorie des nombres
Prof. E. Bayer Flückiger
Bachelor Semestre 6
5.4.2014
Série 10
Pour tout entier n ≥ 1, nous posons ζn = exp(2πin−1 ) et k = Q(ζn ). On appelle k un
corps cyclotomique. Voici deux faits importants sur ces corps:
(1) Le polynôme minimal de ζn sur Q est le polynôme cyclotomique Φn ∈ Z[X], dont les
racines complexes sont les ζna avec 1 ≤ a < n premier à n:
Y
Φn (X) =
(X − ζna )
(a,n)=1
(2) L’anneau des entiers Ok de k est égal à Z[ζn ].
Exercice 1. Soit n ≥ 1 un entier et k le corps cyclotoymique Q(ζn ).
(1)
(2)
(3)
(4)
Vérifier les assertions (1) et (2) ci–dessus dans le cas où n = p est un nombre permier.
Quel est le degré de k? Pour quels entiers n est–ce que k est un corps quadratique?
Trouver une Z–base de Ok .
Calculez Φ12 (X), et puis le discriminant de k = Q(ζ12 ).
Exercice 2. Soit n ≥ 3 un entier, k = Q(ζn ) comme dans l’exercice précédent, et posons
k0 := Q(ζn + ζn−1 ).
(1) Montrez que k0 = k ∩ R.
(2) Quel est le degré de k sur k0 , et quel est le degré de k0 sur Q?
(3) Est-ce que k = k0 (i)?
Exercice 3. Soit x ∈ C un entier algébrique non nul. Supposons que tout conjugé complexe
y de x (i.e. toute racine complexe y du polynôme minimal de x sur Q) est de norme complexe
|y| ≤ 1. Montrez que x = ζna pour des entiers n et a convenables.
Exercice 4. Soit x > 1 un entier algébrique réel tel que tous ses conjugés complexes y 6= x
sont de norme complexe |y| ≤ 1, et tel que au moins un parmi ces conjugés est de norme
complexe 1. Posons k = Q(x), et notons Ok l’anneau des entiers de k. Montrez que x est une
unité de Ok . Un nombre x comme ci–dessus est appelé nombre de Salem, d’après le mathématicien Raphaël
Salem (1898–1963). Ces nombres jouent un rôle important dans la théorie d’approximation Diophantienne
et dans l’analyse harmonique.