Dynamique du point en referentiel galileen

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Dynamique du point en r´ef´erentiel
galil´een
Exercice 1. L’oiseau et le chasseur.
1. z=−g
2v2
0cos2αx2+ (tan α)x
2. zmax =v2
0sin2α
2get xp=v2
0sin 2α
g
xpmax pour α=π
4
t=2v0sin α
g
3. La zone saine et la zone dangereuse sont s´epar´ees par la parabole de suret´e
d’´equation z=−g
2v2
0
x2+v2
0
2g
Exercice 2. Trajectoire dans le champ de pesanteur avec r´esistance de
l’air.
1. vx(t) = v0cos α e−k
mt
vz(t) = mg
k+v0sin αe−k
mt−mg
k
x(t) = v0cos α
k/m (1 −e−k
mt)
z(t) =
mg
k+v0sin α
k/m (1 −e−k
mt)−mg
kt
2. ´ Equation de l’asymptote : x=v0cos α
k/m
Si la vitesse limite est atteinte : ~vlim =m~g
k
Exercice 3. Mouvement vertical dans l’air.
1. v2= (u2+v2
0)e−z
l−u2
zmax =lln 1 + v2
0
u2
2. T1=u
garctan v0 u
3. v2=−v0
q1 + v2
0
u2
4. T2=u
2gln 1−v2
u
1 + v2
u
5. A.N. : zmax = 10,1m;T1= 1,21 s;v2=−9,28 m/s ;T2= 1,68 s
Exercice 4. ´ Equation horaire.
1. v(t) = v0e−t
τavec τ=m
h
2. x(t) = v0τ1−e−t
τ
Exercice 5. Mouvement dans un champ de force avec frottement.
1. Le syst`eme de coordonn´ees polaires car c’est dans ce syst`eme que les forces se
d´ecomposent le plus simplement.
2. m(¨r−r˙
θ2) = −αr −β˙r
m(2 ˙r˙ θ+r¨ θ) = −βr ˙ θ
3. r=r0e−β
2mtet ω=rα
m−β2 4m2
A.N. : ω= 56 rad/s
Exercice 6. Masses et poulie.
1. m2
m1
= sin α
2. (zrep`ere la position de m2sur un axe vertical ascendant)
(m1+m2)¨z= (m1sin α−m2)gdonne ¨z < 0 pour m2= 3m1c’est `a dire m2
descend et m1monte.
Exercice 7. Deux ressorts.
l1=l0
cos αet l2=l0tan α
Exercice 8. Caoutchouc.
P= 2kL(tan α−sin α)
Exercice 9. Ressort et plan inclin´e.
1. xe=l0+mg sin α
k
2. x(t) = xe+dcos rk
mt

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Exercice 10. Plan inclin´e.
1. v0=√2ga sin α
2. m¨x=−mg sin α−kx
x(t) = Acos(ω0t+ϕ)−gsin α
ω2
0
avec ω2
0=k
m
tan ϕ=−v0
0ω0
gsin α
A2=gsin α
ω2
02
+v02
0
ω2
0
B confondu avec A si v02
0=ω2
0a2+v2
0
Exercice 11. Corps flottant.
T= 2πrm
ρSg
Exercice 12. Un jeu d’enfant.
1. θ0= arccos 2
3
2. Le mouvement ult´erieur de l’enfant est une chute libre.
~v(t) = v0x~ex+ (v0z−gt)~ezavec ~v0=r2ga
3 2 3~ex−r5 9~ez!
Au niveau du sol, v= 6,26 m/s ; la chute libre depuis le sommet de l’igloo donne
la mˆeme vitesse.
Exercice 13. Point mobile dans un cylindre creux.
1. ˙ θ2=v2
0
R2−2g R(1 −cos θ)
2. N(θ) = mv2
0
R−mg(2 −3 cos θ)
3. cos θM= 1 −v2
0
2gR
4. v2
0>5gR
Exercice 14. Anneau.
1. r(θ) = acosh(θ)
2. Rz=mg et Rθ= 2mω2asinh(θ)
Exercice 15. Disparition d’une liaison (d’apr`es concours).
La fr´equence doit ˆetre inf´erieure `a 1
2πrg a
Exercice 16. Ralentissement d’un navire.
1. k=ηP
v4
l
2. dur´ee de la phase de ralentissement = M
2k1
v2
2−1
v2
1'20,6s
distance parcourue pendant ce temps = M
k1 v2−1 v1'88 m
Exercice 17. Pendule.
1. 
TA=mg+v2
A
R
TA0=mv2
A0
R−g
2. mR¨ θ=−mg sin θ
v2=v2
0+ 2gR(cos θ−1)
T=mv2
0
R+mg(3 cos θ−2)
3. cos θV= 1 −v2
0
2gR
cos θT=2
3−v2
0
3gR
si v2
0<2gR le mouvement est pendulaire (la vitesse s’annule avant la tension)
si 2gR < v2
0<4gR fil d´etendu (la tension s’annule avant la vitesse)
si 4gR < v2
0<5gR fil d´etendu (la vitesse ne s’annule plus mais la tension s’annule)
si v2
0>5gR Le mouvement est circulaire (la vitesse ne s’annule plus, la tension
ne s’annule plus)