Dynamique du point en referentiel galileen

MPSI - Exercices réponses - Mécanique I - Dynamique du point en référentiel galiléen
Dynamique du point en référentiel
galiléen
Exercice 1. L’oiseau et le chasseur.
g
1. z = − 2
x2 + (tan α)x
2v0 cos2 α
v 2 sin2 α
v 2 sin 2α
2. zmax = 0
et xp = 0
2g
g
xp max pour α = π4
2v0 sin α
t=
g
3. La zone saine et la zone dangereuse sont séparées par la parabole de sureté
g
v2
d’équation z = − 2 x2 + 0
2g
2v0
Exercice 2. Trajectoire dans le champ de pesanteur avec résistance de
l’air.
k
1. vx (t) = v0 cos α e− m t
k
mg
mg
+ v0 sin α e− m t −
vz (t) =
k
k
k
v0 cos α
x(t) =
(1 − e− m t )
k/m
mg
+ v0 sin α
k
mg
z(t) = k
(1 − e− m t ) −
t
k/m
k
v0 cos α
2. Équation de l’asymptote : x =
k/m
m~g
Si la vitesse limite est atteinte : ~vlim =
k
Exercice 3. Mouvement vertical dans l’air.
z
l − u2
1. v 2 = (u2 + v02 )e− v2
zmax = l ln 1 + 02
u
u
v0
2. T1 = arctan
g
u
v0
3. v2 = − q
v2
1 + u02
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1 − vu2
u
ln
2g 1 + vu2
5. A.N. : zmax = 10, 1 m ; T1 = 1, 21 s ; v2 = −9, 28 m/s ; T2 = 1, 68 s
4. T2 =
Exercice 4. Équation horaire.
t
m
1. v(t) = v0 e− τ avec τ =
h
t
2. x(t) = v0 τ 1 − e− τ
Exercice 5. Mouvement dans un champ de force avec frottement.
1. Le système de coordonnées polaires car c’est dans ce système que les forces se
décomposent
le plus simplement.
m(r̈ − r θ̇ 2 ) = −αr − β ṙ
2.
m(2ṙ θ̇ + r θ̈) = −βr θ̇
r
β
α
β2
t
− 2m
et ω =
3. r = r0 e
−
m 4m2
A.N. : ω = 56 rad/s
Exercice 6. Masses et poulie.
m2
1.
= sin α
m1
2. (z repère la position de m2 sur un axe vertical ascendant)
(m1 + m2 )z̈ = (m1 sin α − m2 )g donne z̈ < 0 pour m2 = 3m1 c’est à dire m2
descend et m1 monte.
Exercice 7. Deux ressorts.
l0
et l2 = l0 tan α
l1 =
cos α
Exercice 8. Caoutchouc.
P = 2kL(tan α − sin α)
Exercice 9. Ressort et plan incliné.
mg sin α
1. xe = l0 +
k r
k
2. x(t) = xe + d cos
t
m
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Exercice
√ 10. Plan incliné.
1. v0 = 2ga sin α
2. mẍ = −mg sin α − kx
g sin α
k
x(t) = A cos(ω0 t + ϕ) −
avec ω02 =
2
m
ω0

0ω
v

 tan ϕ = − 0 0

g sinα2
g sin α
v002


+
 A2 =
ω02
ω02
B confondu avec A si v002 = ω02 a2 + v02
Exercice
r 11. Corps flottant.
m
T = 2π
ρSg
Exercice 12. Un jeu d’enfant.
1. θ0 = arccos 32
2. Le mouvement ultérieur de l’enfantr
est une chute libre.
!
r
2ga 2
5
~v (t) = v0x~ex + (v0z − gt)~ez avec ~v0 =
~ex −
~ez
3
3
9
Au niveau du sol, v = 6, 26 m/s ; la chute libre depuis le sommet de l’igloo donne
la même vitesse.
Exercice 13. Point mobile dans un cylindre creux.
2g
v2
1. θ̇ 2 = 02 − (1 − cos θ)
R
R
mv02
2. N (θ) =
− mg(2 − 3 cos θ)
R
v2
3. cos θM = 1 − 0
2gR
4. v02 > 5gR
Exercice 14. Anneau.
1. r(θ) = a cosh(θ)
2. Rz = mg et Rθ = 2mω 2 a sinh(θ)
Exercice 15. Disparition d’une liaison (d’après concours).
1
La fréquence doit être inférieure à
2π
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r
g
a
Exercice 16. Ralentissement d’un navire.
ηP
1. k = 4
vl
1
M 1
−
' 20, 6 s
2. durée de la phase de ralentissement =
2k v22 v12
M 1
1
distance parcourue pendant ce temps =
−
' 88 m
k v2 v1
Exercice
17.Pendule.

2 vA


 TA = m g +
2 R 1.
v 0


 TA0 = m A − g
R
2. mRθ̈ = −mg sin θ
v 2 = v02 + 2gR(cos θ − 1)
mv02
T =
+ mg(3 cos θ − 2)
R
v2
3. cos θV = 1 − 0
2gR
v02
2
cos θT = −
3 3gR
si v02 < 2gR le mouvement est pendulaire (la vitesse s’annule avant la tension)
si 2gR < v02 < 4gR fil détendu (la tension s’annule avant la vitesse)
si 4gR < v02 < 5gR fil détendu (la vitesse ne s’annule plus mais la tension s’annule)
si v02 > 5gR Le mouvement est circulaire (la vitesse ne s’annule plus, la tension
ne s’annule plus)