Nombres complexes et trigonométrie 1 NOMBRES COMPLEXES ET

Nombres complexes et trigonom´etrie 1
NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMETRIE
Proposition 1 (In´egalit´es triangulaires)
Soit (z, z0)∈C2.
||z|−|z0|| ≤ |z+z0|≤|z|+|z0|.
Proposition 2 (Cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e triangulaire.)
Soient zet z0dans C.
|z+z0|=|z|+|z0| ⇐⇒ (z= 0 ou ∃α∈R+, z0=αz).
Formulaire 1 (Formules d’Euler)
Pour tout t∈R,
cos t=eit +e−it
2,sin t=eit −e−it 2i.
Formulaire 2 (Formule de Moivre)
Pour tout t∈R, pour tout n∈Z,
(cos t+isin t)n= cos(nt) + isin(nt).
Formulaire 3
Soient aet bdans R.
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
cos(a−b) = cos acos b+ sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b
sin(a−b) = sin acos b−cos asin b
cos(2a) = 2 cos2a−1=1−2 sin2a= cos2a−sin2a
sin(2a) = 2 sin acos a
cos acos b= (cos(a+b) + cos(a−b)) /2
sin asin b= (cos(a−b)−cos(a+b)) /2
cos asin b= (sin(a+b)−sin(a−b)) /2
Formulaire 4
Soient aet bdans I=R\π
2+nπ |n∈Z.
si a+b∈I, tan(a+b) = tan a+tan b
1−tan atan b
si a−b∈I, tan(a−b) = tan a−tan b
1+tan atan b

Nombres complexes et trigonom´etrie 2
Proposition 3 (Somme et produit des racines d’une ´equation du second degr´e)
Soient a,bet cdans C, avec a6= 0. On note ∆ = b2−4ac. Il existe δdans Ctel que δ2= ∆.
L’´equation az2+bz +c= 0 poss`ede deux racines dans C. On les note r1et r2(´eventuellement elles
sont confondues). On a alors (`a l’ordre pr`es)
r1=−b−δ
2aet r2=−b+δ 2a
et
r1+r2=−b
aet r1r2=c a.
Proposition 4 (Racines n-i`emes de l’unit´e)
Soient n∈N,n≥2. On note Unl’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e, i.e. l’ensemble des nombres
complexes {z∈C|zn= 1}. On a
Un={eik 2π
n|k∈ |[ 0, n −1|]}.
Proposition 5 (Interpr´etation g´eom´etrique des racines n-i`emes de l’unit´e)
Les images dans le plan complexe des racines n-i`emes de l’unit´e sont les sommets d’un polygone
r´egulier `a nsommets, inscrit dans le cercle unit´e.
Proposition 6 (Nombres complexes et g´eom´etrie plane)
Soient A,B,Cet Dquatre points du plan complexe d’affixes respectives a,b,cet d.
(i) A,Bet Csont align´es si et seulement si (a=bou c−a
b−aest r´eel).
(ii) −−→ AB et −−→ CD sont orthogonaux si et seulement si (a=bou d−c
b−aest imaginaire pur).