Série 10

Introduction ` a la th´ eorie des nombres Bachelor Semestre 6
Prof. E. Bayer Fl¨ uckiger 5.4.2014
S´erie 10
Pour tout entier n≥1, nous posons ζn= exp(2πin−1) et k=Q(ζn). On appelle kun
corps cyclotomique. Voici deux faits importants sur ces corps:
(1) Le polynˆome minimal de ζnsur Qest le polynˆome cyclotomique Φn∈Z[X], dont les
racines complexes sont les ζa
navec 1 ≤a<npremier `a n:
Φn(X) = Y
(a,n)=1
(X−ζa
n)
(2) L’anneau des entiers Okde kest ´egal `a Z[ζn].
Exercice 1. Soit n≥1 un entier et kle corps cyclotoymique Q(ζn).
(1) V´erifier les assertions (1) et (2) ci–dessus dans le cas o`u n=pest un nombre permier.
(2) Quel est le degr´e de k? Pour quels entiers nest–ce que kest un corps quadratique?
(3) Trouver une Z–base de Ok.
(4) Calculez Φ12(X), et puis le discriminant de k=Q(ζ12).
Exercice 2. Soit n≥3 un entier, k=Q(ζn) comme dans l’exercice pr´ec´edent, et posons
k0:= Q(ζn+ζ−1
n).
(1) Montrez que k0=k∩R.
(2) Quel est le degr´e de ksur k0, et quel est le degr´e de k0sur Q?
(3) Est-ce que k=k0(i)?
Exercice 3. Soit x∈Cun entier alg´ebrique non nul. Supposons que tout conjug´e complexe
yde x(i.e. toute racine complexe ydu polynˆome minimal de xsur Q) est de norme complexe
|y| ≤ 1. Montrez que x=ζa
npour des entiers net aconvenables.
Exercice 4. Soit x > 1 un entier alg´ebrique r´eel tel que tous ses conjug´es complexes y6=x
sont de norme complexe |y| ≤ 1, et tel que au moins un parmi ces conjug´es est de norme
complexe 1. Posons k=Q(x), et notons Okl’anneau des entiers de k. Montrez que xest une
unit´e de Ok.Un nombre xcomme ci–dessus est appel´e nombre de Salem, d’apr`es le math´ematicien Rapha¨el
Salem (1898–1963). Ces nombres jouent un rˆole important dans la th´eorie d’approximation Diophantienne
et dans l’analyse harmonique.